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Note per Studenti Esercizio 1 · quale sistema è LTI, risposta impulsiva e uscita con ingresso rettangolare (tema d'esame aprile 2024)

Esercizio 1quale sistema è LTI, risposta impulsiva e uscita con ingresso rettangolare (tema d'esame aprile 2024)

Esame
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Testo (tema d'esame aprile 2024, prova di autovalutazione, esercizio 1, 7 punti). Siano dati tre sistemi a tempo continuo con le relazioni ingresso-uscita

y1(t)=2∫t−2t+2x(u) eu−t du−x(t+2),y_1(t)=2\int_{t-2}^{t+2}x(u)\,e^{u-t}\,du-x(t+2), y2(t)=u(t−2)∫−1t−2x(u)cos⁡(t−u) du+3 x(t−1),y_2(t)=u(t-2)\int_{-1}^{t-2}x(u)\cos(t-u)\,du+3\,x(t-1), y3(t)=∫t−12t+1x(u) et−u du−x(t−2),y_3(t)=\int_{t-1}^{2t+1}x(u)\,e^{t-u}\,du-x(t-2),

dove u(t)u(t) è il gradino unitario. (1) Indicare quale tra i tre sistemi è lineare tempo-invariante (LTI), giustificando la risposta. (2) Per il sistema LTI identificare la risposta impulsiva, dire se è BIBO stabile e/o causale, e calcolare l'uscita con ingresso x(t)=rect⁡(t/4)x(t)=\operatorname{rect}(t/4).

Teoria usata: Sistemi e loro proprietàUn sistema trasforma un segnale di ingresso in uno di uscita, $y=\Sigma[x]$. Le proprietà da saper verificare sono: memoria (statico/dinamico), causalità, linearità (additività + omogeneità), tempo-invarianza, stabilità BIBO, invertibilità, realtà. Per negare una proprietà basta un controesempio; per affermarla serve una dimostrazione con segnali generici.Sistemi e loro proprietà →, Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=xh$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →.

(1) Quale sistema è LTI

Un sistema LTI è una convoluzione con una risposta impulsiva, y(t)=∫x(u)h(t−u)duy(t)=\int x(u)h(t-u)du: l'ingresso entra solo tramite la combinazione t−ut-u. Si cerca di riscrivere ogni sistema in questa forma. Tutti e tre sono lineari (somme e integrali di xx con coefficienti che non dipendono da xx); si tratta di verificare la tempo-invarianza.

Sistema 1. L'integrale è su u∈[t−2,t+2]u\in[t-2,t+2], cioè ∣t−u∣≤2|t-u|\le2, e questa condizione si scrive con rect⁡(t−u4)\operatorname{rect}\left(\frac{t-u}{4}\right) (vale 11 per ∣t−u∣<2|t-u|<2). Inoltre eu−t=e−(t−u)e^{u-t}=e^{-(t-u)} dipende solo da t−ut-u. Quindi y1(t)=∫−∞+∞x(u)  2rect⁡(t−u4)e−(t−u) du−x(t+2).y_1(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)\;2\operatorname{rect}\left(\frac{t-u}4\right)e^{-(t-u)}\,du-x(t+2). È la convoluzione di xx con h1(t)=2rect⁡(t4)e−t−δ(t+2)h_1(t)=2\operatorname{rect}\left(\frac t4\right)e^{-t}-\delta(t+2) (il termine −x(t+2)-x(t+2) è la convoluzione con −δ(t+2)-\delta(t+2), un anticipo di 2). Il sistema 1 è LTI.

Sistema 2. Anche qui il termine 3x(t−1)3x(t-1) è un ritardo (LTI), ma l'integrale ha l'estremo fisso −1-1 e il fattore u(t−2)u(t-2) fuori dall'integrale. Si può scrivere come convoluzione solo introducendo dentro l'integrale il fattore 1(τ+1)\mathbb 1(\tau+1) (gradino nella variabile di integrazione τ\tau): ∫x(τ) 1(τ+1)⏟dipende da τcos⁡(t−τ) 1(t−τ−2) dτ\int x(\tau)\,\underbrace{\mathbb 1(\tau+1)}_{\text{dipende da }\tau}\cos(t-\tau)\,\mathbb 1(t-\tau-2)\,d\tau. Il prodotto x(τ)1(τ+1)x(\tau)\mathbb 1(\tau+1) taglia l'ingresso in un istante assoluto (τ=−1\tau=-1): ritardando xx di t0t_0 il taglio resta in −1-1 e l'uscita non si ritarda di t0t_0. Non è tempo-invariante.

Sistema 3. L'estremo superiore è 2t+12t+1: il tt compare moltiplicato per 2, e non solo come t−ut-u (come nel cambio di scala x(2t)x(2t)). Non è tempo-invariante.

(2) Risposta impulsiva, stabilità, causalità

Risposta impulsiva: h1(t)=2rect⁡(t4)e−t−δ(t+2)h_1(t)=2\operatorname{rect}\left(\frac t4\right)e^{-t}-\delta(t+2) (letta nella forma di convoluzione trovata sopra).

Stabilità. Un LTI è BIBO stabile se e solo se h∈L1h\in L^1 (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →). Il termine δ(t+2)\delta(t+2) ha area di modulo 11; il termine 2rect⁡(t4)e−t2\operatorname{rect}\left(\frac t4\right)e^{-t} è limitato e a supporto limitato [−2,2][-2,2], con ∫∣h∣=2∫−22e−tdt=2(e2−e−2)≈14,51\int|h|=2\int_{-2}^{2}e^{-t}dt=2(e^2-e^{-2})\approx14{,}51. Quindi ∫∣h1∣=2(e2−e−2)+1≈15,51<∞:\int|h_1|=2(e^2-e^{-2})+1\approx15{,}51<\infty: il sistema è BIBO stabile.

Causalità. h1h_1 non è nulla per t<0t<0: il rettangolo è su [−2,2][-2,2] e l'impulso −δ(t+2)-\delta(t+2) sta in t=−2t=-2. Il sistema non è causale (l'uscita guarda fino a 2 secondi nel futuro).

Uscita con x(t)=rect⁡(t/4)x(t)=\operatorname{rect}(t/4) (supporto [−2,2][-2,2]). Si scrive y1=2 (h∗x)−x(t+2)y_1=2\,(h*x)-x(t+2) con h(t)=rect⁡(t4)e−th(t)=\operatorname{rect}\left(\frac t4\right)e^{-t} (supporto [−2,2][-2,2]). Per la regola dell'estensione (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →) h∗xh*x ha supporto [−4,4][-4,4]. Si calcola h∗x(t)=∫h(u)x(t−u) duh*x(t)=\int h(u)x(t-u)\,du; x(t−u)=1x(t-u)=1 per ∣t−u∣<2|t-u|<2, cioè u∈(t−2,t+2)u\in(t-2,t+2), da intersecare con [−2,2][-2,2]:

  • per −4<t<0-4<t<0: u∈[−2,t+2]u\in[-2,t+2], ∫−2t+2e−udu=e2−e−(t+2)\int_{-2}^{t+2}e^{-u}du=e^{2}-e^{-(t+2)};
  • per 0<t<40<t<4: u∈[t−2,2]u\in[t-2,2], ∫t−22e−udu=e−(t−2)−e−2=e2−t−e−2\int_{t-2}^{2}e^{-u}du=e^{-(t-2)}-e^{-2}=e^{2-t}-e^{-2};
  • altrove 00.

Il termine x(t+2)=rect⁡(t+24)x(t+2)=\operatorname{rect}\left(\frac{t+2}4\right) vale 11 per −4<t<0-4<t<0 e 00 altrove. Quindi

y1(t)={2(e2−e−(t+2))−1−4<t<02(e2−t−e−2)0<t<40altrovey_1(t)=\begin{cases}2\left(e^{2}-e^{-(t+2)}\right)-1&-4<t<0\\[2pt]2\left(e^{2-t}-e^{-2}\right)&0<t<4\\[2pt]0&\text{altrove}\end{cases}

Controlli. In t=−4t=-4 vale 2(e2−e2)−1=−12(e^2-e^2)-1=-1: salto dovuto a −x(t+2)-x(t+2) che entra bruscamente (il termine 2h∗x2h*x è continuo e nullo in −4-4). In t=0t=0: da sinistra 2(e2−e−2)−1≈13,482(e^2-e^{-2})-1\approx13{,}48, da destra 2(e2−e−2)≈14,482(e^2-e^{-2})\approx14{,}48: il salto di +1+1 corrisponde alla fine di x(t+2)x(t+2). In t=4t=4 vale 2(e−2−e−2)=02(e^{-2}-e^{-2})=0 ✓ (continuo). I valori sono stati verificati con integrazione numerica in t=−3,−1,−0,1,0,1,1,3t=-3,-1,-0{,}1,0{,}1,1,3 (per esempio y1(−1)=13,0424y_1(-1)=13{,}0424 e y1(1)=5,1659y_1(1)=5{,}1659 da entrambi i metodi).

Errori comuni

  • Dire che il sistema 2 è LTI "perché è un integrale con un coseno": il fattore u(t−2)u(t-2) e l'estremo fisso rompono la tempo-invarianza.
  • Dimenticare il termine −x(t+2)-x(t+2) (impulso in −2-2) nella risposta impulsiva o nel conto della stabilità.
  • Perdere il salto nell'uscita dovuto a −x(t+2)-x(t+2) (il resto è continuo, ma il termine x(t+2)x(t+2) ha un salto in t=0t=0 e in t=−4t=-4).
  • Confondere "causale" con "stabile": qui il sistema è stabile ma non causale.

Versione ripasso

Testo. Tre sistemi y1=2∫t−2t+2x(u)eu−tdu−x(t+2)y_1=2\int_{t-2}^{t+2}x(u)e^{u-t}du-x(t+2), y2=u(t−2)∫−1t−2x(u)cos⁡(t−u)du+3x(t−1)y_2=u(t-2)\int_{-1}^{t-2}x(u)\cos(t-u)du+3x(t-1), y3=∫t−12t+1x(u)et−udu−x(t−2)y_3=\int_{t-1}^{2t+1}x(u)e^{t-u}du-x(t-2). Quale è LTI? Per esso: hh, BIBO, causale, uscita con x=rect⁡t4x=\operatorname{rect}\frac t4 (aprile 2024).

Teoria collegata