Domande di teoria ricorrenti - enunciati e dimostrazioni

Nei temi d'esame le domande di teoria valgono 4 punti ciascuna e si ripetono quasi uguali da un appello all'altro. Per ognuna si riporta una risposta modello con enunciato e dimostrazione nella forma che conviene scrivere a mano (completa ma breve). I dettagli e gli esempi sono nelle note collegate.

1. Regime sinusoidale di un LTI stabile (3 appelli su 14)

Ricordare la definizione di risposta in frequenza di un LTI stabile. Mostrare che per un LTI stabile reale con $x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)$ l'uscita è $y(t)=A'\cos(\omega_0t+\varphi')$ ed esprimere $A'$ e $\varphi'$.

Risposta. Con $h\in L^1$ (stabilità) e $x(t)=e^{j\omega t}$: $y(t)=\int h(\tau)e^{j\omega(t-\tau)}d\tau=H(\omega)e^{j\omega t}$, con $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$ (TF di $h$). Il coseno è $\frac A2\left[e^{j\varphi}e^{j\omega_0t}+e^{-j\varphi}e^{-j\omega_0t}\right]$, e per linearità $y=\frac A2\left[e^{j\varphi}H(\omega_0)e^{j\omega_0t}+e^{-j\varphi}H(-\omega_0)e^{-j\omega_0t}\right]$. Poiché $h$ è reale, $H(-\omega_0)=H^*(\omega_0)$, quindi $y=A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: $A'=A|H(\omega_0)|$, $\varphi'=\varphi+\arg H(\omega_0)$. Dettagli: Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →.

2. Teorema del campionamento (7 appelli su 14)

Enunciare il teorema di Shannon nel caso di passo $T_c$ generico; significato e formula della frequenza di Nyquist; formula di interpolazione ideale; realizzabilità; perché prima del campionamento serve un filtro passa-basso.

Risposta. Se $X(\omega)=0$ per $|\omega|>\omega_M$ e $T_c<\frac\pi{\omega_M}$ (cioè $F_c>2f_{\max}$, frequenza di Nyquist $2f_{\max}=\frac{\omega_M}\pi$), allora $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Dimostrazione: lo spettro dei campioni è $\frac1{T_c}\sum_kX(\omega-k\omega_c)$ (repliche con periodo $\omega_c=\frac{2\pi}{T_c}$, disgiunte se $\omega_c\ge2\omega_M$); il filtro $T_c\operatorname{rect}\left(\frac{T_c\omega}{2\pi}\right)$ isola la replica centrale, e la sua risposta impulsiva è $\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_c}\right)$. Realizzabilità: il sinc è non causale e a durata infinita, la somma è infinita: impossibile da realizzare esattamente (si usano interpolatori a tenuta + filtro). Filtro anti-aliasing: i segnali reali non sono a banda limitata e, senza il passa-basso con taglio $\le\frac{F_c}2$, le componenti oltre Nyquist si ripiegano sulle basse (aliasing) in modo irreversibile; in un convertitore A/D lo schema è passa-basso, campionatore a $F_c\ge2f_{\text{taglio}}$, quantizzatore. Dettagli: Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →, Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda →.

3. TFD, zero-padding e TFtd (7 appelli su 14)

Mostrare che con la TFD e lo zero-padding si può ottenere una rappresentazione discreta della TFtd di un segnale $x(n)$ a supporto in $\{0,\ldots,N-1\}$ con risoluzione arbitrariamente fine. Perché è importante?

Risposta. $X(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\omega n}$ (la somma ha $N$ termini perché $x$ è nullo fuori). Sia $M>N$ e $z(n)=x(n\bmod M)$, la ripetizione con periodo $M$ ($N$ campioni di $x$ seguiti da $M-N$ zeri: zero-padding). La sua TFD è $$Z(k)=\frac1M\sum_{n=0}^{M-1}z(n)e^{-j\frac{2\pi}Mkn}=\frac1M\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}Mkn}=\frac1MX\left(\frac{2\pi k}M\right).$$ Dunque la TFD di $M$ punti dà, a meno del fattore $\frac1M$, i campioni di $X(\omega)$ con passo $\frac{2\pi}M$; $M$ si sceglie grande a piacere. È importante perché la TFtd è una funzione continua di $\omega$ e al calcolatore se ne possono calcolare solo infiniti punti: lo zero-padding permette di disegnarla con la finezza voluta (senza aggiungere informazione né migliorare la risoluzione fisica). Dettagli: Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →, FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →.

4. Serie di Fourier e sistemi LTI in regime periodico (3 appelli)

Ricordare le formule di analisi e sintesi. Se $x$ è periodico con coefficienti $a_k$ ed entra in un LTI stabile, esprimere i coefficienti $b_k$ dell'uscita.

Risposta. $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$, $\omega_0=\frac{2\pi}T$. Per linearità e $e^{jk\omega_0t}\to H(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}$: $y=\sum_ka_kH(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}$, quindi $b_k=H\left(k\frac{2\pi}T\right)a_k$ (l'uscita è periodica di periodo $T$). Dettagli: Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →.

5. Parità e coefficienti di Fourier (1 appello)

Mostrare che se $x$ è pari $a_k=a_{-k}$, se è dispari $a_k=-a_{-k}$.

Risposta. $a_{-k}=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{jk\omega_0t}dt$; con $u=-t$: $a_{-k}=\frac1T\int x(-u)e^{-jk\omega_0u}du$. Se $x(-u)=x(u)$ il secondo membro è $a_k$; se $x(-u)=-x(u)$ è $-a_k$. (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →.)

6. Struttura delle soluzioni di un'EDOLCC (2 appelli)

Definire l'EDOLCC, il polinomio caratteristico $a(s)$ e la struttura algebrica dell'insieme $Y_O$ delle soluzioni dell'omogenea; esprimerne una base in termini delle radici di $a(s)$.

Risposta. $\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=\sum_{k=0}^mb_kx^{(k)}$ con $a_k,b_k$ costanti; $a(s)=\sum a_ks^k$. L'omogenea $a(D)y=0$ è lineare, quindi $Y_O$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n$ (teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy: le $n$ condizioni iniziali parametrizzano le soluzioni). Se $a(s)$ ha radici distinte $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ con molteplicità $\mu_i$, una base è $\{t^he^{\lambda_it}:0\le h<\mu_i\}$ (per coefficienti reali e radici complesse $\sigma\pm j\omega$ si usano $t^he^{\sigma t}\cos\omega t$ e $t^he^{\sigma t}\sin\omega t$). Dettagli: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →.

7. Regione di convergenza della trasformata di Laplace (1 appello)

Definire la TL, elencare i cinque tipi di ROC e le proprietà di causalità, mostrare una funzione di $s$ che è la TL di due segnali diversi.

Risposta. $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, definita nella ROC $=\{s:\int|x|e^{-\mathrm{Re}(s)t}dt<\infty\}$. Tipi: $\emptyset$; $\mathbb C$; semipiano destro $\mathrm{Re}\,s>\lambda$ (segnali causali o non causali); semipiano sinistro $\mathrm{Re}\,s<\lambda$ (anticausali o non causali); striscia $\lambda_1<\mathrm{Re}\,s<\lambda_2$ (non causali). Esempio: $\frac1s$ è la TL di $u(t)$ ($\int_0^\infty e^{-st}dt=\frac1s$ per $\mathrm{Re}\,s>0$) e di $-u(-t)$ ($-\int_{-\infty}^0e^{-st}dt=\frac1s$ per $\mathrm{Re}\,s<0$). Dettagli: Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →.

8. Problema di Cauchy causale con Laplace (1 appello)

Mostrare come si risolve un problema di Cauchy causale con la trasformata di Laplace.

Risposta. Si usa la trasformata unilatera: $\mathcal L[y^{(k)}]=s^kY-\sum_{i=0}^{k-1}s^{k-1-i}y^{(i)}(0^-)$. Si trasforma l'equazione, si ottiene $a(s)Y(s)-c(s)=b(s)X(s)$ con $c(s)$ polinomio dalle condizioni iniziali, quindi $Y(s)=\frac{b(s)}{a(s)}X(s)+\frac{c(s)}{a(s)}$ (forzata + libera); si scompone in fratti semplici e si antitrasforma (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →).

9. Formula di Poisson e frequenza di Nyquist (1 appello)

Risposta. $\hat W(\omega)=\sum_nx(nT_c)e^{-j\omega n}=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$: la TFtd dei campioni è la ripetizione periodica di $X$, riscalata. Se $X$ è nulla per $|\omega|>\omega_M$, le repliche (centrate in $2\pi k$ in pulsazione numerica, occupando ciascuna $[2\pi k-\omega_MT_c,2\pi k+\omega_MT_c]$) non si sovrappongono se $\omega_MT_c<\pi$, cioè $F_c>\frac{\omega_M}\pi$: è la frequenza di Nyquist (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →).

10. Proprietà di ritardo e modulazione della TF; TF di segnali periodici (1 appello)

Risposta. Ritardo: con $u=t-t_0$, $\int x(t-t_0)e^{-j\omega t}dt=e^{-j\omega t_0}X(\omega)$. Modulazione: $\int x(t)e^{j\omega_0t}e^{-j\omega t}dt=X(\omega-\omega_0)$. Periodici: da $x=\sum a_ke^{jk\omega_0t}$ e $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $X(\omega)=2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$ (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →). Formule di analisi e sintesi: $X(\omega)=\int xe^{-j\omega t}dt$, $x=\frac1{2\pi}\int Xe^{j\omega t}d\omega$; discreto $X(\omega)=\sum x(n)e^{-j\omega n}$, $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi Xe^{j\omega n}d\omega$.

11. Ortogonalità e mutua energia (domande della raccolta del corso)

Mostrare che due segnali sono ortogonali. Risposta. La mutua energia è $\langle x,y\rangle=\int x(t)y^*(t)dt$ e $x\perp y$ se vale $0$. (a) $x$ reale pari e $y$ reale dispari: $x\,y$ è dispari, quindi l'integrale su $\mathbb R$ (se esiste) è nullo. (b) $x$ causale e $y$ anticausale: i supporti si incontrano al più in $t=0$, il prodotto è nullo quasi ovunque e $\langle x,y\rangle=0$. (c) $\cos(\omega_1t)$ e $\cos(\omega_2t)$ su un periodo comune con $\omega_1\ne\omega_2$ multipli della fondamentale: $\int\cos(k\omega_0t)\cos(m\omega_0t)dt=\frac12\int[\cos((k-m)\omega_0t)+\cos((k+m)\omega_0t)]dt=0$ (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →, dove si dimostra l'ortogonalità degli esponenziali).

12. La delta di Dirac (domande della raccolta del corso)

Definire $\delta$, la proprietà di cambio di scala, semplificare $\operatorname{sinc}(t)\sum_k\delta(t-k)$. Risposta. $\delta$ è la funzione generalizzata tale che $\int x(t)\delta(t-t_0)dt=x(t_0)$ per $x$ continua in $t_0$ (limite di rettangoli di area $1$). Scala: $\delta(at)=\frac1{|a|}\delta(t)$ (con $u=at$, $\int\delta(at)dt=\frac1{|a|}$). Poiché $x(t)\delta(t-k)=x(k)\delta(t-k)$ e $\operatorname{sinc}(k)=0$ per $k\ne0$, $\operatorname{sinc}(t)\sum_k\delta(t-k)=\delta(t)$ (Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →).

13. Classificazione di sistemi (domande della raccolta del corso)

Dire se il sistema è statico, causale, lineare, tempo-invariante, BIBO stabile. Risposta. Si applicano i test di Sistemi e loro proprietàUn sistema trasforma un segnale di ingresso in uno di uscita, $y=\Sigma[x]$. Le proprietà da saper verificare sono: memoria (statico/dinamico), causalità, linearità (additività + omogeneità), tempo-invarianza, stabilità BIBO, invertibilità, realtà. Per negare una proprietà basta un controesempio; per affermarla serve una dimostrazione con segnali generici.Sistemi e loro proprietà →: memoria (dipendenza da altri istanti), causalità (solo passato/presente), linearità ($\Sigma[ax_1+bx_2]$), tempo-invarianza (confronto tra "ritardo poi sistema" e "sistema poi ritardo"), stabilità (stima del modulo o controesempio). Per i LTI si legge tutto su $h$ (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →). Esempi svolti: Esercizio 1 · quale sistema è LTI, risposta impulsiva e uscita con ingresso rettangolare (tema d'esame aprile 2024), Esercizio 2 · proprietà, risposta impulsiva e risposta in frequenza di un sistema discreto (tema d'esame giugno 2023).

14. Condizioni di convergenza della serie di Fourier (domande della raccolta del corso)

Risposta. Dirichlet: se in un periodo $x$ è assolutamente integrabile, ha un numero finito di massimi/minimi e di discontinuità di salto, i coefficienti esistono e la serie converge a $x(t)$ nei punti di continuità e al valor medio dei limiti nei salti. Riesz-Fischer: se $x$ ha energia finita sul periodo, la serie converge a $x$ in media quadratica. (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →.)

15. Somma di segnali periodici (domande della raccolta del corso)

Risposta. Se $x$ ha periodo $T_1$ e $y$ ha periodo $T_2$, $x+y$ è periodica se e solo se $\frac{T_1}{T_2}=\frac{k}{m}\in\mathbb Q$: allora $T=mT_1=kT_2$ (minimo comune multiplo) è un periodo. Dimostrazione: $x(t+T)+y(t+T)=x(t+mT_1)+y(t+kT_2)=x(t)+y(t)$. Se il rapporto è irrazionale nessun multiplo di $T_1$ coincide con un multiplo di $T_2$ (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →).