Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione

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Tra tutti i sistemi (Sistemi e loro proprietà) i più importanti sono quelli lineari e tempo-invarianti (LTI, detti anche filtri). Per essi vale un risultato forte: basta conoscere l'uscita a un solo ingresso, l'impulso ideale, per conoscere l'uscita a qualsiasi ingresso.

Risposta impulsiva

La risposta impulsiva di un sistema è l'uscita quando l'ingresso è l'impulso: $h(t)=\Sigma[\delta](t)\ \text{(continuo)},\qquad h(n)=\Sigma[\delta](n)\ \text{(discreto)}.$ (Nelle note la si indica con $h$ ; in altri testi $g$ .) Per un sistema TI, l'impulso traslato produce la risposta traslata: $\Sigma[\delta(\cdot-t_0)](t)=h(t-t_0)$ . Infatti $\delta(t-t_0)$ è $\delta$ ritardata di $t_0$ e per la tempo-invarianza la risposta è ritardata di $t_0$ .

Il caso discreto

Passo 1: ogni segnale è una somma di impulsi. Per la proprietà rivelatrice (Delta di Dirac e derivate generalizzate): $x(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)\,\delta(n-k).$ Il campione $k$ -esimo è un impulso nell'istante $k$ , pesato con il numero $x(k)$ .

Passo 2: linearità. Applicando $\Sigma$ ai due membri e portando dentro la somma (la linearità ci permette di scambiare $\Sigma$ con la somma e di tirar fuori le costanti $x(k)$ ): $y(n)=\Sigma[x](n)=\sum_kx(k)\,\Sigma[\delta(\cdot-k)](n).$

Passo 3: tempo-invarianza. $\Sigma[\delta(\cdot-k)](n)=h(n-k)$ . Quindi $\boxed{y(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)\,h(n-k)=(x*h)(n)}$ Questa somma si chiama convoluzione discreta. L'uscita è la somma delle risposte impulsive, ciascuna ritardata di $k$ e pesata con $x(k)$ .

Il caso continuo

Qui si procede per approssimazione. Si divide l'asse in intervalli di larghezza $\Delta$ e si approssima $x(t)$ con una scala di impulsi rettangolari: sull'intervallo $[k\Delta,(k+1)\Delta)$ il segnale vale circa $x(k\Delta)$ , cioè $x(t)\approx\sum_kx(k\Delta)\,\operatorname{pulse}_\Delta(t-k\Delta)\,\Delta,\qquad\operatorname{pulse}_\Delta(t)=\frac1\Delta\operatorname{rect}\left(\frac{t}{\Delta}-\frac12\right)$ (il rettangolo di area $1$ sull'intervallo $[0,\Delta)$ ; il fattore $\Delta$ rimette l'ampiezza giusta). Per linearità e tempo-invarianza l'uscita è la somma delle risposte a ciascun rettangolo, $h_\Delta(t-k\Delta)$ con $h_\Delta=\Sigma[\operatorname{pulse}_\Delta]$ : $y(t)\approx\sum_kx(k\Delta)\,h_\Delta(t-k\Delta)\,\Delta.$ Quando $\Delta\to0$ il rettangolo tende a $\delta$ (quindi $h_\Delta\to h$ ), $k\Delta\to u$ e la somma diventa un integrale: $\boxed{y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\,h(t-u)\,du=(x*h)(t)}$ detto integrale di convoluzione.

Teorema (della risposta impulsiva). Un sistema LTI è completamente caratterizzato da $h$ e l'uscita è $y=x*h$ . Viceversa ogni convoluzione con un segnale $h$ è un sistema LTI (linearità e invarianza si verificano subito). I sistemi LTI sono dunque tutti e soli i sistemi di convoluzione.

Come si legge la convoluzione

Nell'integrale $\int x(u)h(t-u)\,du$ la variabile è $u$ , e $t$ è un parametro. Il segnale $u\mapsto h(t-u)$ è la risposta impulsiva ribaltata ( $u\to-u$ ) e poi traslata di $t$ (il valore $h(0)$ si trova ora in $u=t$ ). Il risultato $y(t)$ è l'area del prodotto di $x(u)$ per $h(t-u)$ :

si ribalta $h$ intorno a $u=0$ ottenendo $h(-u)$ ;
si trasla il ribaltato di $t$ ottenendo $h(t-u)$ (a destra se $t>0$ );
si moltiplica per $x(u)$ ;
si integra su $u$ : questo numero è $y(t)$ ;
si ripete per ogni $t$ (il ribaltato "scorre" lungo l'asse).

La procedura è ben definita (l'integrale converge) per segnali di energia finita, per segnali causali o loro traslazioni, per segnali a supporto limitato (Calcolo della convoluzione e sue proprietà).

Primi esempi

Identità e ritardo. $h(t)=\delta(t)$ : $y(t)=\int x(u)\delta(t-u)du=x(t)$ , quindi $x*\delta=x$ . Con $h(t)=\delta(t-t_0)$ si ottiene $y(t)=x(t-t_0)$ : il ritardo ideale. In generale convolvere con un impulso traslato trasla il segnale.

Integratore. $y(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau$ è la convoluzione con $h(t)=u(t)$ : infatti $\int x(u)u(t-u)du$ è l'integrale su $u<t$ (dove $u(t-u)=1$ ).

Media mobile. $y(t)=\frac1{2T}\int_{t-T}^{t+T}x(u)du$ ha $h(t)=\frac1{2T}\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2T}\right)$ .

Sistema discreto a due termini. $y(n)=x(n)+x(n-1)$ ha $h(n)=\delta(n)+\delta(n-1)$ . Con ingresso $x=(2,1,3)$ (cioè $x(0)=2$ , $x(1)=1$ , $x(2)=3$ , nullo altrove) si calcola, per $y(n)=x(n)+x(n-1)$ : $y(0)=2$ ; $y(1)=x(1)+x(0)=3$ ; $y(2)=x(2)+x(1)=4$ ; $y(3)=x(3)+x(2)=0+3=3$ . Uscita $(2,3,4,3)$ : un campione in più dell'ingresso (4 contro 3).

Convoluzione discreta di due sequenze finite. $x=(1,2,1)$ e $h=(1,-1,2)$ entrambe da $n=0$ . $y(n)=\sum_kx(k)h(n-k)$ :

$y(0)=x(0)h(0)=1$ ;
$y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=-1+2=1$ ;
$y(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=2-2+1=1$ ;
$y(3)=x(1)h(2)+x(2)h(1)=4-1=3$ ;
$y(4)=x(2)h(2)=2$ .

Risultato: $y=(1,1,1,3,2)$ per $n=0,\ldots,4$ . La lunghezza è $3+3-1=5$ (regola dell'estensione, Calcolo della convoluzione e sue proprietà); la somma dei campioni è $4\cdot2=8$ (area del prodotto, $\sum y=\sum x\cdot\sum h$ ✓ perché $\sum x=4$ , $\sum h=2$ ).

Risposta al gradino

Si chiama risposta indiciale (o al gradino) l'uscita quando $x=u$ : $s(t)=h*u(t)=\int_{-\infty}^th(\tau)\,d\tau,\qquad h(t)=s'(t).$ Esempio: $h(t)=e^{-t}u(t)$ ha $s(t)=\int_0^te^{-\tau}d\tau=1-e^{-t}$ per $t>0$ (e $0$ prima). Nel discreto $s(n)=\sum_{k\le n}h(k)$ .

Errori comuni

Dimenticare il ribaltamento: $\int x(u)h(u)\,du$ non è una convoluzione (è un prodotto scalare).
Usare il risultato "uscita $=x*h$ " per un sistema non LTI.
Ribaltare $x$ e $h$ : il ribaltamento va fatto su uno solo dei due (e commuta: $x*h=h*x$ ).
Credere che la convoluzione di segnali di durata finita abbia la durata del più lungo: la durata è la somma delle durate.

Versione ripasso

Risposta impulsiva: $h=\Sigma[\delta]$ ; TI $\Rightarrow\Sigma[\delta(\cdot-t_0)]=h(\cdot-t_0)$ .
Discreto: $x(n)=\sum_kx(k)\delta(n-k)$ + linearità + TI $\Rightarrow y(n)=\sum_kx(k)h(n-k)=(x*h)(n)$ .
Continuo: approssimazione con rettangoli $\Rightarrow y(t)=\int x(u)h(t-u)du=(x*h)(t)$ .
Teorema: LTI $\iff$ convoluzione con $h$ . Lettura: ribaltare $h$ , traslare di $t$ , moltiplicare per $x$ , integrare (poi far scorrere).
Esempi: $x*\delta=x$ ; $x*\delta(\cdot-t_0)=x(\cdot-t_0)$ ; integratore $h=u$ ; media mobile $h=\frac1{2T}\operatorname{rect}\frac{t}{2T}$ ; $y(n)=x(n)+x(n-1)$ : $x=(2,1,3)\to(2,3,4,3)$ ; $(1,2,1)*(1,-1,2)=(1,1,1,3,2)$ ( $\sum y=\sum x\sum h=8$ ).
Risposta al gradino: $s=h*u=\int_{-\infty}^th$ , $h=s'$ ; $h=e^{-t}u\Rightarrow s=1-e^{-t}$ ( $t>0$ ).
Errori: nessun ribaltamento; convoluzione per sistemi non LTI; durata del risultato = somma delle durate. Vedi Calcolo della convoluzione e sue proprietà.