Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati

La definizione $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →) non ha senso per una costante o per una sinusoide, che non sono in $L^1$ né in $L^2$. Eppure queste sono le "autofunzioni" dei sistemi LTI. Si estende allora la TF usando le funzioni generalizzate (le $\delta$ di Dirac, Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →): la TF di una sinusoide è una coppia di impulsi in frequenza, e questo è esattamente quello che ci si aspetta da una "righa" a una sola pulsazione.

Le coppie base

La costante. Si verifica per inversione: se $X(\omega)=2\pi\delta(\omega)$, allora $\frac1{2\pi}\int2\pi\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega=e^{0}=1$. Quindi $$1\leftrightarrow2\pi\,\delta(\omega).$$ (È anche la dualità di $\delta(t)\leftrightarrow1$: Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →.) Lo spettro della costante è un impulso in $\omega=0$: tutta l'energia (infinita) alla frequenza nulla, con "area" $2\pi$.

L'esponenziale complesso. Per la proprietà di modulazione, $e^{j\omega_0t}\cdot1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$: $$e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\,\delta(\omega-\omega_0).$$

Le sinusoidi. Con Eulero: $$\cos(\omega_0t+\varphi_0)\leftrightarrow\pi\left[e^{j\varphi_0}\delta(\omega-\omega_0)+e^{-j\varphi_0}\delta(\omega+\omega_0)\right],\qquad\sin(\omega_0t)\leftrightarrow\frac\pi j\left[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)\right].$$ Per $\varphi_0=0$ il coseno ha spettro reale e pari (due impulsi uguali di area $\pi$) e il seno immaginario e dispari, in accordo con le simmetrie.

Il segno e il gradino. Per il segno $\operatorname{sgn}(t)$ si usa la derivata: $\operatorname{sgn}'(t)=2\delta(t)$, quindi $j\omega\,S(\omega)=2$ e $S(\omega)=\frac2{j\omega}$ (non c'è termine $\delta(\omega)$ perché $\operatorname{sgn}$ è dispari e ha valor medio nullo). Dal gradino $u(t)=\frac12+\frac12\operatorname{sgn}(t)$: $$\operatorname{sgn}(t)\leftrightarrow\frac2{j\omega},\qquad u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}.$$ Il termine $\pi\delta(\omega)$ è la TF della parte costante $\frac12$ del gradino; $\frac1{j\omega}$ è la parte dispari. Ecco perché la regola di integrazione $\int_{-\infty}^tx\leftrightarrow\frac{X(\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)$ contiene il termine in $\delta$.

Il prodotto con una delta. Per la proprietà rivelatrice, $X(\omega)\,\delta(\omega-\omega_0)=X(\omega_0)\,\delta(\omega-\omega_0)$: moltiplicare una funzione continua per un impulso significa campionarla in quel punto.

Segnali periodici

Sia $x(t)$ periodico di periodo $T$ con serie $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →). Per linearità e per la TF di $e^{jk\omega_0t}$:

$$\boxed{x(t)\ \text{periodico}\ \leftrightarrow\ X(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\,\delta(\omega-k\omega_0).}$$

Lo spettro è un pettine di impulsi nelle pulsazioni delle armoniche, di area $2\pi a_k$. È la formula che unisce serie e trasformata. Per $x$ reale le aree sono hermitiane. Attenzione: $X(\omega)$ è una distribuzione, quindi quando si disegna lo spettro l'altezza della "freccia" rappresenta l'area dell'impulso.

Esempio 1: il coseno rettificato ($|\cos\pi t|$, $\omega_0=2\pi$, $a_k=\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)}$, Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoliCoefficienti di Fourier dei segnali periodici più frequenti: costante e sinusoidi (si leggono con Eulero), pettine ($a_k=1/T$), onda quadra con duty cycle $d$ ($a_k=d,\operatorname{sinc}(kd)$), coseno rettificato, dente di sega e onda triangolare. Utile anche il trucco della derivata: $a_k=b_k/(jk\omega_0)$ dove $b_k$ sono i coefficienti di $x'$.Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli →): $X(\omega)=\sum_k\frac{4(-1)^{k+1}}{4k^2-1}\delta(\omega-2\pi k)$. L'area dell'impulso in $\omega=0$ vale $4$, in $\pm2\pi$ vale $\frac43$, in $\pm4\pi$ vale $-\frac4{15}$.

Esempio 2: l'onda quadra $\operatorname{rep}_4\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)$ ($\omega_0=\frac\pi2$, $a_k=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right)$): $X(\omega)=\pi\sum_k\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right)\delta\left(\omega-\frac{k\pi}2\right)$. Impulsi di area $\pi$ in $\omega=0$, $2$ in $\pm\frac\pi2$ ($\pi\cdot\frac2\pi$), $0$ in $\pm\pi$, $-\frac23$ in $\pm\frac{3\pi}2$.

Il pettine di Dirac e la periodizzazione

Il pettine $\operatorname{comb}_T(t)=\sum_k\delta(t-kT)$ ha coefficienti $a_k=\frac1T$ (tutti uguali). Quindi $$\operatorname{comb}_T(t)\leftrightarrow\frac{2\pi}T\sum_k\delta\left(\omega-\frac{2\pi k}T\right)=\omega_0\operatorname{comb}_{\omega_0}(\omega),\qquad\omega_0=\frac{2\pi}T.$$ Il pettine nel tempo si trasforma in un pettine in frequenza, con passo $\frac{2\pi}T$ inversamente proporzionale al passo temporale $T$ e area $\omega_0$ per ogni impulso.

Ora, la ripetizione periodica è la convoluzione con il pettine: $\operatorname{rep}_Tx_0=x_0*\operatorname{comb}_T$ (convolvere con una somma di impulsi dà la somma delle copie traslate, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →). Applicando la TF: $$\operatorname{rep}_Tx_0\leftrightarrow X_0(\omega)\cdot\omega_0\sum_k\delta(\omega-k\omega_0)=\omega_0\sum_kX_0(k\omega_0)\,\delta(\omega-k\omega_0).$$ Confrontando con la formula dei periodici, $2\pi a_k=\omega_0X_0(k\omega_0)$, cioè $$a_k=\frac1TX_0(k\omega_0),$$ dove $X_0$ è la trasformata del segnale su un periodo. Verifica con l'onda quadra: $x_0=\operatorname{rect}\left(\frac t{2a}\right)$, $X_0(\omega)=2a\operatorname{sinc}\left(\frac{2a\omega}{2\pi}\right)$ e $a_k=\frac{2a}T\operatorname{sinc}\left(\frac{2ak\omega_0}{2\pi}\right)=\frac{2a}T\operatorname{sinc}\left(\frac{2ak}T\right)$ ✓. Si può quindi trovare i coefficienti di una ripetizione periodica da una trasformata già nota. Conclusione:

Periodizzare nel tempo equivale a campionare lo spettro in frequenza (con passo $\omega_0=2\pi/T$ e peso $\omega_0$), e dualmente campionare nel tempo equivale a periodizzare lo spettro (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →).

La relazione è la formula di Poisson per la periodizzazione: $\sum_kx_0(t-kT)=\frac1T\sum_mX_0\left(\frac{2\pi m}T\right)e^{j\frac{2\pi m}Tt}$ (non è altro che la serie di Fourier della ripetizione).

Spettri di segnali misti (esempi d'esame)

Esempio 3 (tema d'esame gennaio 2024, Esercizio 18 · spettro, campionamento e filtraggio di sinc quadro più coseno (tema d'esame gennaio 2024)). $x(t)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)+\cos\left(\frac{3\pi}Tt\right)$. Con $\omega_0=\frac\pi T$: il primo termine è $T\Lambda\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)=T\Lambda\left(\frac\omega{2\omega_0}\right)$ (supporto $|\omega|<2\omega_0$); il secondo è un coseno a $3\omega_0$. Quindi $$X(\omega)=T\Lambda\left(\frac\omega{2\omega_0}\right)+\pi\delta(\omega-3\omega_0)+\pi\delta(\omega+3\omega_0).$$ Lo spettro è un triangolo continuo più due impulsi fuori dal triangolo ($3\omega_0>2\omega_0$). La banda del segnale è $3\omega_0$.

Esempio 4 (tema d'esame gennaio 2025). $x(t)=v(t)+w(t)$ con $v(t)=\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ e $w(t)=\cos(\omega_1t+\varphi)$, $\omega_1=\frac{3\cdot2\pi}T$. Il primo è un segnale di energia $T$ (potenza nulla) e il secondo un segnale di potenza ($\frac12$, energia infinita), quindi $x$ è un segnale di potenza. $X(\omega)=T\operatorname{sinc}\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)+\pi\left[e^{j\varphi}\delta(\omega-\omega_1)+e^{-j\varphi}\delta(\omega+\omega_1)\right]$. Il sinc ha banda illimitata: non esiste frequenza di campionamento che permetta di ricostruire esattamente $x$ (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).

Esempio 5 (modulazione). $y(t)=\cos(4\omega_0t)x(t)$ con $x$ dell'esempio 3: $Y(\omega)=\frac12[X(\omega-4\omega_0)+X(\omega+4\omega_0)]$: due triangoli (altezza $\frac T2$) centrati in $\pm4\omega_0$ e quattro impulsi di area $\frac\pi2$ in $\pm\omega_0$ e $\pm7\omega_0$ (ogni delta di area $\pi$ in $\pm3\omega_0$ viene dimezzata e traslata di $\pm4\omega_0$: $3\omega_0\pm4\omega_0\in\{7\omega_0,-\omega_0\}$ e $-3\omega_0\pm4\omega_0\in\{\omega_0,-7\omega_0\}$).

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $2\pi$: la TF di $e^{j\omega_0t}$ è $2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, non $\delta(\omega-\omega_0)$.
• Disegnare l'impulso con altezza uguale al coefficiente $a_k$ invece di indicare l'area $2\pi a_k$.
• Dimenticare il termine $\pi\delta(\omega)$ nella TF del gradino.
• Usare la serie $\sum a_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0$ sbagliato.