Esercizio 3convoluzione di esponenziale e rampa, stabilità e uscita sinusoidale (tema d'esame giugno 2024)

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Teoria usata: Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →.

(1) Grafici e spazi $L^p$

$x(t)=e^{-t}u(t)$ vale $0$ per $t<0$ e decade da $1$ (in $t=0^+$) a $0$. $y(t)=t\,u(t)$ è la rampa: $0$ per $t<0$ e retta di pendenza $1$ per $t>0$.

• $x$: $\|x\|_1=\int_0^\infty e^{-t}dt=1$, $\|x\|_2^2=\int_0^\infty e^{-2t}dt=\frac12$, $\sup|x|=1$. Appartiene a $L^1$, $L^2$ e $L^\infty$.
• $y$: la rampa è illimitata ($y\to\infty$), quindi non è in $L^\infty$; $\int_0^\infty t\,dt=\infty$ e $\int_0^\infty t^2dt=\infty$. Non appartiene a nessuno dei tre spazi.

(2) La convoluzione $h=x*y$

Entrambi i segnali sono causali (supporto $[0,\infty)$), quindi $h$ è nulla per $t<0$ e per $t>0$ l'integrale è su $u\in[0,t]$ (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →): $$h(t)=\int_0^te^{-\tau}(t-\tau)\,d\tau=t\int_0^te^{-\tau}d\tau-\int_0^t\tau e^{-\tau}d\tau.$$ Il primo integrale è $t\left(1-e^{-t}\right)$. Per il secondo si integra per parti: $\int_0^t\tau e^{-\tau}d\tau=\left[-\tau e^{-\tau}\right]_0^t+\int_0^te^{-\tau}d\tau=-te^{-t}+1-e^{-t}$. Quindi $$h(t)=t-te^{-t}+te^{-t}-1+e^{-t}=t+e^{-t}-1,\qquad t>0.$$ $$\boxed{h(t)=\left(t+e^{-t}-1\right)u(t).}$$

Con Laplace (Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →): $X(s)=\frac1{s+1}$, $Y(s)=\frac1{s^2}$, $H(s)=\frac{1}{s^2(s+1)}$. Fratti semplici: $\frac1{s^2(s+1)}=\frac As+\frac B{s^2}+\frac C{s+1}$; $B=\lim_{s\to0}s^2H=1$ (limite diretto), $C=\lim_{s\to-1}(s+1)H=\frac1{(-1)^2}=1$, e per $A$ si valuta in un punto qualsiasi non polo, per esempio $s=1$: $H(1)=\frac12=A+1+\frac12\Rightarrow A=-1$. Allora $H(s)=-\frac1s+\frac1{s^2}+\frac1{s+1}$ e $h(t)=\left(-1+t+e^{-t}\right)u(t)$ ✓ (stesso risultato; verificato anche con calcolo simbolico). Controllo in $t=0$: $h(0)=0+1-1=0$ ✓ (e $h'(0)=1-1=0$: $H\sim\frac1{s^3}$).

(3) Stabilità e causalità dei tre sistemi

I tre segnali $x$, $y$, $h$ hanno supporto $[0,\infty)$, quindi tutti e tre i sistemi sono causali. Per la stabilità serve $\int|\,\cdot\,|<\infty$ (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →):

• sistema con $h=x$: $x\in L^1$ ⇒ stabile;
• sistema con $h=y$ (rampa): $y\notin L^1$ ⇒ non stabile (un ingresso limitato come $u(t)$ dà un'uscita che cresce come $\frac{t^2}2$);
• sistema con $h=t+e^{-t}-1$: cresce linearmente ⇒ non in $L^1$ ⇒ non stabile. (È la serie di un integratore di tipo $\frac1s$ e di un sistema stabile: poli in $s=0$ doppio.)

(4) Uscita a $v(t)=\cos(\sqrt3\,t)$ nel sistema con risposta impulsiva $x$

Il sistema è stabile, quindi esiste la risposta in frequenza (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →): $$H_x(\omega)=\int_0^\infty e^{-t}e^{-j\omega t}dt=\frac1{1+j\omega}.$$ Alla pulsazione $\omega_0=\sqrt3$: $H_x(\sqrt3)=\frac{1}{1+j\sqrt3}$. Il modulo: $|1+j\sqrt3|^2=1+3=4$, quindi $|H_x|=\frac12$. La fase: $\arg H_x=-\arg(1+j\sqrt3)=-\arctan\sqrt3=-\frac\pi3$. Per un ingresso $\cos(\omega_0t)$ in un sistema reale, l'uscita è $|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\arg H(\omega_0))$: $$w(t)=\frac12\cos\left(\sqrt3\,t-\frac\pi3\right).$$ (Verificato numericamente: la convoluzione con passo $10^{-3}$ dà $w(10)\approx-0{,}42218$ contro il valore previsto $-0{,}42220$.)

Errori comuni

• Dire che $y=t\,u(t)$ "sta in $L^2$ perché cresce lentamente": serve la finitezza dell'integrale.
• Nella convoluzione, dimenticare che i supporti sono $[0,\infty)$ (estremi $0$ e $t$ nell'integrale).
• Concludere "stabile" per il sistema con $h=t+e^{-t}-1$ guardando solo il termine decrescente $e^{-t}$.
• Dimenticare la fase: $w(t)=\frac12\cos(\sqrt3\,t)$ è sbagliata.
• Calcolare $\arctan\left(\frac{\sqrt3}{1}\right)$ con il segno sbagliato: $H=\frac1{1+j\sqrt3}$ ha fase negativa.