Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing

L'enunciato

Dalla formula di Poisson (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →) lo spettro dei campioni è una ripetizione periodica di $X$, e le repliche non si sovrappongono se il segnale è a banda limitata e il passo è abbastanza piccolo. Questo è il teorema del campionamento (Shannon, 1949):

Teorema. Sia $x(t)$ un segnale con trasformata di Fourier (anche generalizzata) nulla fuori dalla banda $[-\omega_M,\omega_M]$, cioè $X(\omega)=0$ per $|\omega|>\omega_M$. Se il passo di campionamento soddisfa $$T_c<\frac\pi{\omega_M}\qquad\left(\text{equivalentemente }F_c=\frac1{T_c}>\frac{\omega_M}\pi=2f_{\max}\right),$$ allora $x(t)$ è ricostruibile esattamente dai campioni $x(nT_c)$ con la formula di interpolazione ideale $$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT_c)\,\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right).$$

Terminologia: $f_{\max}=\frac{\omega_M}{2\pi}$ è la massima frequenza presente nel segnale; $2f_{\max}$ è la frequenza di Nyquist: per ricostruire un segnale bisogna campionare a più del doppio della sua massima frequenza (criterio di Nyquist). Sul bordo ($T_c=\frac\pi{\omega_M}$) il risultato vale se lo spettro si annulla in $\pm\omega_M$ (come nel sinc quadro); non vale se in $\pm\omega_M$ c'è un impulso: con $T_c=\frac{\pi}{\omega_M}$ i campioni di $\sin(\omega_Mt)$ sono tutti nulli ($\sin(n\pi)=0$) e la ricostruzione darebbe il segnale nullo. I temi d'esame accettano la scrittura $F_c\ge2f_{\max}$ per spettri che si annullano sul bordo.

Dimostrazione

Si considera il segnale a impulsi $x_s=\sum_nx(nT_c)\delta(t-nT_c)$, con spettro $X_s(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX(\omega-k\omega_c)$, $\omega_c=\frac{2\pi}{T_c}$. Se $T_c<\frac\pi{\omega_M}$ le repliche sono disgiunte e la replica centrale è $\frac1{T_c}X(\omega)$ su $|\omega|<\omega_M$. Un filtro passa-basso ideale $$H(\omega)=T_c\operatorname{rect}\left(\frac{T_c\omega}{2\pi}\right)$$ (guadagno $T_c$, taglio $\frac{\pi}{T_c}=\frac{\omega_c}2$, compreso tra $\omega_M$ e $\omega_c-\omega_M$) lascia solo la replica centrale e ne compensa il fattore: $H(\omega)X_s(\omega)=X(\omega)$. Dalla coppia $\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_c}\right)\leftrightarrow T_c\operatorname{rect}\left(\frac{T_c\omega}{2\pi}\right)$ (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →) la risposta impulsiva è $h(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_c}\right)$, quindi nel tempo $$x(t)=(x_s*h)(t)=\sum_nx(nT_c)\,\delta(t-nT_c)*\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_c}\right)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right),$$ ricordando che convolvere con una $\delta$ traslata trasla (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →). $\blacksquare$

Come funziona la formula. Ogni campione viene sostituito da un sinc centrato nell'istante di campionamento e con ampiezza $x(nT_c)$. Il sinc vale $1$ in $t=nT_c$ e si annulla in tutti gli altri istanti di campionamento $mT_c$ ($m\ne n$): ecco perché la ricostruzione passa esattamente per i campioni. Tra due campioni, la somma dei sinc "riempie" il valore intermedio.

Verifica numerica. $x(t)=\operatorname{sinc}^2(t)$ ($\omega_M=2\pi$, quindi $T_c<\frac12$), campionato con $T_c=0{,}4$. Con la somma tronca a $|n|\le5000$ si ricostruisce $x(0{,}3)=0{,}736840$ (esatto $0{,}736840$) e $x(1{,}234)=0{,}029930$ (esatto $0{,}029930$): una verifica del fatto che i valori tra i campioni sono recuperati.

L'interpolazione in generale

Un interpolatore è un sistema ibrido (discreto $\to$ continuo): data la sequenza $x(n)$ e il passo $T$, $$y(t)=\sum_nx(n)\,h(t-nT)$$ (si "attacca" una copia di $h$ a ogni campione). In frequenza: $Y(\omega)=H(\omega)\,\hat X(\omega T)$, cioè la TFtd della sequenza valutata in $\omega T$ (che è la ripetizione periodica dello spettro originale) moltiplicata per il filtro: l'interpolatore è un filtro che deve selezionare una replica.

Condizione di corretta interpolazione. Perché $y(nT)=x(n)$ (la curva passa per i campioni) serve $h(nT)=\delta(n)$: $h$ vale $1$ in $0$ e $0$ negli altri istanti di campionamento. Esempi di $h$ corrette:

L'interpolatore a tenuta ha $|H|$ che a $\omega=\frac\pi T$ vale $T\operatorname{sinc}\frac12=\frac{2}{\pi}T\approx0{,}64\,T$: attenua le frequenze alte del segnale e lascia passare parte delle repliche (lo spettro non è piatto né limitato): la ricostruzione è approssimata.

Perché l'interpolazione ideale non è realizzabile. Il sinc ha supporto infinito, non è nullo per $t<0$ (non causale: per generare $y(t)$ serviranno campioni futuri) e la formula è una somma infinita. In pratica si usa un'approssimazione con un filtro causale (a tenuta più un filtro passa-basso analogico, che è esattamente ciò che fa un DAC).

Aliasing

Se il segnale non è a banda limitata, o se $T_c\ge\frac\pi{\omega_M}$, le repliche si sovrappongono (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →) e nella replica centrale ci sono contributi di $X$ a frequenze diverse: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\left[X(\omega/T_c)+\sum_{k\ne0}X\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)\right]$. L'informazione sulle frequenze alte si trasferisce sulle basse (aliasing, o "ripiegamento").

Esempio con una sinusoide. $x(t)=\cos(2\pi\cdot7\,t)$ (7 Hz) campionata a $F_c=10$ Hz ($T_c=0{,}1$ s) dà $x(n)=\cos(2\pi\cdot0{,}7\,n)$. Nel discreto le pulsazioni valgono modulo $2\pi$ (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →): $0{,}7\equiv-0{,}3$, quindi $x(n)=\cos(2\pi\cdot0{,}3\,n)$, esattamente i campioni di un coseno a 3 Hz. Dopo il campionamento il tono a 7 Hz è indistinguibile da uno a 3 Hz. In generale la frequenza apparente è $f_{app}=|f-kF_c|$ con $k$ intero scelto in modo che $f_{app}\in[0,\frac{F_c}2]$ (le frequenze si ripiegano attorno a $\frac{F_c}2=5$ Hz: $7\to3$, $8\to2$, $9\to1$). È l'effetto "ruote del carro che sembrano girare all'indietro" nei film.

Prefiltraggio. Per evitare l'aliasing, prima di campionare si filtra il segnale con un passa-basso con taglio $\le\frac{\omega_c}2$ (filtro anti-aliasing): si perdono le componenti oltre la frequenza di Nyquist, ma si evita che si ripieghino su quelle utili (Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda →). Ricordarlo è una domanda ricorrente di teoria ("perché prima del campionamento si usa un filtro passa-basso?").

Casi d'esame tipici

1. Segnale modulato. $y(t)=x(t)\cos(\omega_0t)$ con $x$ a banda $\omega_M$ ha $Y(\omega)=\frac12[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)]$: banda $\omega_0+\omega_M$. Va campionato con $T_c<\frac\pi{\omega_0+\omega_M}$, molto più piccolo di quello che serve per $x$ (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →). Con $x=\operatorname{sinc}^2\left(\frac tD\right)$ ($\omega_M=\frac{2\pi}D$): per $x$ basta $T_c\le\frac D2$ ($0{,}4D$ va bene); per $y$ con $\omega_0\gg\frac\pi D$ serve $T_c<\frac\pi{\omega_0+2\pi/D}\ll D$ e $T_c=0{,}4D$ non basta. Conta la massima pulsazione presente, non la larghezza della banda occupata.

2. Segnale più sinusoide. $x(t)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)+\cos\left(\frac{3\pi}Tt\right)$ ha spettro con triangolo in $|\omega|<\frac{2\pi}T$ e impulsi in $\pm\frac{3\pi}T$ (Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →). Massima pulsazione $\frac{3\pi}T$, quindi $F_c>\frac{3\pi/T}\pi=\frac3T$ (Nyquist: $\frac3T$).

3. Dopo un filtro. Un filtro può ridurre la banda: per $z=h*y$ conta la banda dell'uscita. Se $h$ è un passa-basso ideale con taglio $\omega_t$ allora $z$ è a banda limitata $\omega_t$ e si può campionare a $F_c>\frac{\omega_t}{\pi}$ (schema tipico di conversione A/D: filtro passa-basso e poi campionatore). Esempio: Esercizio 18 · spettro, campionamento e filtraggio di sinc quadro più coseno (tema d'esame gennaio 2024).

4. Segnale a banda illimitata. $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)+\cos(\omega_1t)$ ha un sinc nello spettro, che non si annulla mai: nessuna frequenza di campionamento permette la ricostruzione esatta (tema d'esame gennaio 2025). In pratica si accetta un errore trascurabile (Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda →).

5. Campionamento seguito da interpolazione (e decimazione). Se un segnale campionato con $T_1$ è interpolato con $h$ ideale a pulsazione di taglio $\frac\pi{T_1}$, l'uscita ha spettro $Y(\omega)=T_1H(\omega)\sum_kX(\omega-k\omega_1)$ con $\omega_1=\frac{2\pi}{T_1}$ (Esercizio 20 · catena di campionamento e interpolazione ideale (tema d'esame settembre 2024)). Se poi si tiene un campione ogni 3 ($w(n)=v(3n)$), lo spettro si dilata di 3 e si sommano 3 repliche (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →): per non avere aliasing deve valere $3T_1<\frac\pi{\omega_{\max}}$.

Esempio svolto: modulazione, campionamento e decimazione (tema d'esame febbraio 2025)

Sia $x(t)$ un segnale a banda limitata con pulsazione massima $\omega_{\max}=2$ (spettro $X$ nullo per $|\omega|>2$). Siano $y(t)=x(t)\cos(\omega_0t)$ con $\omega_0>0$, $v(n)=y(nT_1)$ con $T_1>0$ e $w(n)=v(3n)$.

1. $Y$ in funzione di $X$. $Y(\omega)=\frac12\left[X(\omega+\omega_0)+X(\omega-\omega_0)\right]$: due copie di $X$ dimezzate in $\pm\omega_0$, ciascuna di semilarghezza $2$.
2. Casi su $\omega_0$. Se $\omega_0<2$ le due copie si sovrappongono intorno all'origine (le copie hanno semilarghezza $2>\omega_0$); se $\omega_0=2$ si toccano in $\omega=0$; se $\omega_0>2$ sono disgiunte.
3. Demodulazione. Per $z(t)=y(t)\cos(\omega_0t)$: $Z(\omega)=\frac12X(\omega)+\frac14\left[X(\omega-2\omega_0)+X(\omega+2\omega_0)\right]$ (conti come in Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →).
4. Quando $x$ si recupera da $z$ con un passa-basso ideale. Servono la copia centrale (supporto $|\omega|<2$) e quelle a $\pm2\omega_0$ (supporto che inizia in $2\omega_0-2$) disgiunte: $2\le2\omega_0-2$, cioè $\omega_0\ge2$. Il taglio $\omega_c$ può stare ovunque tra $2$ e $2\omega_0-2$ (il punto medio è $\omega_0$) e il guadagno deve valere $2$. Per $\omega_0<2$ le copie centrali si sovrappongono già in $Y$ e non è possibile.
5. Recupero di $x$ da $v$. Serve prima poter ricostruire $y$ dai suoi campioni $v$: la massima pulsazione di $y$ è $\omega_0+2$, quindi $T_1<\frac\pi{\omega_0+2}$. Poi $x$ si recupera da $y$ come sopra, cioè con $\omega_0\ge2$. Le due condizioni insieme sono $$\omega_0\ge2\quad\text{e}\quad T_1<\frac{\pi}{\omega_0+2}.$$
6. Recupero di $x$ da $w$. La decimazione per $3$ equivale a campionare $y$ con passo $3T_1$ (perché $w(n)=y(3nT_1)$): per ricostruire $y$ serve $3T_1<\frac\pi{\omega_0+2}$. Le condizioni diventano $$\omega_0\ge2\quad\text{e}\quad T_1<\frac\pi{3(\omega_0+2)}.$$ Ricampionare a passo triplo restringe quindi di un fattore $3$ il passo ammesso nel primo campionamento (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →: decimazione per $M$ somma $M$ repliche e richiede $\omega_{\max}<\frac\pi M$ in pulsazione numerica).

Errori comuni

• Scambiare $F_c\ge2f_{\max}$ con $F_c\ge f_{\max}$ (serve il doppio).
• Usare la larghezza di banda invece della massima frequenza per un segnale modulato.
• Credere che un segnale a durata limitata (rect) possa essere campionato senza perdita: ha banda infinita.
• Dimenticare che il sinc ideale non è causale (non realizzabile).
• Confondere $f$ e $\omega$: $T_c<\frac\pi{\omega_M}$ in pulsazione, $F_c>2f_{\max}$ in frequenza.