Delta di Dirac e derivate generalizzate

Per descrivere il comportamento di un sistema serve un segnale di prova "più breve di qualsiasi altro": una sollecitazione istantanea e di area unitaria, come un colpo di martello o un campione di durata infinitesima. La matematica di questo oggetto è la delta di Dirac. Non è una funzione ordinaria ma una funzione generalizzata (distribuzione): si definisce per il modo in cui agisce quando è integrata contro un altro segnale.

L'impulso discreto (delta di Kronecker)

Nel discreto non ci sono sottigliezze: $$\delta(n) = \begin{cases}1 & n=0\\ 0 & n\ne0\end{cases}$$

• Estensione: il solo punto $n=0$; area: $\sum_n\delta(n) = 1$; è pari.
• Legame col gradino: $\delta(n) = u(n) - u(n-1)$ (la "derivata discreta" di $u$) e $u(n) = \sum_{k\le n}\delta(k)$.
• Proprietà rivelatrice: il prodotto con $\delta(n-n_0)$ isola un campione: $s(n)\delta(n-n_0) = s(n_0)\delta(n-n_0)$. Sommando su $n$ si ottiene $\sum_ns(n)\delta(n-n_0) = s(n_0)$.
• Espressione alternativa di un segnale: $s(n) = \sum_{k}s(k)\,\delta(n-k)$, cioè un segnale è la somma dei suoi campioni, ciascuno un impulso traslato e pesato. È la chiave della convoluzione (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →).

L'impulso continuo (delta di Dirac)

Idea. Si prende un rettangolo centrato nell'origine di area $1$ e altezza $k$, quindi larghezza $\frac1k$: $r_k(t) = k\operatorname{rect}(kt)$. Al crescere di $k$ il rettangolo diventa sempre più alto e stretto, ma l'area resta $1$. Al limite ($k\to\infty$) si ottiene $\delta(t)$:

$$\delta(t) = \lim_{k\to\infty}k\operatorname{rect}(kt).$$

Il limite non è una funzione (varrebbe "$+\infty$" in $t=0$ e $0$ altrove) ma l'integrale di $r_k$ vale sempre $1$, ed è questa la proprietà che si conserva.

Proprietà fondamentali.

• Estensione: il solo punto $t=0$ (nullo per $t\ne0$). Area: $\int\delta(t)\,dt=1$.
• Parità: $\delta(-t) = \delta(t)$.
• Gradino: $u(t) = \int_{-\infty}^t\delta(\tau)\,d\tau$, equivalentemente $\delta(t) = u'(t)$ (derivata generalizzata).
• Proprietà rivelatrice (o di campionamento): per ogni $x$ continuo in $t_0$, $$\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\delta(t-t_0)\,dt = x(t_0), \qquad x(t)\,\delta(t-t_0) = x(t_0)\,\delta(t-t_0).$$ Il prodotto con una delta "rivela" il valore del segnale nel punto in cui è centrata. La seconda uguaglianza dice che il prodotto è ancora un impulso, di area $x(t_0)$.
• Cambio di scala: $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$ per $a\ne0$. Perché: $\int\delta(at)\,dt$ con $u=at$ è $\frac1{|a|}\int\delta(u)du = \frac1{|a|}$: comprimere nel tempo l'impulso ne riduce l'area. Esempio: $\int\delta(2t)\,dt = \frac12$.
• Traslazione: $\delta(t-t_0)$ è un impulso nell'istante $t_0$.

Esempio: un segnale che sembra complicato. Si vuole semplificare $\operatorname{sinc}(t)\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(t-k)$. Per la proprietà rivelatrice ogni termine vale $\operatorname{sinc}(k)\,\delta(t-k)$. Ma $\operatorname{sinc}(k) = \frac{\sin\pi k}{\pi k} = 0$ per $k\ne0$ (gli zeri del sinc sono gli interi non nulli) mentre $\operatorname{sinc}(0)=1$. Quindi tutti i termini spariscono tranne $k=0$: $$\operatorname{sinc}(t)\sum_{k}\delta(t-k) = \delta(t).$$ Lo stesso fatto, con passo diverso da 1, è alla base della formula di interpolazione del campionamento (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).

Pettine di Dirac

Il pettine (comb) di periodo $T_p$ è la ripetizione periodica dell'impulso: $$\operatorname{comb}_{T_p}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT_p).$$ È periodico di periodo $T_p$, con un impulso di area $1$ per ogni periodo. Nel discreto $\operatorname{comb}_N(n)=\sum_k\delta(n-kN)$. Servirà come campionatore ideale (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →) e per i segnali periodici (Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →).

Derivate generalizzate

Una funzione con un salto (discontinuità a gradino) non è derivabile nell'ordinario senso, ma è derivabile in senso generalizzato. Il caso base è $u'(t) = \delta(t)$. Per una discontinuità in $t_0$ con limite sinistro $s(t_0^-)$ e destro $s(t_0^+)$, la derivata generalizzata contiene, in quel punto, un impulso

$$\big[s(t_0^+)-s(t_0^-)\big]\;\delta(t-t_0).$$

Perché: nell'intorno di $t_0$ il segnale è una funzione continua più un gradino di ampiezza $\Delta=s(t_0^+)-s(t_0^-)$, cioè $\Delta\,u(t-t_0)$, che ha derivata $\Delta\,\delta(t-t_0)$.

Per derivare un segnale a tratti si somma, in ogni intervallo, la derivata ordinaria, e in ogni salto un impulso di area uguale all'ampiezza del salto (con segno).

Esempio 1: gradini sommati. $s(t) = 2u(t-1)-3u(t-2)+2u(t-4)$. La derivata generalizzata è $$s'(t) = 2\delta(t-1)-3\delta(t-2)+2\delta(t-4).$$ Si legge direttamente: salto $+2$ in $t=1$, $-3$ in $t=2$, $+2$ in $t=4$.

Esempio 2: la finestra. $\operatorname{rect}(t) = u(t+\frac12)-u(t-\frac12)$, quindi $\operatorname{rect}'(t) = \delta\left(t+\frac12\right)-\delta\left(t-\frac12\right)$: un impulso positivo dove la finestra sale, uno negativo dove scende.

Esempio 3: un segnale a tratti (tema d'esame giugno 2025). $x(t)=t+1$ per $-1<t<0$, $x(t)=1$ per $0<t<1$, nullo altrove. Il segnale è continuo in $t=-1$ (vale $0$ da entrambe le parti), continuo in $t=0$ (entrambi i limiti valgono 1) e ha un salto in $t=1$ da $1$ a $0$, ampiezza $-1$. Derivata ordinaria: $1$ per $-1<t<0$, $0$ per $0<t<1$ e fuori. Quindi $$x'(t) = \operatorname{rect}\left(t+\tfrac12\right) - \delta(t-1).$$ Qui $\operatorname{rect}(t+\frac12)$ vale $1$ per $-1<t<0$. L'integrale di $x'$ su tutto $\mathbb{R}$ è $1 - 1 = 0$ (coerente col fatto che $x(\pm\infty)=0$). Il calcolo completo con trasformata di Fourier è in Esercizio 4 · derivata generalizzata e trasformata di un segnale a tratti (tema d'esame giugno 2025).

Derivate della delta

Anche $\delta'$ ha senso: è la derivata di un impulso (un "doppietto"). La si definisce tramite l'integrazione per parti: $\int x(t)\,\delta'(t-t_0)\,dt = -x'(t_0)$. In pratica: il prodotto con $\delta'$ rivela la derivata del segnale (con segno meno). Più in generale $\int x\,\delta^{(k)}(t-t_0)\,dt = (-1)^kx^{(k)}(t_0)$. Servirà per le derivate dei segnali a tratti con più salti e per $\mathcal L[\delta'] = s$ (Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →).

Errori comuni

• Trattare $\delta(0)$ come "infinito" e fare conti con il valore: contano solo gli integrali.
• Dimenticare il fattore $\frac1{|a|}$ in $\delta(at)$.
• Dimenticare di mettere la delta quando si deriva un salto (e dimenticare il segno del salto: un salto verso il basso dà area negativa).
• Confondere $\delta(n)$ (vale 1) con $\delta(t)$ (area 1, non un valore).