Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale

La convoluzione (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →) è un'operazione laboriosa. Esiste però una classe di ingressi per cui l'uscita si calcola con una moltiplicazione: gli esponenziali complessi. Questa osservazione è il cuore del corso: se ogni segnale si scrive come somma di esponenziali (serie e trasformata di Fourier) e il sistema "moltiplica" ogni esponenziale per un numero, allora tutto si riduce a prodotti.

Gli esponenziali sono autofunzioni

Sia $h$ la risposta impulsiva di un sistema LTI e prendiamo l'ingresso $x(t)=e^{j\omega t}$ (con $\omega\in\mathbb{R}$ fissato). L'uscita è

$$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau=\int h(\tau)\,e^{j\omega(t-\tau)}d\tau=e^{j\omega t}\int h(\tau)\,e^{-j\omega\tau}d\tau.$$

(Si è usata la convoluzione nella forma $\int h(\tau)x(t-\tau)d\tau$ e si è portato fuori dall'integrale il fattore $e^{j\omega t}$, che non dipende da $\tau$.) Quindi

$$\boxed{e^{j\omega t}\longrightarrow H(\omega)\,e^{j\omega t},\qquad H(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau}$$

L'esponenziale esce inalterato nella forma, moltiplicato per il numero complesso $H(\omega)$. Si dice che $e^{j\omega t}$ è una autofunzione del sistema e $H(\omega)$ il corrispondente autovalore. La funzione $H(\omega)$ si chiama risposta in frequenza del sistema.

L'integrale converge se $h$ è assolutamente integrabile, cioè se il sistema è BIBO stabile (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →). Si riconosce in $H(\omega)$ la trasformata di Fourier di $h$ (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →).

Caso discreto. Con $x(n)=e^{j\omega n}$: $y(n)=\sum_kh(k)e^{j\omega(n-k)}=e^{j\omega n}\sum_kh(k)e^{-j\omega k}$, quindi

$$H(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(n)\,e^{-j\omega n}.$$

Il risultato è $2\pi$-periodico in $\omega$ (perché $e^{-j(\omega+2\pi)n}=e^{-j\omega n}$) e l'esistenza richiede $h\in\ell^1$. È la TFtd di $h$ (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →).

Modulo e fase

Essendo $H(\omega)$ complesso, si scrive in forma polare: $$H(\omega)=|H(\omega)|\,e^{j\arg H(\omega)}.$$ Il modulo $|H(\omega)|$ è la risposta in ampiezza (guadagno): quanto il sistema amplifica o attenua la componente alla pulsazione $\omega$. L'argomento $\arg H(\omega)$ è la risposta in fase: lo sfasamento introdotto. Infatti $e^{j\omega t}\to|H|\,e^{j(\omega t+\arg H)}$.

Risposta a un ingresso sinusoidale

Sia $x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)$ e il sistema reale (cioè $h$ reale). Si scrive il coseno con la formula di Eulero: $$x(t)=\frac A2\left[e^{j\varphi}e^{j\omega_0t}+e^{-j\varphi}e^{-j\omega_0t}\right].$$ Per linearità si somma la risposta a ciascun esponenziale: $$y(t)=\frac A2\left[e^{j\varphi}H(\omega_0)\,e^{j\omega_0t}+e^{-j\varphi}H(-\omega_0)\,e^{-j\omega_0t}\right].$$ Se $h$ è reale, $H(-\omega)=\int h(\tau)e^{+j\omega\tau}d\tau=\left[\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\right]^*=H^*(\omega)$, cioè simmetria hermitiana: modulo pari, fase dispari. Quindi $H(-\omega_0)=|H(\omega_0)|e^{-j\arg H(\omega_0)}$ e $$y(t)=\frac A2|H(\omega_0)|\left[e^{j(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))}+e^{-j(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))}\right]=A\,|H(\omega_0)|\,\cos\big(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0)\big).$$

Regola. Un sistema LTI stabile e reale, ingresso sinusoidale $A\cos(\omega_0t+\varphi)$: l'uscita è una sinusoide alla stessa pulsazione, con ampiezza $A\,|H(\omega_0)|$ e fase $\varphi+\arg H(\omega_0)$.

È la prima domanda di teoria ricorrente nei temi d'esame (dimostrare che $y=A'\cos(\omega_0t+\varphi')$ ed esprimere $A'$ e $\varphi'$): la dimostrazione è esattamente il calcolo qui sopra. Nel discreto vale lo stesso con $\omega_0\in[0,\pi]$: $$A\cos(\omega_0n+\varphi)\longrightarrow A\,|H(\omega_0)|\cos(\omega_0n+\varphi+\arg H(\omega_0)).$$

Conseguenza fondamentale. Un sistema LTI non crea frequenze nuove: nell'uscita compaiono soltanto le pulsazioni presenti nell'ingresso (eventualmente amplificate, attenuate, sfasate o soppresse se $H=0$). Perciò non esiste nessun LTI che trasformi $\operatorname{sinc}(t/2)$ (spettro in $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$) in $\operatorname{sinc}(2t)$ (spettro in $[-2\pi,2\pi]$): serve "generare" frequenze.

Esempi numerici

1. Filtro RC passa-basso. $h(t)=e^{-t}u(t)$. $H(\omega)=\int_0^\infty e^{-\tau}e^{-j\omega\tau}d\tau=\int_0^\infty e^{-(1+j\omega)\tau}d\tau=\frac{1}{1+j\omega}$. Quindi $|H|=\frac1{\sqrt{1+\omega^2}}$ e $\arg H=-\arctan\omega$. Con ingresso $\cos(\sqrt3\,t)$: $\omega_0=\sqrt3$, $|H|=\frac{1}{\sqrt{1+3}}=\frac12$, $\arg H=-\arctan\sqrt3=-\frac\pi3$. Uscita $$y(t)=\frac12\cos\left(\sqrt3\,t-\frac\pi3\right).$$ (Verificato numericamente: calcolando la convoluzione con passo $10^{-3}$ si trova $y(10)\approx-0{,}42218$ contro il valore previsto $-0{,}42220$.)

2. Uscita di due esponenziali in cascata. Il sistema con $h(t)=e^{-2t}u(t)-e^{-3t}u(t)$ ha $H(\omega)=\frac1{2+j\omega}-\frac1{3+j\omega}=\frac{1}{(2+j\omega)(3+j\omega)}$. Ingresso $x(t)=2\cos(3t)$. In $\omega_0=3$: $H(3)=\frac{1}{(2+3j)(3+3j)}=\frac1{-3+15j}=\frac{-3-15j}{9+225}=-\frac{1}{78}-j\frac5{78}$. Il modulo è $\frac{\sqrt{1+25}}{78}=\frac{\sqrt{26}}{78}\approx0{,}0654$. La fase è quella di un numero nel terzo quadrante: $\arg H=-\pi+\arctan5\approx-1{,}768$ (l'$\arctan$ da solo darebbe un angolo del primo quadrante: sbagliato, vedi Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →). L'uscita è $$y(t)=2\cdot0{,}0654\cos(3t-1{,}768)\approx0{,}1307\cos(3t-1{,}768).$$

3. Media mobile discreta. $y(n)=\frac12[x(n)+x(n-1)]$: $h=\frac12[\delta(n)+\delta(n-1)]$. $H(\omega)=\frac12(1+e^{-j\omega})=\frac12e^{-j\omega/2}\left(e^{j\omega/2}+e^{-j\omega/2}\right)=e^{-j\omega/2}\cos\frac\omega2$ per $\omega\in[0,\pi]$ (dove $\cos\frac\omega2\ge0$). Quindi $|H|=\cos\frac\omega2$, fase $-\frac\omega2$. Con $x(n)=\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)$: $|H(\frac\pi2)|=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$, fase $-\frac\pi4$, $y(n)=\frac{\sqrt2}2\cos\left(\frac{\pi n}2-\frac\pi4\right)$. Il guadagno si annulla in $\omega=\pi$: la sinusoide più veloce $(-1)^n$ viene soppressa (è un passa-basso).

4. Filtro passa-tutto e ritardo. Il ritardo ideale $h=\delta(t-t_0)$ ha $H(\omega)=e^{-j\omega t_0}$: $|H|=1$ e fase $-\omega t_0$, lineare in $\omega$. Un sistema con $|H|$ costante ma fase non lineare si dice "passa-tutto": non cambia le ampiezze delle sinusoidi ma le sfasa in modo diverso (Esercizio 8 · sistema anticausale e filtro passa-tutto (tema d'esame febbraio 2023) ne contiene uno a tempo discreto con $|H|=2$ costante).

Sistemi che non distorcono

Un sistema non distorce un segnale se l'uscita è una versione scalata e ritardata: $y(t)=A\,x(t-t_0)$. Infatti $h=A\delta(t-t_0)$, cioè $H(\omega)=Ae^{-j\omega t_0}$: modulo costante e fase lineare. Se il modulo non è costante, o la fase non è lineare, componenti di frequenze diverse sono amplificate o ritardate in modo diverso e la forma d'onda cambia.

Esempio (distorsione). Un filtro reale non distorce mai un segnale formato da una sola sinusoide: l'uscita $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$ è la sinusoide in ingresso scalata di $|H(\omega_0)|$ e ritardata di $t_0=-\frac{\arg H(\omega_0)}{\omega_0}$. La distorsione compare quando l'ingresso contiene più frequenze: per esempio con $x(t)=\cos(50\pi t)+5\cos(120\pi t)$ il filtro scala e sfasa le due componenti con $H(50\pi)$ e $H(120\pi)$, e il segnale non è più riconoscibile a meno che i due guadagni siano uguali e le due fasi corrispondano allo stesso ritardo.

Più sinusoidi insieme (forma canonica)

Quando l'ingresso è una somma di sinusoidi, si riporta ognuna alla forma canonica (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →), si calcola $H$ in ciascuna pulsazione e si sommano le uscite. Esempio (tema d'esame febbraio 2024, esercizio completo in Esercizio 7 · cascata di due sistemi discreti e ingresso sinusoidale (tema d'esame febbraio 2024)): se $H(\omega)=e^{j\omega}$ (anticipo di un campione) l'uscita a $x(n)=\cos\left(\frac{3\pi}{10}n\right)+\cos\left(\frac\pi{10}n-\frac\pi2\right)$ è $$y(n)=\cos\left(\frac{3\pi}{10}(n+1)\right)+\cos\left(\frac{\pi}{10}(n+1)-\frac\pi2\right).$$ Il fattore di fase $e^{j\omega}$ aggiunge $+\omega_0$ alla fase di ciascuna sinusoide: $+\frac{3\pi}{10}$ alla prima e $+\frac\pi{10}$ alla seconda.

Regime periodico

Un ingresso periodico $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ (serie di Fourier) è una somma di esponenziali e l'uscita è $y(t)=\sum_ka_kH(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}$: coefficienti moltiplicati per $H$ nelle pulsazioni delle armoniche (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).

Errori comuni

• Dimenticare la fase: $y=A|H|\cos(\omega_0t+\varphi)$ senza $+\arg H$.
• Calcolare la fase di $H$ con $\arctan(\Im/\Re)$ senza controllare il quadrante.
• Usare $|H(\omega_0)|$ per $x$ non periodico, o per sistemi instabili (per cui $H(\omega)$ non è definita).
• Pensare che il sistema possa modificare la pulsazione di un coseno.
• Usare la regola della sinusoide per un sistema non reale ($H(-\omega)\neq H^*(\omega)$): la fase non si somma in modo semplice.