Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi

In questa pagina 6

La serie di Fourier funziona per segnali periodici. Per un segnale aperiodico (un impulso, un esponenziale che decade) si usa la trasformata di Fourier (TF, o TFtc: trasformata di Fourier a tempo continuo). È la versione "continua" della serie: lo spettro non è più a righe ma una funzione continua della pulsazione.

Dalla serie alla trasformata

Si prenda un segnale $x(t)$ aperiodico e se ne faccia la ripetizione periodica $x_{T}(t)=\operatorname{rep}_{T}x(t)$ con periodo $T$ sempre più grande. I coefficienti della serie sono $a_k=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$ con $\omega_0=\frac{2\pi}T$ . Per $T\to\infty$ le armoniche $k\omega_0$ diventano sempre più fitte (il passo $\omega_0\to0$ ), i coefficienti scalati $Ta_k\to\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$ calcolati in $\omega=k\omega_0$ , e la somma $x_T(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}=\frac1{2\pi}\sum_k[Ta_k]e^{jk\omega_0t}\,\omega_0$ diventa un integrale (somma di Riemann con passo $\omega_0$ ). Se ne ricava la coppia seguente.

Definizione

Analisi: $\displaystyle X(\omega)=\mathcal F[x](\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt$ .

Sintesi (antitrasformata): $\displaystyle x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega$ .

Il segnale è scomposto in esponenziali $e^{j\omega t}$ con tutte le pulsazioni, pesati da $\frac1{2\pi}X(\omega)\,d\omega$ . Modulo e fase di $X$ sono lo spettro di ampiezza $|X(\omega)|$ e lo spettro di fase $\arg X(\omega)$ . Si scrive $x\leftrightarrow X$ .

Convenzione. Il corso usa la pulsazione $\omega$ (rad/s) con il fattore $\frac1{2\pi}$ nella sintesi. Se si usa la frequenza $f$ (Hz), $\omega=2\pi f$ e $X_f(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt=X(2\pi f)$ , con sintesi $x(t)=\int X_f(f)e^{j2\pi ft}df$ (senza fattore). Le due versioni coincidono a meno del cambio di variabile. Nel seguito $\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin\pi t}{\pi t}$ .

Quando esiste e quando si inverte

Segnali in $L^1$ (assolutamente integrabili, Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito): $|X(\omega)|\le\int|x|<\infty$ , $X$ è continua e $X(\omega)\to0$ per $|\omega|\to\infty$ (lemma di Riemann-Lebesgue). Se in più $x$ soddisfa le condizioni di Dirichlet (numero finito di discontinuità e di massimi/minimi) la sintesi restituisce $x(t)$ dove è continuo, e il valor medio dei limiti nei punti di salto (convenzione dell'emivalore).
Segnali in $L^2$ (energia finita): $X$ esiste come limite in media quadratica e la sintesi restituisce $x$ in media quadratica. È il caso di $\operatorname{sinc}$ , che non è in $L^1$ .
Segnali generalizzati (costante, esponenziali complessi, sinusoidi, gradino, $\delta$ ): non sono né in $L^1$ né in $L^2$ ma hanno una trasformata se si ammettono le distribuzioni (Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati).

Collegamento con i sistemi: se la risposta impulsiva è in $L^1$ il sistema è BIBO stabile e $H(\omega)=\mathcal F[h]$ esiste continua (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale).

Esempi svolti

1. L'impulso: $\delta(t)\leftrightarrow1$ . Per la proprietà rivelatrice $\int\delta(t)e^{-j\omega t}dt=e^{0}=1$ . Spettro piatto: l'impulso contiene tutte le frequenze con la stessa ampiezza. E $\delta(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$ .

2. Esponenziale causale $x(t)=e^{-at}u(t)$ , $a>0$ : $X(\omega)=\int_0^\infty e^{-at}e^{-j\omega t}dt=\int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}dt=\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)}\right]_0^\infty=\frac1{a+j\omega}.$ (All'estremo superiore l'esponenziale tende a $0$ perché $|e^{-(a+j\omega)t}|=e^{-at}\to0$ .) Il modulo è $|X|=\frac1{\sqrt{a^2+\omega^2}}$ (massimo $\frac1a$ in $\omega=0$ ) e la fase $-\arctan\frac\omega a$ . Complesso perché il segnale non è pari.

3. Esponenziale bilatero $e^{-a|t|}$ : somma di $e^{-at}u(t)$ e del suo ribaltato $e^{at}u(-t)$ , trasformata del secondo $=\frac1{a-j\omega}$ (si vedrà con la regola di ribaltamento, oppure con un calcolo diretto): $X(\omega)=\frac1{a+j\omega}+\frac1{a-j\omega}=\frac{(a-j\omega)+(a+j\omega)}{a^2+\omega^2}=\frac{2a}{a^2+\omega^2}.$ È reale e pari, come il segnale. L'area $\int x=\frac2a$ coincide con $X(0)=\frac{2a}{a^2}$ ✓.

Grafico interattivo: TF di e^{−a|t|} con a = 1: X(ω) = 2/(1+ω²), reale, pari e positiva

4. Finestra rettangolare $\operatorname{rect}(t)$ : $X(\omega)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-j\omega t}dt=\frac{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}{j\omega}=\frac{2\sin(\omega/2)}{\omega}=\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right).$ Si è usato $\int_{t_0}^{t_1}e^{\alpha t}dt$ con $\alpha=-j\omega$ (Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi). Il valore in $\omega=0$ è $1$ (area del rettangolo); gli zeri sono in $\omega=2\pi k$ , $k\ne0$ . Con $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ (durata $T$ , area $T$ ) si ottiene con lo stesso calcolo $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right),$ con zeri in $\omega=\frac{2\pi k}T$ . Per esempio $\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)\leftrightarrow2\operatorname{sinc}\left(\frac\omega\pi\right)$ con zeri in $\omega=k\pi$ .

Grafico interattivo: X(ω) = sinc(ω/2π) = sin(ω/2)/(ω/2), trasformata di rect(t): lobo principale tra −2π e 2π, zeri in ω = ±2π, ±4π, …

5. Il sinc, per inversione (e quindi in $L^2$ ma non in $L^1$ ). Si parte da $X(\omega)=\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ (vale $1$ per $|\omega|<\pi$ ) e si antitrasforma: $x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{j\omega t}d\omega=\frac1{2\pi}\cdot\frac{e^{j\pi t}-e^{-j\pi t}}{jt}=\frac{\sin\pi t}{\pi t}=\operatorname{sinc}(t).$ Quindi $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right).$ È lo spettro di un filtro passa-basso ideale (taglio $\pi$ ). Con la proprietà di scala (vedi Proprietà della trasformata di Fourier) per un sinc più generale: $\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{rect}\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)$ .

6. Il triangolo $\Lambda(t)=(1-|t|)\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)$ (pari): $X(\omega)=\int_{-1}^{1}(1-|t|)e^{-j\omega t}dt=2\int_0^1(1-t)\cos(\omega t)\,dt=2\left[(1-t)\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]_0^1+2\int_0^1\frac{\sin\omega t}\omega dt=\frac{2(1-\cos\omega)}{\omega^2}.$ (Si è usata la parità: la parte in $\sin$ si cancella; l'integrazione per parti con $u=1-t$ ; il termine di bordo è nullo.) Con $1-\cos\omega=2\sin^2\frac\omega2$ : $\Lambda(t)\leftrightarrow\frac{4\sin^2(\omega/2)}{\omega^2}=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right).$ È coerente con $\Lambda=\operatorname{rect}*\operatorname{rect}$ e con il teorema della convoluzione (prodotto: $\operatorname{sinc}\cdot\operatorname{sinc}$ ). Valore in zero: $1$ (area di $\Lambda$ ✓).

Un controllo numerico (integrazione) ha confermato i valori di $2/(1+\omega^2)$ e di $\operatorname{sinc}^2$ in $\omega=1{,}7$ ( $0{,}5141$ e $0{,}7812$ ).

Durata e banda sono inversamente proporzionali

Dagli esempi con la scala:

Segnale	Durata	Primo zero dello spettro
$\operatorname{rect}(t/T)$	$T$	$\omega=\frac{2\pi}T$
$\Lambda(t/T)$	$2T$	$\omega=\frac{2\pi}T$
$e^{-a\lvert t\rvert}$	$\sim\frac1a$	larghezza $\sim a$

Un segnale breve nel tempo ha spettro largo; un segnale lungo ha spettro stretto. Al limite, $\delta$ (durata nulla) ha spettro costante e la costante (durata infinita) ha spettro concentrato in $\omega=0$ . Ancora: un segnale a durata limitata ha banda illimitata (rect $\to$ sinc, sempre non nullo in generale), e un segnale a banda limitata (sinc) ha durata illimitata. Per questo, in pratica, nessun segnale fisico è esattamente a banda limitata (Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda).

Errori comuni

Dimenticare $\frac1{2\pi}$ nell'antitrasformata (o metterlo in analisi).
Confondere $\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin\pi x}{\pi x}$ con $\frac{\sin x}x$ : per $\operatorname{rect}(t)$ la trasformata è $\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}=\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)$ .
Calcolare la TF con la definizione senza controllare che $x\in L^1$ (per l'esponenziale crescente l'integrale diverge).
Dimenticare che la TF di un segnale reale e pari è reale e pari (utile per controllare i conti).

Versione ripasso

Definizione: $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ , $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$ (da $T\to\infty$ nella serie). Frequenza: $X_f(f)=X(2\pi f)$ , sintesi senza $\frac1{2\pi}$ . $\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin\pi t}{\pi t}$ .
Esistenza: $x\in L^1$ : $X$ continua, $\to0$ all'infinito; sintesi al valor medio nei salti. $x\in L^2$ : media quadratica (es. $\operatorname{sinc}$ ). Segnali generalizzati con distribuzioni (Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati).
Coppie: $\delta\leftrightarrow1$ ; $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$ ( $|X|=\frac1{\sqrt{a^2+\omega^2}}$ ); $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ ; $\operatorname{rect}\frac tT\leftrightarrow T\operatorname{sinc}\frac{\omega T}{2\pi}$ (zeri in $\frac{2\pi k}T$ ); $\operatorname{sinc}\frac tT\leftrightarrow T\operatorname{rect}\frac{T\omega}{2\pi}$ ; $\Lambda(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}^2\frac\omega{2\pi}=\frac{2(1-\cos\omega)}{\omega^2}$ .
Reale e pari $\Rightarrow$ $X$ reale e pari. $X(0)$ = area.
Durata e banda: inversamente proporzionali; durata limitata $\Rightarrow$ banda illimitata e viceversa.
Errori: $\frac1{2\pi}$ ; $\operatorname{sinc}$ con o senza $\pi$ ; $x\notin L^1$ senza controllo. Proprietà in Proprietà della trasformata di Fourier.