Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda

Il teorema del campionamento (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →) richiede un segnale a banda limitata. I segnali fisici però non lo sono: un segnale a durata finita ha banda infinita (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →), e anche un segnale che decade con regolarità (un esponenziale) ha uno spettro che non si annulla mai. Questa nota spiega come si procede nella pratica: la catena A/D, la scelta del passo e gli errori che si commettono.

La catena di conversione A/D

Un convertitore analogico/digitale (A/D) trasforma un segnale continuo in una sequenza di numeri a $B$ bit:

1. Filtro anti-aliasing: un passa-basso con taglio $\le\frac{F_c}2$ (la metà della frequenza di campionamento) elimina le componenti che, dopo il campionamento, si sovrapporrebbero a quelle utili (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →). È necessario perché il segnale reale ha componenti (rumore, armoniche) oltre Nyquist.
2. Campionatore (con mantenimento): misura $x(nT_c)$.
3. Quantizzatore: associa ogni campione al più vicino di $2^B$ livelli equispaziati nell'intervallo $[-\frac{V_{fs}}2,\frac{V_{fs}}2]$ (fondo scala $V_{fs}$): passo di quantizzazione $\Delta=\frac{V_{fs}}{2^B}$.
4. Codifica: il livello è scritto in binario.

Il progetto dell'A/D (tema d'esame giugno 2024 e settembre 2024, domanda teorica): scelto un segnale di banda $\omega_{\max}$ si fissa $F_c>\frac{\omega_{\max}}{\pi}$ (criterio di Nyquist) e si pone il filtro anti-aliasing con taglio tra $\omega_{\max}$ e $\frac{\omega_c}{2}$. Lo schema "passa-basso seguito da campionatore a frequenza almeno doppia del taglio" è proprio quello di un A/D.

Esempi di parametri. Telefonia: banda $\approx3{,}4$ kHz, $F_c=8$ kHz. Audio CD: banda utile $20$ kHz, $F_c=44{,}1$ kHz, $B=16$ bit.

L'errore di quantizzazione

L'arrotondamento al livello più vicino produce un errore compreso tra $-\frac\Delta2$ e $\frac\Delta2$, che per segnali ricchi si può modellare come uniforme su questo intervallo. La sua potenza è $$P_e=\frac1\Delta\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}e^2de=\frac{1}{\Delta}\cdot\frac{2}{3}\left(\frac\Delta2\right)^3=\frac{\Delta^2}{12}.$$ Per una sinusoide a fondo scala ($A=\frac{V_{fs}}2$, potenza $\frac{A^2}2=\frac{V_{fs}^2}8$) il rapporto segnale-rumore è $$\mathrm{SNR}=\frac{V_{fs}^2/8}{V_{fs}^2/(12\cdot4^B)}=\frac32\cdot4^B\quad\Rightarrow\quad\mathrm{SNR}_{dB}=10\log_{10}\frac32+B\cdot10\log_{10}4\approx1{,}76+6{,}02\,B.$$ Ogni bit in più guadagna circa $6$ dB. Esempi: $B=12$ bit $\to74$ dB; $B=16$ bit $\to98$ dB. (Una simulazione con una sinusoide a fondo scala e $B=8$ ha dato $50{,}6$ dB contro $49{,}9$ previsti: coerente.)

Segnali non limitati in banda: che cosa succede

Se $x$ non è a banda limitata, comunque si scelga $T_c$ le repliche di $X$ si sovrappongono, e nella replica centrale si somma il contributo delle code delle altre. Si ottiene un errore di aliasing che si può rendere piccolo ma non nullo. Il teorema non dice "impossibile", dice "non esatto". Nei temi d'esame la risposta di principio è: non è possibile ricostruire perfettamente $x$ dai campioni, qualunque sia la frequenza di campionamento, perché la banda è infinita; in pratica si può accettare un errore trascurabile (tema d'esame gennaio 2025).

Banda essenziale. Si fissa una percentuale di energia e si trova la pulsazione $\omega_B$ oltre la quale l'energia residua è sotto soglia ($1\%$, $0{,}1\%$...). Si campiona poi come se la banda fosse $\omega_B$.

Esempio 1: $x(t)=e^{-3t}u(t)$. $|X(\omega)|=\frac1{\sqrt{9+\omega^2}}$ e l'energia totale è $\frac1{2\cdot3}=\frac16$. La frazione di energia nella banda $|\omega|<\omega_B$ è $\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_B}^{\omega_B}\frac{d\omega}{9+\omega^2}\Big/\frac16=\frac2\pi\arctan\frac{\omega_B}3$. Per contenere il $99\%$: $\arctan\frac{\omega_B}3=0{,}99\cdot\frac\pi2$ e $\omega_B=3\tan(0{,}99\cdot\tfrac\pi2)\approx191$ rad/s ($f_B\approx30$ Hz), quindi $F_c\gtrsim61$ Hz. Per il $99{,}9\%$: $\omega_B\approx1910$ rad/s ($f_B\approx304$ Hz, $F_c\gtrsim608$ Hz). Il guadagno di precisione costa circa $10$ volte in frequenza di campionamento: l'esponenziale decade lentamente in frequenza ($\sim\frac1\omega$) perché ha una discontinuità in $t=0$.

Esempio 2: stima dell'aliasing con il passo scelto. Campionando $e^{-3t}u(t)$ con $T_c=10^{-3}$ s le repliche sono centrate in $\pm\omega_c=\pm\frac{2\pi}{T_c}\approx\pm6283$ rad/s. Il contributo della prima replica alla replica centrale in $\omega=0$ è $|X(\pm6283)|=\frac{1}{\sqrt{9+6283^2}}\approx1{,}6\cdot10^{-4}$, da confrontare con $|X(0)|=\frac13$: errore relativo $\approx4{,}8\cdot10^{-4}$ ($0{,}05\%$). Trascurabile. Con questo ragionamento nei temi d'esame (ricostruzione numerica di una TF con la FFT) si giustifica l'uso del campionamento "anche se il segnale non è a spettro limitato" (FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →).

Esempio 3: segnali a durata finita. $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ ha $X(\omega)=T\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right)=\frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}$, con inviluppo $\frac2\omega$. Al bordo della banda utile, $\omega=\frac{\omega_c}2=\frac\pi{T_c}$, l'inviluppo vale $\frac{2T_c}\pi$: rispetto al picco $X(0)=T$ è $\frac{2T_c}{\pi T}$, proporzionale a $T_c$. Per ridurre l'aliasing di un fattore $10$ bisogna quindi campionare $10$ volte più fitto. I segnali più regolari, il cui spettro decade come $\frac1{\omega^2}$ o più in fretta (il triangolo $\Lambda$, o $\operatorname{sinc}^2$ che è addirittura a banda limitata), richiedono molto meno: l'aliasing dipende dalla regolarità del segnale (un salto dà decadimento $\frac1\omega$, uno spigolo $\frac1{\omega^2}$).

Osservare un tempo finito

Un'acquisizione reale ha anche durata finita: si hanno $N$ campioni su $T_{obs}=NT_c$. Equivale a moltiplicare il segnale per una finestra rettangolare lunga $T_{obs}$: nello spettro si convolve con un sinc largo $\frac{4\pi}{T_{obs}}$ (lobo principale). Due conseguenze: (1) risoluzione in frequenza limitata, $\Delta\omega\approx\frac{2\pi}{T_{obs}}$ (non si separano due righe più vicine di così); (2) dispersione spettrale (leakage) dovuta ai lobi laterali. Per questo non basta aumentare lo zero-padding: la risoluzione è fissata dalla durata osservata (FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →).

Errori comuni

• Credere che un filtro anti-aliasing possa essere inserito dopo il campionamento (a quel punto l'aliasing è già avvenuto e non si recupera).
• Dire che un segnale a durata finita si può campionare e ricostruire esattamente (banda infinita).
• Confondere la risoluzione dello zero-padding con la risoluzione fisica (quest'ultima dipende da $T_{obs}$).
• Dimenticare che SNR e frequenza di campionamento sono due questioni distinte (quantizzazione contro aliasing).