Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità

La trasformata bilatera (Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →) tratta segnali su tutto l'asse. Nei problemi fisici invece il sistema "parte" a un certo istante (l'accensione), con uno stato iniziale dato. La versione adatta è la trasformata unilatera.

La trasformata unilatera

$$X(s)=\mathcal L_u[x](s)=\int_{0^-}^{+\infty}x(t)\,e^{-st}\,dt.$$ L'estremo inferiore è $0^-$ (appena prima di $0$) per includere un eventuale impulso $\delta$ in $t=0$. Per un segnale causale coincide con la bilatera. Si ignora il comportamento per $t<0$ (è "il passato", riassunto dallo stato iniziale). La ROC è sempre un semipiano destro limitato dal polo con parte reale maggiore, quindi non si specifica.

Proprietà. Valgono per i segnali causali le stesse regole della bilatera (Proprietà della trasformata di LaplaceLe proprietà della trasformata di Laplace ricalcano quelle di Fourier: linearità, ritardo $\to e^{-st_0}$, modulazione esponenziale $e^{s_0t}x\to X(s-s_0)$, derivata nel tempo $\to sX$, moltiplicazione per $t\to-X'(s)$, integrazione $\to X/s$, convoluzione $\to$ prodotto. Ogni regola dice anche come cambia la ROC.Proprietà della trasformata di Laplace →): linearità, modulazione $e^{s_0t}x\to X(s-s_0)$, moltiplicazione per $t$, convoluzione di segnali causali $\to$ prodotto, ritardo $x(t-t_0)\to e^{-st_0}X$ (con $t_0>0$ e $x$ causale). Cambia la derivata, che introduce il valore iniziale: $$\boxed{\mathcal L_u[y'](s)=sY(s)-y(0^-),\qquad\mathcal L_u[y''](s)=s^2Y(s)-s\,y(0^-)-y'(0^-).}$$ Dimostrazione. Per parti: $\int_{0^-}^\infty y'e^{-st}dt=\left[ye^{-st}\right]_{0^-}^{\infty}+s\int_{0^-}^\infty ye^{-st}dt=-y(0^-)+sY(s)$ (nella ROC il termine all'infinito è nullo). Applicandola due volte per la derivata seconda: $\mathcal L[y'']=s\mathcal L[y']-y'(0^-)=s^2Y-sy(0^-)-y'(0^-)$. In generale $\mathcal L[y^{(k)}]=s^kY-\sum_{i=0}^{k-1}s^{k-1-i}y^{(i)}(0^-)$.

Le condizioni iniziali entrano automaticamente nella trasformata, ed è per questo che Laplace risolve direttamente il problema di Cauchy.

Risolvere un problema di Cauchy

Si trasforma l'equazione (Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →) termine a termine e si risolve per $Y(s)$: $$a(s)Y(s)-\underbrace{c(s)}_{\text{dalle cond. iniziali}}=b(s)X(s)\ \Longrightarrow\ Y(s)=\underbrace{\frac{b(s)}{a(s)}X(s)}_{Y_f:\ \text{evoluzione forzata}}+\underbrace{\frac{c(s)}{a(s)}}_{Y_\ell:\ \text{evoluzione libera}},$$ dove $c(s)$ è un polinomio (di grado $<n$) i cui coefficienti dipendono linearmente da $y(0^-),\ldots,y^{(n-1)}(0^-)$ (e, se $x$ non è nullo in $0^-$, dai suoi valori iniziali; qui si assume $x$ causale). Si antitrasforma $Y$ (Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →).

• Evoluzione libera: uscita con ingresso nullo. Dipende solo dallo stato iniziale; ha poli = radici di $a(s)$ (modi del sistema).
• Evoluzione forzata: uscita con stato iniziale nullo. Ha poli di $H$ e poli dell'ingresso.

Esempio 1: filtro RC con ingresso gradino e carica iniziale. $y'+y=A\,u(t)$ (con $RC=1$), $y(0^-)=v_0$. Trasformando: $(sY-v_0)+Y=\frac As$, cioè $Y=\frac{A}{s(s+1)}+\frac{v_0}{s+1}=A\left[\frac1s-\frac1{s+1}\right]+\frac{v_0}{s+1}$. Quindi $$y(t)=\underbrace{A\left(1-e^{-t}\right)}_{\text{forzata}}+\underbrace{v_0\,e^{-t}}_{\text{libera}}=A+(v_0-A)e^{-t},\quad t\ge0.$$ Il termine $e^{-t}$ (transitorio) si spegne e resta il regime permanente $y=A$: il condensatore si carica alla tensione di ingresso, a prescindere da $v_0$.

Esempio 2: massa-molla (Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →). $y''+4y=x$ con $x(t)=F_0\cos(t)u(t)$, $F_0=1$, condizioni $y(0^-)=y_0$, $y'(0^-)=v_0$. Trasformando: $s^2Y-sy_0-v_0+4Y=\frac{s}{s^2+1}$, quindi $$Y(s)=\frac{s}{(s^2+1)(s^2+4)}+\frac{s\,y_0+v_0}{s^2+4}.$$ Per il primo termine, $\frac{s}{(s^2+1)(s^2+4)}=\frac13\left[\frac s{s^2+1}-\frac s{s^2+4}\right]$ (verifica: $\frac13\cdot\frac{s(s^2+4)-s(s^2+1)}{(s^2+1)(s^2+4)}=\frac13\cdot\frac{3s}{\cdots}$ ✓). Antitrasformando: $$y(t)=\underbrace{\tfrac13(\cos t-\cos2t)}_{\text{forzata}}+\underbrace{y_0\cos2t+\tfrac{v_0}2\sin2t}_{\text{libera}},\quad t\ge0.$$ Verificata con la risoluzione simbolica dell'equazione. Se la forzante è alla pulsazione propria $\omega_0=2$ ($x=\cos(2t)u(t)$) il termine forzato è $\frac{s}{(s^2+4)^2}\leftrightarrow\frac t4\sin2t$ (polo doppio in $\pm2j$): ampiezza che cresce linearmente, risonanza.

La funzione di trasferimento

Con stato iniziale nullo, $Y_f(s)=H(s)\,X(s)$ con $$\boxed{H(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{\sum_kb_ks^k}{\sum_ka_ks^k}.}$$ $H(s)$ è la trasformata di Laplace della risposta impulsiva $h$ del sistema LTI causale associato all'equazione: i coefficienti dell'equazione sono proprio i coefficienti dei polinomi. I poli di $H$ sono le radici di $a(s)$ non cancellate da uno zero (radice di $b(s)$). Per la risposta al gradino $X=\frac1s$: $Y_f=\frac{H(s)}{s}$.

Esempi: $y''+5y'+6y=x'-3x\Rightarrow H(s)=\frac{s-3}{s^2+5s+6}$; $y''+7y'+12y=x\Rightarrow H(s)=\frac1{s^2+7s+12}$; l'inverso: da $H(s)=\frac{s-1}{s^2+2s-15}$ si legge l'equazione $y''+2y'-15y=x'-x$ (tema d'esame settembre 2024).

Collegamento con la risposta in frequenza. Se il sistema è stabile, $H(\omega)=H(s)\big|_{s=j\omega}$ (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →).

Dalla coppia ingresso-uscita all'equazione (tipico d'esame, Esercizio 23 · dalla coppia ingresso-uscita all'equazione differenziale (tema d'esame febbraio 2024)). Se si conoscono un ingresso $x$ e la corrispondente uscita $y$ (causali, stato nullo): $H=\frac YX$, si riduce a frazione $\frac{b(s)}{a(s)}$ e si leggono i coefficienti.

Stabilità BIBO

Un sistema causale con $H(s)=\frac{b(s)}{a(s)}$ (ridotta ai minimi termini) è BIBO stabile se e solo se $h\in L^1$ (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →). In termini di $H$:

Teorema. Il sistema LTI causale con funzione di trasferimento razionale $H=\frac{b}{a}$ (senza fattori comuni) è BIBO stabile $\iff$ (1) $H$ è propria o bipropria ($m\le n$) e (2) tutti i poli hanno parte reale strettamente negativa.

Perché. Per $m\le n$ si può scrivere $h=c\,\delta(t)+\sum\left(\text{termini }t^ke^{pt}\text{ o }t^ke^{\sigma t}\cos(\omega t+\varphi)\right)u(t)$ (fratti semplici, Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →), con $c$ costante. Il termine $c\delta$ è integrabile. Ogni modo con $\sigma=\mathrm{Re}\,p<0$ è integrabile (decade esponenzialmente); ogni modo con $\sigma\ge0$ non lo è (è costante, oscilla senza smorzarsi, cresce). Per $m>n$ compaiono $\delta'$ e derivate superiori, che non sono funzioni limitate: l'uscita a un ingresso limitato (un gradino) contiene un impulso, non è limitata.

Casi pratici.

• Poli immaginari puri semplici (es. $\pm3j$): oscillazione non smorzata, il sistema non è BIBO stabile, anche se i modi sono limitati: basta un ingresso a quella pulsazione per avere uscita illimitata (risonanza: $t\sin\omega t$).
• Grado uguale ($m=n$): la parte reale delle radici decide.
• Cancellazione polo-zero: $H=\frac{s^2+\alpha^2}{(s^2+9)(s+1)}$ (tema d'esame) ha poli $\pm3j,-1$ se $\alpha\ne3$ (instabile), ma per $\alpha=3$ i poli $\pm3j$ si cancellano con gli zeri e $H=\frac1{s+1}$ è stabile. La stabilità si giudica sui poli di $H$ dopo le semplificazioni.

Esempi d'esame.

Per il polinomio di secondo grado $s^2+\beta s+\gamma$ vale un criterio semplice: radici a parte reale negativa $\iff\beta>0$ e $\gamma>0$ (coefficienti dello stesso segno). Per esempio $s^2+2s+10$ ✓, $s^2+2s-15$ ✗.

Regime transitorio e permanente

Se il sistema è stabile, l'evoluzione libera decade a zero (modi di $a(s)$ con $\mathrm{Re}<0$) e, nella forzata, i termini originati dai poli del sistema decadono, mentre restano quelli originati dai poli dell'ingresso. Si distingue quindi:

• transitorio: la parte che si spegne per $t\to\infty$ (modi del sistema);
• regime permanente: la parte che resta, uguale alla risposta a regime di un LTI all'ingresso su tutto l'asse. Per un ingresso costante $A$ è $H(0)A$; per $A\cos(\omega t)$ è $A|H(\omega)|\cos(\omega t+\arg H(\omega))$ (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →).

Nell'esempio RC: $H(s)=\frac1{s+1}$, $H(0)=1$, quindi il regime permanente del gradino $A$ è $A$ ✓.

Errori comuni

• Dimenticare le condizioni iniziali nella trasformata della derivata ($sY-y(0^-)$).
• Usare la trasformata della derivata del bilatero ($sY$ senza termine iniziale) in un problema con stato iniziale non nullo.
• Giudicare la stabilità sulle radici di $a(s)$ prima di semplificare i fattori comuni con $b(s)$ (o, viceversa, ignorare che con $m>n$ il sistema non è stabile).
• Dire "poli immaginari, quindi stabile perché limitati": serve parte reale strettamente negativa.
• Confondere forzata e libera: la risposta impulsiva è la forzata.