Esercizio 7cascata di due sistemi discreti e ingresso sinusoidale (tema d'esame febbraio 2024)

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Teoria usata: Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →.

(1) Le risposte in frequenza

Per definizione $H(\omega)=\sum_nh(n)e^{-j\omega n}$.

• $H_1(\omega)=e^{-j\omega(-1)}-\frac12e^{-j\omega\cdot0}=e^{j\omega}-\frac12$ (il termine $\delta(n+1)$ è in $n=-1$, con fattore $e^{+j\omega}$).
• $H_2(\omega)=\sum_{n\ge0}\left(\frac12\right)^ne^{-j\omega n}=\sum_{n\ge0}\left(\frac12e^{-j\omega}\right)^n=\dfrac1{1-\frac12e^{-j\omega}}$ (serie geometrica di ragione $\frac12e^{-j\omega}$, di modulo $\frac12<1$).

(2) I moduli

Si calcola il modulo quadro. Per $H_1=\cos\omega-\frac12+j\sin\omega$: $$|H_1|^2=\left(\cos\omega-\tfrac12\right)^2+\sin^2\omega=\cos^2\omega-\cos\omega+\tfrac14+\sin^2\omega=\tfrac54-\cos\omega.$$ Per $H_2$, ricordando $\left|1-ae^{-j\omega}\right|^2=1+a^2-2a\cos\omega$ (con $a=\frac12$ dà $\frac54-\cos\omega$): $$|H_2|^2=\frac1{\frac54-\cos\omega}.$$ Andamento di $|H_1|$. $\sqrt{\frac54-\cos\omega}$ oscilla tra $\sqrt{\frac14}=\frac12$ in $\omega=0$ e $\sqrt{\frac94}=\frac32$ in $\omega=\pm\pi$: passa-alto, con minimo $\frac12$ (non nullo) in $\omega=0$.

Andamento di $|H_2|$. È il reciproco (in modulo quadro) di $|H_1|^2$: $|H_2|=\frac{1}{\sqrt{\frac54-\cos\omega}}$ vale $2$ in $\omega=0$ e $\frac23$ in $\omega=\pm\pi$: passa-basso. Il suo grafico è stato mostrato in Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) → ($|H_2|\cdot|H_1|=1$ per ogni $\omega$).

(3) Il sistema in serie

La serie corrisponde al prodotto delle risposte in frequenza: $$H(\omega)=H_1H_2=\frac{e^{j\omega}-\frac12}{1-\frac12e^{-j\omega}}.$$ Il numeratore si riscrive $e^{j\omega}-\frac12=e^{j\omega}\left(1-\frac12e^{-j\omega}\right)$ (si raccoglie $e^{j\omega}$: $e^{j\omega}\cdot\left(-\frac12e^{-j\omega}\right)=-\frac12$ ✓). Allora il fattore $1-\frac12e^{-j\omega}$ si semplifica: $$H(\omega)=e^{j\omega}\quad\Longrightarrow\quad h(n)=\delta(n+1).$$ Il sistema complessivo è un anticipo ideale di un campione: $y(n)=x(n+1)$. I due sistemi si "annullano" a vicenda, a parte l'anticipo: $S_2$ è l'inverso (causale) della parte "$1-\frac12e^{-j\omega}$" di $S_1$ (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →).

(4) Stabilità e causalità

Stabilità: $h\in\ell^1$.

• $S_1$: $\sum|h_1|=1+\frac12=\frac32<\infty$ ⇒ stabile.
• $S_2$: $\sum_{n\ge0}\left(\frac12\right)^n=2<\infty$ ⇒ stabile.
• $S$: $\sum|h|=1<\infty$ ⇒ stabile.

Causalità: $h(n)=0$ per $n<0$.

• $S_2$: $h_2(n)=0$ per $n<0$ ⇒ causale.
• $S_1$ e $S$: non nulli in $n=-1$ ⇒ non causali. Per $S$ vale $h(n)=\delta(n+1)=0$ per $n\ge0$: è anticausale.

(5) L'uscita a due sinusoidi

Passo 1: forma canonica dell'ingresso (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →). Nel discreto le pulsazioni valgono modulo $2\pi$.

• $\cos(199{,}7\pi n)$: $199{,}7\pi=200\pi-0{,}3\pi$ e $200\pi n$ è multiplo di $2\pi n$, quindi $\cos(199{,}7\pi n)=\cos(-0{,}3\pi n)=\cos\left(\frac{3\pi}{10}n\right)$.
• $\cos(54{,}1\pi n+255{,}5\pi)$: $54{,}1\pi n=54\pi n+0{,}1\pi n$ e $54\pi n=27\cdot2\pi n$; per la fase $255{,}5\pi=254\pi+1{,}5\pi\equiv1{,}5\pi\equiv-\frac\pi2$ (togliendo $127\cdot2\pi$ e poi $2\pi$). Quindi $\cos\left(\frac\pi{10}n-\frac\pi2\right)$.

$$x(n)=\cos\left(\frac{3\pi}{10}n\right)+\cos\left(\frac{\pi}{10}n-\frac\pi2\right).$$ Le pulsazioni sono $0{,}3\pi$ e $0{,}1\pi$ (in $[0,\pi]$): forma canonica ✓. (Controllato numericamente che le due espressioni di $x$ coincidono per $|n|\le30$.)

Passo 2: effetto del sistema. Poiché $h(n)=\delta(n+1)$, $y(n)=h*x(n)=x(n+1)$: $$y(n)=\cos\left[\frac{3\pi}{10}(n+1)\right]+\cos\left[\frac{\pi}{10}(n+1)-\frac\pi2\right]=\cos\left(\frac{3\pi}{10}n+\frac{3\pi}{10}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{10}n-\frac{2\pi}{5}\right),$$ dove nel secondo termine $\frac\pi{10}-\frac\pi2=\frac{\pi-5\pi}{10}=-\frac{4\pi}{10}=-\frac{2\pi}5$.

Verifica con la risposta in frequenza. $H(\omega)=e^{j\omega}$ ha $|H|=1$ e $\arg H=\omega$: ogni sinusoide a pulsazione $\omega_0$ guadagna la fase $+\omega_0$: $\frac{3\pi}{10}$ sulla prima e $\frac\pi{10}$ sulla seconda ✓. Lo stesso risultato si ottiene facendo passare $x$ in $S_1$ e poi in $S_2$ (verificato numericamente con la convoluzione diretta troncata: le due espressioni coincidono entro $10^{-9}$).

Errori comuni

• Calcolare $H_1$ con $e^{-j\omega}$ al posto di $e^{+j\omega}$: $\delta(n+1)$ è un anticipo, quindi $e^{+j\omega}$.
• Dimenticare di semplificare $H_1H_2$ e lasciare un rapporto: raccogliere $e^{j\omega}$ nel numeratore.
• Non ridurre le frequenze $199{,}7\pi$ e $54{,}1\pi$ modulo $2\pi$ e applicare $|H|$ in pulsazioni "fuori banda".
• Dire che $S$ è causale perché $S_2$ lo è: la serie è causale solo se entrambi lo sono (qui $S_1$ non lo è).