Esercizio 5finestra rettangolare discreta e derivata in frequenza della TFtd (tema d'esame giugno 2024)

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Teoria usata: Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →, Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →, Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →.

(1) Supporti e spazi

$x_1(n)=u(25-n^2)$ vale $1$ se $25-n^2\ge0$, cioè $n^2\le25$, cioè $|n|\le5$, e $0$ altrimenti: $x_1=\operatorname{rect}_5$, 11 campioni uguali a $1$ ($n=-5,\ldots,5$), supporto $[-5,5]$.

$x_2(n)=-n\,x_1(n)$ ha lo stesso supporto $[-5,5]$ (il fattore $-n$ annulla solo $n=0$). Valori: $x_2(n)=-n$ per $|n|\le5$, cioè $5,4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5$ per $n=-5,\ldots,5$.

$y=x_1*x_2$ ha supporto la somma dei supporti (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →): $[-5-5,\,5+5]=[-10,10]$, quindi 21 campioni.

Tutti e tre i segnali hanno supporto finito e valori finiti: quindi appartengono a $\ell^1$, $\ell^2$ e $\ell^\infty$ (somma di un numero finito di termini finiti).

(2) Grafici

$x_1$: $11$ campioni di valore $1$ tra $n=-5$ e $n=5$. $x_2$: la rampa discreta $-n$ nello stesso intervallo, dispari, da $+5$ a $-5$.

(3) La TFtd di $w_N$

$W_N(\omega)=\sum_{n=-N}^Ne^{-j\omega n}$: somma geometrica di $2N+1$ termini (vedi Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →). Si porta l'indice a partire da $0$ con $m=n+N$: $$W_N(\omega)=e^{j\omega N}\sum_{m=0}^{2N}e^{-j\omega m}=e^{j\omega N}\,\frac{1-e^{-j\omega(2N+1)}}{1-e^{-j\omega}}.$$ Si estrae $e^{-j\omega(2N+1)/2}$ dal numeratore e $e^{-j\omega/2}$ dal denominatore: $$=e^{j\omega N}\,\frac{e^{-j\omega\frac{2N+1}2}\left(e^{j\omega\frac{2N+1}2}-e^{-j\omega\frac{2N+1}2}\right)}{e^{-j\omega/2}\left(e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}\right)}=e^{j\omega\left[N-\frac{2N+1}2+\frac12\right]}\frac{2j\sin\left(\frac{2N+1}2\omega\right)}{2j\sin\frac\omega2}.$$ L'esponente $N-N-\frac12+\frac12=0$, quindi i fattori di fase spariscono: $$W_N(\omega)=\frac{\sin\left(\frac{2N+1}2\omega\right)}{\sin\frac\omega2}.$$ (Il passaggio vale per $\omega\ne2\pi k$; in $\omega=2\pi k$ la somma vale $2N+1$, e l'espressione si prolunga per continuità.)

(4) Le trasformate

• $X_1$. $x_1=w_5$ (infatti $|n|\le5$): $\boxed{X_1(\omega)=W_5(\omega)=\dfrac{\sin\frac{11\omega}2}{\sin\frac\omega2}}$, con $N=5$.
• $X_2$. $x_2=-n\,x_1$. Per la regola della derivata in frequenza ($n\,x(n)\leftrightarrow j\,X'(\omega)$, Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →) con il segno meno: $\boxed{X_2(\omega)=-j\,W_5'(\omega)}$. (Si può anche calcolare $W_5'$ esplicitamente: $W_5'(\omega)=\frac{\frac{11}2\cos\frac{11\omega}2\sin\frac\omega2-\frac12\sin\frac{11\omega}2\cos\frac\omega2}{\sin^2\frac\omega2}$.)
• $Y$. Per il teorema della convoluzione: $\boxed{Y(\omega)=X_1X_2=-j\,W_5(\omega)\,W_5'(\omega)}$.

Controllo numerico in $\omega=0{,}8$: la somma diretta $\sum_nx_2(n)e^{-j\omega n}$ dà $1{,}45077j$ e $-jW_5'(0{,}8)=1{,}45077j$; la somma diretta di $y$ dà $-3{,}54517j$ e $-jW_5W_5'$ dà lo stesso valore.

Forma chiusa di $y$ (come verifica). Si riconosce $W_5W_5'=\frac12\frac{d}{d\omega}\left(W_5^2\right)$, e $W_5^2$ è la TFtd di $x_1*x_1$, il triangolo $11-|n|$ per $|n|\le10$. Dalla regola $n\,z(n)\leftrightarrow jZ'$ con $Z=W_5^2$: $\mathcal F[n\,(x_1*x_1)]=j\cdot2W_5W_5'$, quindi $W_5W_5'=\frac{1}{2j}\mathcal F[n(x_1*x_1)]$ e $Y=-jW_5W_5'=-\frac12\mathcal F[n(x_1*x_1)]$: $$y(n)=-\frac n2\,(11-|n|)\quad\text{per }|n|\le10.$$ Per esempio $y(1)=-5$: direttamente $y(1)=\sum_{k=-4}^{5}x_2(1-k)\cdot1=-\sum_{k=-4}^5(1-k)=-(10-5)=-5$ ✓; i valori vanno da $y(-10)=5$ a $y(-5)=15$ (massimo) e $y(5)=-15$ (minimo): dispari. (Verificato con np.convolve.)

Errori comuni

• Dimenticare che $u(25-n^2)$ è una finestra $\operatorname{rect}_5$ (11 campioni) e non una semplice "metà retta".
• Sbagliare il numero di campioni della convoluzione: $11+11-1=21$, supporto $[-10,10]$.
• Dimenticare il segno meno: $x_2=-n\,x_1$ dà $X_2=-jW'$ e non $+jW'$.
• Dire che $y$ appartiene a $\ell^p$ solo per alcuni $p$: ha supporto finito, quindi a tutti.