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Note per Studenti Formulario - trasformate notevoli e proprietà

Formulario - trasformate notevoli e proprietà

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Raccolta di tutte le formule del corso con le convenzioni usate nelle note. Per le dimostrazioni e gli esempi vedi le note collegate. Convenzioni: ω=2πf\omega=2\pi f è la pulsazione (rad/s); rect⁡(t)=1\operatorname{rect}(t)=1 per ∣t∣<12|t|<\frac12; Λ(t)=(1−∣t∣)rect⁡(t2)\Lambda(t)=(1-|t|)\operatorname{rect}\left(\frac t2\right); sinc⁡(t)=sin⁡πtπt\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin\pi t}{\pi t}; uu gradino; comb⁡T=∑kδ(t−kT)\operatorname{comb}_T=\sum_k\delta(t-kT).

Quale trasformata usare

Segnale Trasformata Spettro
continuo periodico serie di Fourier (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →) discreto, aperiodico (aka_k)
continuo aperiodico TF (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a t
discreto periodico (periodo NN) TFD (Trasformata di Fourier discreta (TFD)La TFD è la serie di Fourier dei segnali discreti periodici di periodo $N$: servono solo $N$ armoniche, $X(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$ e $x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N}$. È un prodotto matrice-vettore in $\mathbb{C}^N$ (la matrice di Fourier); la convoluzione circolare diventa prodotto, $N X(k)Y(k)$. La FFT la calcola in $O(N\log N)$.Trasformata di Fourier discreta (TFD) →) discreto, periodico (NN)
discreto aperiodico TFtd (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →) continuo, periodico (2π2\pi)

Regola: periodico nel tempo ↔\leftrightarrow discreto in frequenza; discreto nel tempo ↔\leftrightarrow periodico in frequenza.

Serie di Fourier (TT, ω0=2πT\omega_0=\frac{2\pi}T)

ak=1T∫Tx(t)e−jkω0tdta_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt, x=∑kakejkω0tx=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}. Parseval: P=∑∣ak∣2P=\sum|a_k|^2. Reali: a−k=ak∗a_{-k}=a_k^*. LTI: bk=H(kω0)akb_k=H(k\omega_0)a_k.

Segnale aka_k
Acos⁡(ω0t+φ)A\cos(\omega_0t+\varphi) a±1=A2e±jφa_{\pm1}=\frac A2e^{\pm j\varphi}
comb⁡T\operatorname{comb}_T 1T\frac1T
rep⁡Trect⁡t2a\operatorname{rep}_T\operatorname{rect}\frac t{2a} 2aTsinc⁡2akT\frac{2a}T\operatorname{sinc}\frac{2ak}T
∣cos⁡πt∣\lvert\cos\pi t\rvert (T=1T=1) 2(−1)k+1π(4k2−1)\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)}
dente di sega tt su ∣t∣<1\lvert t\rvert<1 (T=2T=2) j(−1)kkπ\frac{j(-1)^k}{k\pi}
triangolare rep⁡TΛ2tT\operatorname{rep}_T\Lambda\frac{2t}T 12sinc⁡2k2\frac12\operatorname{sinc}^2\frac k2

Proprietà: ritardo →ake−jkω0t1\to a_ke^{-jk\omega_0t_1}; xejmω0t→ak−mxe^{jm\omega_0t}\to a_{k-m}; x′→jkω0akx'\to jk\omega_0a_k; xy→∑ambk−mxy\to\sum a_mb_{k-m}; convoluzione periodica →Takbk\to Ta_kb_k (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).

Trasformata di Fourier

X(ω)=∫x(t)e−jωtdtX(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt, x(t)=12π∫X(ω)ejωtdωx(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega.

x(t)x(t) X(ω)X(\omega)
δ(t)\delta(t) 11
11 2πδ(ω)2\pi\delta(\omega)
δ(t−t0)\delta(t-t_0) e−jωt0e^{-j\omega t_0}
ejω0te^{j\omega_0t} 2πδ(ω−ω0)2\pi\delta(\omega-\omega_0)
cos⁡ω0t\cos\omega_0t π[δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)]\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]
sin⁡ω0t\sin\omega_0t πj[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]\frac\pi j[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]
u(t)u(t) πδ(ω)+1jω\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}
sgn⁡(t)\operatorname{sgn}(t) 2jω\frac2{j\omega}
rect⁡(tT)\operatorname{rect}\left(\frac tT\right) Tsinc⁡(ωT2π)T\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right)
sinc⁡(tT)\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right) Trect⁡(ωT2π)T\operatorname{rect}\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right)
Λ(tT)\Lambda\left(\frac tT\right) Tsinc⁡2(ωT2π)T\operatorname{sinc}^2\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right)
sinc⁡2(tT)\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right) TΛ(ωT2π)T\Lambda\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right)
e−atu(t)e^{-at}u(t), a>0a>0 1a+jω\frac1{a+j\omega}
t e−atu(t)t\,e^{-at}u(t) 1(a+jω)2\frac1{(a+j\omega)^2}
e−a∣t∣e^{-a\lvert t\rvert} 2aa2+ω2\frac{2a}{a^2+\omega^2}
comb⁡T\operatorname{comb}_T 2πT∑kδ(ω−2πkT)\frac{2\pi}T\sum_k\delta\left(\omega-\frac{2\pi k}T\right)
periodico ∑akejkω0t\sum a_ke^{jk\omega_0t} 2π∑akδ(ω−kω0)2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)

Proprietà. Linearità; x(−t)→X(−ω)x(-t)\to X(-\omega); x∗→X∗(−ω)x^*\to X^*(-\omega); x(t−t0)→Xe−jωt0x(t-t_0)\to Xe^{-j\omega t_0}; xejω0t→X(ω−ω0)xe^{j\omega_0t}\to X(\omega-\omega_0); xcos⁡ω0t→12[X(ω−ω0)+X(ω+ω0)]x\cos\omega_0t\to\frac12[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)]; x(at)→1∣a∣X(ωa)x(at)\to\frac1{|a|}X(\frac\omega a); dualità X(t)→2πx(−ω)X(t)\to2\pi x(-\omega); x∗y→XYx*y\to XY; xy→12πX∗Yxy\to\frac1{2\pi}X*Y; x′→jωXx'\to j\omega X; tx→jX′tx\to jX'; ∫−∞tx→Xjω+πX(0)δ\int_{-\infty}^tx\to\frac X{j\omega}+\pi X(0)\delta; area X(0)X(0); E=12π∫∣X∣2E=\frac1{2\pi}\int|X|^2. Reale ⇒X(−ω)=X∗(ω)\Rightarrow X(-\omega)=X^*(\omega) (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

TFD (NN campioni, periodo NN)

X(k)=1N∑n=0N−1x(n)e−j2πNknX(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}Nkn}, x(n)=∑kX(k)ej2πNknx(n)=\sum_kX(k)e^{j\frac{2\pi}Nkn} (fft =NX=NX). Parseval 1N∑∣x∣2=∑∣X∣2\frac1N\sum|x|^2=\sum|X|^2. Convoluzione circolare →NX(k)Y(k)\to NX(k)Y(k). δ→1N\delta\to\frac1N.

TFtd

X(ω)=∑x(n)e−jωnX(\omega)=\sum x(n)e^{-j\omega n} (periodica 2π2\pi), x(n)=12π∫−ππXejωndωx(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi Xe^{j\omega n}d\omega.

x(n)x(n) X(ω)X(\omega)
δ(n)\delta(n) 11
δ(n−n0)\delta(n-n_0) e−jωn0e^{-j\omega n_0}
anu(n)a^nu(n), ∣a∣<1\lvert a\rvert<1 11−ae−jω\frac1{1-ae^{-j\omega}}
n anu(n)n\,a^nu(n) ae−jω(1−ae−jω)2\frac{ae^{-j\omega}}{(1-ae^{-j\omega})^2}
wN(n)=1w_N(n)=1 per ∣n∣≤N\lvert n\rvert\le N sin⁡2N+12ωsin⁡ω2\frac{\sin\frac{2N+1}2\omega}{\sin\frac\omega2}
11 2π∑kδ(ω−2πk)2\pi\sum_k\delta(\omega-2\pi k)

Proprietà: ritardo e−jωn0e^{-j\omega n_0}; x∗y→XYx*y\to XY; nx→jX′nx\to jX'; Parseval ∑∣x∣2=12π∫−ππ∣X∣2\sum|x|^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|X|^2; decimazione x(Mn)→1M∑mX(ω−2πmM)x(Mn)\to\frac1M\sum_mX(\frac{\omega-2\pi m}M); espansione →X(Lω)\to X(L\omega).

Risposta in frequenza e filtri

H(ω)=F[h]H(\omega)=\mathcal F[h] (esiste se h∈L1h\in L^1). Sinusoide: Acos⁡(ω0t+φ)→A∣H(ω0)∣cos⁡(ω0t+φ+arg⁡H(ω0))A\cos(\omega_0t+\varphi)\to A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0)) (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →). Serie H1H2H_1H_2; parallelo H1+H2H_1+H_2; retroazione H11+H1H2\frac{H_1}{1+H_1H_2}. Passa-basso ideale: h=sin⁡ωctπth=\frac{\sin\omega_ct}{\pi t}. RC: H=11+jωRCH=\frac1{1+j\omega RC}, taglio 1RC\frac1{RC} (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →). Non distorcente: H=Ae−jωt0H=Ae^{-j\omega t_0}.

Campionamento

W^(ω)=1Tc∑kX(ω+2πkTc)\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right) (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →). Shannon: Tc<πωMT_c<\frac\pi{\omega_M}, Fc>2fmax⁡F_c>2f_{\max}; x(t)=∑x(nTc)sinc⁡t−nTcTcx(t)=\sum x(nT_c)\operatorname{sinc}\frac{t-nT_c}{T_c} (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →). Segnale modulato xcos⁡ω0tx\cos\omega_0t: banda ω0+ωM\omega_0+\omega_M. SNR quantizzazione ≈6,02B+1,76\approx6{,}02B+1{,}76 dB. FFT: X(ωk)≈Tc fft(x,M)[k]X(\omega_k)\approx T_c\,\mathtt{fft}(x,M)[k], ωk=2πkMTc\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c} (FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →).

Laplace

X(s)=∫x(t)e−stdtX(s)=\int x(t)e^{-st}dt; unilatera da 0−0^-. Con ROC: causale →\to semipiano destro.

x(t)x(t) X(s)X(s)
δ(t)\delta(t), δ′(t)\delta'(t) 11, ss
u(t)u(t) 1s\frac1s
es0tu(t)e^{s_0t}u(t) 1s−s0\frac1{s-s_0}
t es0tut\,e^{s_0t}u, tkk!es0tu\frac{t^k}{k!}e^{s_0t}u 1(s−s0)2\frac1{(s-s_0)^2}, 1(s−s0)k+1\frac1{(s-s_0)^{k+1}}
cos⁡ω0t u\cos\omega_0t\,u, sin⁡ω0t u\sin\omega_0t\,u ss2+ω02\frac s{s^2+\omega_0^2}, ω0s2+ω02\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}
eσt[Acos⁡ωt+Bsin⁡ωt]ue^{\sigma t}[A\cos\omega t+B\sin\omega t]u A(s−σ)+Bω(s−σ)2+ω2\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}

Proprietà: ritardo e−st0Xe^{-st_0}X; es0tx→X(s−s0)e^{s_0t}x\to X(s-s_0); tx→−X′tx\to-X'; x′→sX−x(0−)x'\to sX-x(0^-); x′′→s2X−sx(0−)−x′(0−)x''\to s^2X-sx(0^-)-x'(0^-); x∗y→XYx*y\to XY; ∫x→Xs\int x\to\frac Xs (Proprietà della trasformata di LaplaceLe proprietà della trasformata di Laplace ricalcano quelle di Fourier: linearità, ritardo $\to e^{-st_0}$, modulazione esponenziale $e^{s_0t}x\to X(s-s_0)$, derivata nel tempo $\to sX$, moltiplicazione per $t\to-X'(s)$, integrazione $\to X/s$, convoluzione $\to$ prodotto. Ogni regola dice anche come cambia la ROC.Proprietà della trasformata di Laplace →). H(s)=b(s)a(s)H(s)=\frac{b(s)}{a(s)}; BIBO stabile (causale)   ⟺  m≤n\iff m\le n e Re p<0\mathrm{Re}\,p<0 (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →). Poli semplici: Ai=lim⁡(s−pi)X(s)A_i=\lim(s-p_i)X(s) (Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →).

Trasformata Z

X(z)=∑x(n)z−nX(z)=\sum x(n)z^{-n} (Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze →): pnu(n)→11−pz−1p^nu(n)\to\frac1{1-pz^{-1}} (∣z∣>∣p∣|z|>|p|); δ→1\delta\to1; u→11−z−1u\to\frac1{1-z^{-1}}; ritardo z−n0Xz^{-n_0}X; x∗y→XYx*y\to XY. H(z)=∑bkz−k∑akz−kH(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}; stabile (causale)   ⟺  ∣p∣<1\iff|p|<1.

Formule utili

Versione ripasso

  • Quale trasformata: periodico continuo →\to serie; aperiodico continuo →\to TF; periodico discreto →\to TFD; aperiodico discreto →\to TFtd (periodico ↔\leftrightarrow discreto in frequenza).
  • Serie: ak=1T∫Txe−jkω0ta_k=\frac1T\int_Txe^{-jk\omega_0t}; onda quadra 2aTsinc⁡2akT\frac{2a}T\operatorname{sinc}\frac{2ak}T; ∣cos⁡πt∣|\cos\pi t|: 2(−1)k+1π(4k2−1)\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)}; LTI bk=H(kω0)akb_k=H(k\omega_0)a_k.
  • TF: δ→1\delta\to1; 1→2πδ1\to2\pi\delta; cos⁡ω0t→π[δ(ω∓ω0)]\cos\omega_0t\to\pi[\delta(\omega\mp\omega_0)]; u→πδ+1jωu\to\pi\delta+\frac1{j\omega}; rect⁡tT→Tsinc⁡ωT2π\operatorname{rect}\frac tT\to T\operatorname{sinc}\frac{\omega T}{2\pi}; ΛtT→Tsinc⁡2\Lambda\frac tT\to T\operatorname{sinc}^2; e−atu→1a+jωe^{-at}u\to\frac1{a+j\omega}; e−a∣t∣→2aa2+ω2e^{-a|t|}\to\frac{2a}{a^2+\omega^2}; comb⁡T→2πTcomb⁡\operatorname{comb}_T\to\frac{2\pi}T\operatorname{comb}. Proprietà: ritardo, modulazione, scala 1∣a∣\frac1{|a|}, dualità 2π2\pi, x∗y→XYx*y\to XY, x′→jωXx'\to j\omega X, tx→jX′tx\to jX', Parseval 12π\frac1{2\pi}.
  • TFD (con 1N\frac1N); TFtd: anu→11−ae−jωa^nu\to\frac1{1-ae^{-j\omega}}, wN→sin⁡2N+12ωsin⁡ω2w_N\to\frac{\sin\frac{2N+1}2\omega}{\sin\frac\omega2}.
  • Filtri: sinusoide ∣H∣cos⁡(⋅+arg⁡H)|H|\cos(\cdot+\arg H); serie H1H2H_1H_2, parallelo H1+H2H_1+H_2, retroazione H11+H1H2\frac{H_1}{1+H_1H_2}; RC 11+jωRC\frac1{1+j\omega RC}.
  • Campionamento: Poisson 1Tc∑X\frac1{T_c}\sum X; Shannon Tc<πωMT_c<\frac\pi{\omega_M}; modulato ω0+ωM\omega_0+\omega_M; SNR 6,02B+1,766{,}02B+1{,}76 dB; FFT Tc fftT_c\,\mathtt{fft}, ωk=2πkMTc\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}.
  • Laplace: 1s−s0\frac1{s-s_0}, 1(s−s0)k+1\frac1{(s-s_0)^{k+1}}, ss2+ω02\frac s{s^2+\omega_0^2}, A(s−σ)+Bω(s−σ)2+ω2\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}; x′→sX−x(0−)x'\to sX-x(0^-); H=baH=\frac ba; stabile   ⟺  m≤n\iff m\le n, Re p<0\mathrm{Re}\,p<0. Z: 11−pz−1\frac1{1-pz^{-1}}; stabile   ⟺  ∣p∣<1\iff|p|<1.
  • Utili: Eulero; serie geometrica; ∫eαt\int e^{\alpha t}; δ(at)=1∣a∣δ\delta(at)=\frac1{|a|}\delta; supporto e area della convoluzione.