Esercizio 26trasformata di Fourier con FFT e zero-padding (temi d'esame gennaio 2025 e febbraio 2026)

Teoria usata: FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →, Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda →.

Il metodo (richiamo)

Per campioni $x_n=x(t_0+n\Delta)$ si ha $X(\omega_k)\approx\Delta\,e^{-j\omega_kt_0}\,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{M\Delta}$, $f_k=\frac k{M\Delta}$ (indici $k=0,\ldots,M-1$; per $k>\frac M2$ sono le frequenze negative). Per il modulo, $t_0$ non conta (FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →). Lo zero-padding si ottiene con np.fft.fft(x, M), scegliendo $M$ potenza di due maggiore di $N$ (qui $M=2^{3+\lceil\log_2N\rceil}$).

Soluzione del testo A

Passo 1: il segnale. $\operatorname{rect}\left(\frac{t-T}{2T}\right)$ vale $1$ per $|t-T|<T$, cioè $0<t<2T=20$: il coseno è "acceso" tra $0$ e $20$ s (in $(-2,30)$ c'è quindi un tratto nullo prima e uno dopo). Si usa un indicatore booleano.

import numpy as np
nextpow2 = lambda N: int(np.ceil(np.log2(N)))

A, T, w0, Tc = 2.0, 10.0, 3.0, 1e-3
t = np.arange(-2, 30 + Tc/2, Tc)                      # (-2, 30) a passo Tc
x = A*np.cos(w0*t) * (np.abs((t - T)/(2*T)) < 0.5)     # A cos(w t) rect((t-T)/(2T))
# plt.plot(t, x)   -> figura 1

Passo 2: lo spettro con la FFT. $N=32001$ campioni; $M=2^{3+16}=2^{18}=262144$ (zero-padding di un fattore $\approx8$).

N = len(t); M = 2**(3 + nextpow2(N))
X = Tc*np.abs(np.fft.fft(x, M))              # |X| = Tc |fft|   (modulo: t0 non conta)
Fc = 1/Tc
f = np.arange(M//2 + 1) * Fc / M             # frequenze POSITIVE in Hz: 0, Fc/M, ..., Fc/2
# plt.plot(f, X[:M//2+1]); plt.xlim(0, 3*w0/(2*np.pi))   -> figura 2

Scala delle frequenze. I campioni della FFT hanno passo $\frac{F_c}{M}=\frac1{M\Delta}=0{,}0038$ Hz e coprono $[0,F_c)$; le frequenze positive fino a $\frac{F_c}2=500$ Hz sono i primi $\frac M2+1$ campioni. Si disegna l'ascissa in Hz perché il testo chiede "frequenze" (per le pulsazioni $\omega=2\pi f$).

Cosa si osserva. Il modulo ha un picco di $20{,}08$ a $f\approx0{,}4768$ Hz (campione più vicino a $f_0=\frac{\omega}{2\pi}=0{,}4775$ Hz): l'impulso è una sinusoide a $\omega=3$ limitata nel tempo a una finestra lunga $2T=20$ s, quindi lo spettro è un $\operatorname{sinc}$ centrato in $f_0$ con altezza $\frac A2\cdot2T=AT=20$ e lobo principale con gli zeri a $\pm\frac1{2T}=\pm0{,}05$ Hz dal centro (largo $0{,}1$ Hz in totale) (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →: $\frac A2W(\omega-\omega_0)$, $W(\omega)=2T\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega T}{\pi}\right)e^{-j\omega T}$). Il valore $20{,}08$ (e non $20$) include il contributo della replica a frequenza negativa $-\omega_0$, che a $f_0$ vale poco più dell'$1\%$. In tre punti vicini al picco, la FFT dà $|X(2{,}5)|=3{,}345$, $|X(3)|=20{,}080$, $|X(3{,}5)|=4{,}091$ (con $\omega$ in rad/s) in accordo con la formula esatta.

Perché lo zero-padding. Senza zero-padding ($M=N=32001$) il passo in frequenza sarebbe $\frac{1000}{32001}\approx0{,}031$ Hz; con $M=262144$ è $0{,}0038$ Hz e il lobo principale (largo $0{,}1$ Hz) è disegnato con circa $26$ punti (senza zero-padding ne basterebbero $3$) (FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →).

Soluzione del testo B

A, Tc, T = 2.0, 1e-3, 20.0
t = np.arange(0, T + Tc/2, Tc)
x = A*np.exp(-3*t)                         # per t >= 0 il gradino vale 1
N = len(t); M = 2**(nextpow2(N) + 3)
X = np.fft.fftshift(Tc*np.fft.fft(x, M))
w = 2*np.pi*np.arange(-M/2, M/2)/(M*Tc)    # asse delle PULSAZIONI [rad/s]
Xe = A/np.sqrt(9 + w**2)                   # |X| teorico
# plt.plot(w, np.abs(X)); plt.plot(w, Xe); plt.xlim(-20, 20)

Lo spettro teorico. $X(\omega)=A\int_0^\infty e^{-3t}e^{-j\omega t}dt=\frac A{3+j\omega}$, con modulo $\frac{A}{\sqrt{9+\omega^2}}$. Per $A=2$: $|X(0)|=\frac23$, e $\frac{2}{\sqrt{18}}=0{,}471$ in $\omega=3$ (taglio a $-3$ dB).

Asse delle ascisse. Le ascisse sono pulsazioni $\omega$ in rad/s (testo: "attenzione alla denominazione dell'asse"): $\omega_k=\frac{2\pi k}{M\Delta}$ da $-\frac\pi\Delta=-3141{,}6$ a $\frac\pi\Delta-\frac{2\pi}{M\Delta}$ rad/s, passo $0{,}024$ rad/s. Si fa uno zoom con xlim(-20, 20) per vedere il picco.

Confronto numerico. Per $|\omega|<20$ l'errore massimo tra la FFT (moltiplicata per $\Delta$) e la formula è $1{,}0\cdot10^{-3}$ ($0{,}15\%$ del picco $\frac23$): le due curve sono praticamente sovrapposte. L'accordo non è perfetto per due motivi.

1. Primo campione. La FFT calcola $\Delta\sum_{n\ge0}x_n e^{-j\omega n\Delta}$ (somma rettangolare), che dà $x(0)=A=2$ pieno peso; il segnale $Ae^{-3t}u(t)$ in $t=0$ ha però un salto da $0$ a $A$ e, con la convenzione dell'emivalore, vale $\frac A2$. L'errore è proprio $\frac\Delta2\cdot A=10^{-3}$. Correggendo con $\Delta\left[\mathtt{fft}(x,M)-\frac{x_0}2\right]$ (regola dei trapezi) l'errore massimo scende a $3{,}4\cdot10^{-6}$.
2. Aliasing e troncamento. Il segnale non è a banda limitata: $|X|\to0$ come $\frac1{|\omega|}$ e la frequenza massima rappresentabile è $\frac\pi\Delta=3142$ rad/s, quindi la prima replica aggiunge $\approx\frac{2}{6283}=3\cdot10^{-4}$ in $\omega\approx0$, trascurabile rispetto alla scala del grafico (Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda →). Il troncamento a $T=20$ s è irrilevante: $x(20)=2e^{-60}\approx10^{-26}$.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\Delta=T_c$ (lo spettro verrebbe $\frac1\Delta=1000$ volte troppo grande).
• Costruire l'asse delle frequenze con np.arange(M)/M (frequenza normalizzata) invece di $\frac{k}{M\Delta}$ (in Hz) o $\frac{2\pi k}{M\Delta}$ (in rad/s); oppure dimenticare di passare da Hz a rad/s quando il testo chiede la pulsazione.
• Disegnare tutto il vettore della FFT quando si chiedono solo le frequenze positive: occorre fermarsi a $\frac M2+1$.
• Non usare lo zero-padding e disegnare una curva "a scalini" con pochi punti.
• Usare np.fft.fft(x, N) senza argomento $M$: lo zero-padding si ottiene solo passando $M$.