Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI

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Per un generico sistema ogni proprietà richiede un ragionamento (Sistemi e loro proprietà). Per un sistema LTI invece tutto si legge sulla risposta impulsiva $h$ (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione): è come avere il "documento d'identità" del sistema.

Realtà

Il sistema LTI con risposta impulsiva $h$ è reale (a ingressi reali dà uscite reali) se e solo se $h$ è reale. Se $h$ è reale e $x$ è reale, $\int x(u)h(t-u)du$ è reale. Viceversa $h=\Sigma[\delta]$ è l'uscita a un ingresso reale, quindi deve essere reale.

Causalità

Un sistema LTI è causale se e solo se $h(t)=0$ per $t<0$ (cioè $h$ è un segnale causale).

Perché. $y(t)=\int x(u)h(t-u)\,du$ usa il valore $x(u)$ con peso $h(t-u)$ . Se $u>t$ (futuro dell'ingresso) l'argomento $t-u$ è negativo: il futuro non pesa se $h(t-u)=0$ per argomenti negativi, cioè se $h$ è nulla per $\tau<0$ . In tal caso $y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(u)\,h(t-u)\,du=\int_0^{+\infty}h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau,$ dove $x(t-\tau)$ è il passato di $x$ all'indietro di $\tau$ . Se invece $h(\tau_0)\neq0$ per qualche $\tau_0<0$ , un impulso in ingresso nell'istante $0$ produce un'uscita già nell'istante $\tau_0<0$ : la risposta precede la causa. È il motivo per cui i segnali con $h=0$ per $t<0$ si chiamano "causali".

Nel discreto: causale $\iff h(n)=0$ per $n<0$ . Sistema anticausale: $h(t)=0$ per $t>0$ . Non causale: $h$ non nulla da entrambe le parti.

Un sistema LTI è statico se e solo se $h(t)=K\delta(t)$ (e $y=Kx$ ).

Esempi.

$h$	Sistema
$\delta(t-t_0)$ , $t_0>0$	ritardo: causale
$e^{-t}u(t)$ , $u(t)$ , $h(n)=a^nu(n)$	causali
$\frac1{2T}\operatorname{rect}\left(\frac t{2T}\right)$	non causale (media mobile centrata)
$\frac12\operatorname{rect}\left(\frac{t-1}{2}\right)$	causale (supporto in $(0,2)$ )
$-2^nu(-n-1)$	anticausale
$3^{-n}u(n+1)$	non causale (è non nulla in $n=-1$ )
$\operatorname{sinc}(t)$	non causale
$T\Lambda\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$	causale se $t_0>T$ , anticausale se $t_0<-T$ , non causale se $-T<t_0<T$

L'ultimo caso (tema d'esame gennaio 2025) è un triangolo con supporto $(t_0-T,t_0+T)$ : tutto dipende da dove cade rispetto a $0$ .

Stabilità BIBO

Un sistema LTI è BIBO stabile se e solo se la risposta impulsiva è assolutamente integrabile: $h\in L^1(\mathbb{R})$ , cioè $\int|h(t)|\,dt<\infty$ . Nel discreto: $\sum_n|h(n)|<\infty$ .

Dimostrazione ( $\Leftarrow$ ). Sia $|x(t)|\le L_x$ e $\|h\|_1=\int|h|<\infty$ . Allora $|y(t)|=\left|\int x(u)h(t-u)du\right|\le\int|x(u)||h(t-u)|\,du\le L_x\int|h(t-u)|du=L_x\|h\|_1.$ L'uscita è limitata da $L_y=L_x\|h\|_1$ .

Dimostrazione ( $\Rightarrow$ ). Per assurdo sia $\|h\|_1=\infty$ . Si sceglie l'ingresso (limitato da $1$ ) $x(u)=\dfrac{h^*(-u)}{|h(-u)|}$ (nullo dove $h(-u)=0$ ). Allora nell'istante $t=0$ : $y(0)=\int x(u)\,h(0-u)\,du=\int\frac{h^*(-u)\,h(-u)}{|h(-u)|}du=\int|h(-u)|\,du=\|h\|_1=\infty,$ quindi un ingresso limitato produce un'uscita illimitata: il sistema non sarebbe stabile.

Esempi.

$h(t)=e^{-at}u(t)$ con $a>0$ : $\int_0^\infty e^{-at}dt=\frac1a$ . Stabile. Con $a<0$ diverge: instabile.
$h(t)=e^{-t}\cos(2t)u(t)$ : $|h|\le e^{-t}$ , quindi $\int|h|\le1$ . Stabile.
$h(t)=u(t)$ (integratore) e $h(t)=\operatorname{sinc}(t)$ (passa-basso ideale): non stabili ( $\int|\operatorname{sinc}|=\infty$ , vedi Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito).
$h(n)=n\cos\left(\frac{\pi n}{4}\right)u(n)$ : i termini non tendono a zero ( $|h(n)|$ cresce fino a $n$ ), la serie dei moduli diverge: instabile.
$h(n)=a^nu(n)$ : $\sum_{n\ge0}|a|^n=\frac1{1-|a|}$ se $|a|<1$ : stabile se e solo se $|a|<1$ .
$h(n)=-2^nu(-n-1)$ : si somma su $n\le-1$ : $\sum_{n\le-1}2^n=\sum_{m\ge1}2^{-m}=1$ . Stabile e anticausale (esame febbraio 2023).
$h(n)=3^{-n}u(n+1)$ : $\sum_{n\ge-1}3^{-n}=3+1+\frac13+\ldots=3+\frac{1}{1-1/3}=\frac92$ . Stabile e non causale (esame febbraio 2025).
Un sistema FIR, $h$ con un numero finito di campioni non nulli (come $y(n)=x(n)-x(n-2)$ ), è sempre stabile.

Un'osservazione: se $h\in L^1$ allora la risposta in frequenza esiste ed è continua (la sua trasformata di Fourier). Per questo un filtro ideale con $H$ discontinua ( $H=\operatorname{rect}$ ) ha $h=\operatorname{sinc}\notin L^1$ : non è stabile (esame settembre 2024). Il legame tra stabilità ed esistenza di $H(\omega)$ verrà sfruttato in Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale.

Connessioni di sistemi LTI

Serie (cascata). Un ingresso passa prima per $h_1$ poi per $h_2$ : $y=(x*h_1)*h_2=x*(h_1*h_2)$ . La risposta impulsiva complessiva è $h=h_1*h_2.$ Per commutatività l'ordine non conta: $h_1*h_2=h_2*h_1$ .

Parallelo. $y=x*h_1+x*h_2=x*(h_1+h_2)$ : $h=h_1+h_2$ .

Retroazione. Nel tempo non ha una formula semplice (la risposta impulsiva soddisfa un'equazione di convoluzione); in frequenza è $H=\dfrac{H_1}{1+H_1H_2}$ (Filtri, modulazione e trasmissione AM).

Proprietà delle connessioni.

Serie di sistemi causali è causale (supporti $\ge0$ sommati danno supporti $\ge0$ ). Serie di stabili è stabile: $\|h_1*h_2\|_1\le\|h_1\|_1\|h_2\|_1$ .
Attenzione: la serie di due sistemi può essere meglio dei singoli. Il caso notevole è quando uno è l'inverso dell'altro: $h_1*h_2=\delta$ (la serie è l'identità).

Esempio: due sistemi che si annullano. $h_1(n)=\delta(n)-a\,\delta(n-1)$ (sistema FIR a due termini) e $h_2(n)=a^nu(n)$ . Calcolo la convoluzione: $h_1*h_2(n)=a^nu(n)-a\cdot a^{n-1}u(n-1)=a^n\big[u(n)-u(n-1)\big]=a^n\delta(n)=\delta(n).$ Quindi $h_2$ è l'inverso di $h_1$ e la cascata è l'identità. Se $|a|<1$ entrambi sono stabili. Idea analoga a quella che compare nel tema d'esame di febbraio 2025 (Esercizio 7 · cascata di due sistemi discreti e ingresso sinusoidale (tema d'esame febbraio 2024) ne mostra un altro caso, con uscita pari a un anticipo).

Esempio: un filtro anticausale reso causale. Nel tema di febbraio 2023 (vedi Esercizio 8 · sistema anticausale e filtro passa-tutto (tema d'esame febbraio 2023)) si ha $h_1(n)=-2^nu(-n-1)$ (anticausale, stabile) e un secondo sistema $h_2$ tale che la serie sia causale e stabile, con $|H|$ proporzionale a quello di $h_1$ : questa operazione rende realizzabile un filtro anticausale.

Errori comuni

Dire "il sistema è causale perché $h$ è nulla per $t>0$ " (è il contrario: causale significa nulla per $t<0$ ).
Affermare che un sistema è stabile perché $h$ decade a zero (serve l'integrabilità: $\operatorname{sinc}$ decade ma non è in $L^1$ ; $h(n)=\frac1{n}u(n-1)$ tende a zero ma $\sum\frac1n$ diverge).
Verificare la stabilità con un solo ingresso limitato ben comportato (serve il caso peggiore).
Pensare che la serie di due sistemi instabili sia instabile (può essere l'identità).

Versione ripasso

Per un LTI tutto si legge su $h$ . Reale $\iff h$ reale. Statico $\iff h=K\delta$ .
Causale $\iff h(t)=0$ per $t<0$ ( $h(n)=0$ per $n<0$ ): $y(t)=\int_0^\infty h(\tau)x(t-\tau)d\tau$ . Anticausale: nulla per $t>0$ . Es.: $\frac12\operatorname{rect}\frac{t-1}2$ causale; $-2^nu(-n-1)$ anticausale; $3^{-n}u(n+1)$ non causale; $T\Lambda\frac{t-t_0}T$ : causale se $t_0>T$ .
BIBO stabile $\iff\int|h|<\infty$ ( $\sum|h(n)|<\infty$ ). ( $\Leftarrow$ ) $|y|\le L_x\|h\|_1$ ; ( $\Rightarrow$ ) ingresso $\frac{h^*(-u)}{|h(-u)|}$ dà $y(0)=\|h\|_1$ .
Esempi: $e^{-at}u$ stabile se $a>0$ ; $e^{-t}\cos2t\,u$ stabile; $u$ , $\operatorname{sinc}$ , $n\cos\frac{\pi n}4u(n)$ no; $a^nu(n)$ se $|a|<1$ ; $-2^nu(-n-1)$ stabile (somma 1); $3^{-n}u(n+1)$ stabile (somma $\frac92$ ); FIR sempre stabile.
Connessioni: serie $h_1*h_2$ (ordine irrilevante), parallelo $h_1+h_2$ , retroazione $H=\frac{H_1}{1+H_1H_2}$ (Filtri, modulazione e trasmissione AM). Serie di causali causale; serie di stabili stabile. Inverso: $h_1*h_2=\delta$ (es.: $\delta(n)-a\delta(n-1)$ e $a^nu(n)$ ).
Errori: causale $=$ nulla per $t>0$ (falso); $h\to0\Rightarrow$ stabile (falso: $\operatorname{sinc}$ ); serie di instabili sempre instabile (falso).