Esercizio 21equazione differenziale, funzione di trasferimento e stabilità (tema d'esame febbraio 2023)

---

Teoria usata: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →, Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →, Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →.

(1) La funzione di trasferimento

Come visto in Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →, i coefficienti dell'equazione sono i coefficienti dei polinomi: a sinistra $a(s)=s^2+\frac72s+\frac32$ (coefficienti di $y'',y',y$), a destra $b(s)=s-3$ (coefficienti di $x',x$). Dunque $$H_+(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{s-3}{s^2+\frac72s+\frac32}.$$ (Con stato iniziale nullo e trasformando termine a termine: $s^2Y+\frac72sY+\frac32Y=sX-3X$.) La ROC è un semipiano destro (sistema causale), a destra del polo con parte reale maggiore.

(2) Stabilità

Si fattorizza il denominatore: $s^2+\frac72s+\frac32=0\Rightarrow s=\frac{-\frac72\pm\sqrt{\frac{49}4-6}}{2}=\frac{-\frac72\pm\frac52}{2}$, cioè $s_1=-\frac12$ e $s_2=-3$. Quindi $$s^2+\tfrac72s+\tfrac32=\left(s+\tfrac12\right)(s+3).$$ Il grado del numeratore (1) è minore di quello del denominatore (2) e entrambi i poli hanno parte reale negativa ($-\frac12$ e $-3$): il sistema è BIBO stabile (teorema in Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →). Non ci sono semplificazioni tra $b(s)$ (zero in $s=3$) e i poli.

(3) La risposta impulsiva

Fratti semplici con il metodo dei limiti (Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →): $$H_+(s)=\frac{s-3}{\left(s+\frac12\right)(s+3)}=\frac{A_1}{s+\frac12}+\frac{A_2}{s+3}.$$ $$A_1=\lim_{s\to-\frac12}\left(s+\tfrac12\right)H_+=\frac{-\frac12-3}{-\frac12+3}=\frac{-\frac72}{\frac52}=-\frac75,\qquad A_2=\lim_{s\to-3}(s+3)H_+=\frac{-3-3}{-3+\frac12}=\frac{-6}{-\frac52}=\frac{12}5.$$ Quindi $$h_+(t)=\left(-\frac75e^{-t/2}+\frac{12}5e^{-3t}\right)u(t).$$ Controlli: $h_+(0^+)=-\frac75+\frac{12}5=1$ (corretto: $H_+\sim\frac1s$ per grandi $s$, quindi $h(0^+)=1$); $\int_0^\infty h_+=-\frac75\cdot2+\frac{12}5\cdot\frac13=-\frac{14}5+\frac45=-2=H_+(0)=\frac{-3}{3/2}$ ✓.

(4) L'uscita con $x(t)=2^{-t}u(t)$

Trasformata dell'ingresso. $2^{-t}=e^{-t\ln2}$: con $a=\ln2\approx0{,}6931$, $x(t)=e^{-at}u(t)$ e $X(s)=\frac1{s+a}$ (ROC $\mathrm{Re}\,s>-a$).

Uscita: $$Y(s)=H_+(s)X(s)=\frac{s-3}{(s+a)\left(s+\frac12\right)(s+3)}=\frac{B_1}{s+a}+\frac{B_2}{s+\frac12}+\frac{B_3}{s+3}.$$ (I tre poli sono distinti perché $a\ne\frac12$ e $a\ne3$.) Con il metodo dei limiti: $$B_1=\frac{-a-3}{\left(-a+\frac12\right)(-a+3)}=\frac{-3{,}6931}{(-0{,}1931)(2{,}3069)}\approx8{,}289,$$ $$B_2=\frac{-\frac12-3}{\left(-\frac12+a\right)\left(-\frac12+3\right)}=\frac{-3{,}5}{(0{,}1931)(2{,}5)}\approx-7{,}248,$$ $$B_3=\frac{-3-3}{(-3+a)\left(-3+\frac12\right)}=\frac{-6}{(-2{,}3069)(-2{,}5)}\approx-1{,}040.$$ Perciò $$y(t)=\left[B_1\,2^{-t}+B_2\,e^{-t/2}+B_3\,e^{-3t}\right]u(t)\approx\left[8{,}289\cdot2^{-t}-7{,}248\,e^{-t/2}-1{,}040\,e^{-3t}\right]u(t).$$ Controlli. (i) $y(0^+)=0$: $B_1+B_2+B_3=8{,}289-7{,}248-1{,}040=0{,}001\approx0$ ✓ (perché $Y\sim\frac1{s^2}$, il grado relativo è 2). (ii) $y'(0^+)=-aB_1-\frac12B_2-3B_3=-5{,}745+3{,}624+3{,}121=1{,}000$ ✓ (da $Y\sim\frac1{s^2}$ segue $y(t)\approx t$ vicino a $0^+$). (iii) Confronto con la soluzione numerica dell'equazione (integrazione con stato nullo): $y(0{,}5)=-0{,}01614$, $y(1)=-0{,}30378$, $y(3)=-0{,}58136$, $y(6)=-0{,}23136$: identici ai valori della formula. Il segno negativo deriva dallo zero in $s=3$ (il numeratore $s-3$ ha segno negativo in $s=0$: guadagno statico $H_+(0)=-2$). Per $t\to\infty$ l'uscita tende a $0$ (poli a parte reale negativa), con il termine più lento $e^{-t/2}$.

Errori comuni

• Scrivere $H_+$ con i coefficienti del secondo membro "in ordine invertito" (il numeratore è $s-3$, non $-3s+1$).
• Fattorizzare male il denominatore: $s^2+\frac72s+\frac32$ ha radici $-\frac12$ e $-3$ (il prodotto delle radici è $\frac32$, la somma $-\frac72$).
• Giudicare la stabilità sul solo grado (serve anche che i poli abbiano $\mathrm{Re}<0$).
• Trasformare $2^{-t}u(t)$ come $\frac1{s+2}$: è $\frac1{s+\ln2}$.