Campionamento e formula di Poisson

Un segnale a tempo continuo si elabora al calcolatore solo dopo averlo campionato: si misura il suo valore a istanti equispaziati e si conservano solo quei valori. Capire che cosa succede allo spettro è la chiave per sapere quando il segnale originale si può ricostruire dai suoi campioni (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).

Il campionamento

Dato $x(t)$ e il passo di campionamento (o periodo) $T_c>0$, la sequenza dei campioni è $$w(n)=x(nT_c),\qquad n\in\mathbb Z.$$ La frequenza di campionamento è $F_c=\frac1{T_c}$ (in Hz) e la corrispondente pulsazione $\omega_c=\frac{2\pi}{T_c}$. Il campionatore è un sistema ibrido (Sistemi e loro proprietàUn sistema trasforma un segnale di ingresso in uno di uscita, $y=\Sigma[x]$. Le proprietà da saper verificare sono: memoria (statico/dinamico), causalità, linearità (additività + omogeneità), tempo-invarianza, stabilità BIBO, invertibilità, realtà. Per negare una proprietà basta un controesempio; per affermarla serve una dimostrazione con segnali generici.Sistemi e loro proprietà →): da un segnale continuo ne produce uno discreto.

Modello a impulsi. Per ragionare in frequenza con la TF continua si descrive il campionamento come moltiplicazione per un pettine di Dirac: $$x_s(t)=x(t)\cdot\operatorname{comb}_{T_c}(t)=\sum_nx(nT_c)\,\delta(t-nT_c),$$ dove la proprietà rivelatrice (Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →) trasforma $x(t)\delta(t-nT_c)$ in $x(nT_c)\delta(t-nT_c)$. Il segnale $x_s$ è continuo (una successione di impulsi), ma contiene la stessa informazione di $w(n)$.

Lo spettro del segnale campionato

Si calcola in due modi, che devono concordare.

Via TF di $x_s$. Dalla proprietà del prodotto (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →) e dalla TF del pettine, $\operatorname{comb}_{T_c}\leftrightarrow\omega_c\sum_k\delta(\omega-k\omega_c)$ (Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →): $$X_s(\omega)=\frac1{2\pi}X(\omega)*\omega_c\sum_k\delta(\omega-k\omega_c)=\frac{\omega_c}{2\pi}\sum_kX(\omega-k\omega_c)=\frac1{T_c}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(\omega-k\omega_c).$$ (Convolvere con un impulso trasla.) Lo spettro è la ripetizione periodica, con periodo $\omega_c=\frac{2\pi}{T_c}$, di $X(\omega)$, moltiplicata per $\frac1{T_c}$. Campionare nel tempo equivale a periodizzare in frequenza: è la proprietà duale di quella già vista (periodizzare nel tempo = campionare in frequenza).

Via TFtd di $w$. $x_s$ ha TF $X_s(\omega)=\sum_nx(nT_c)e^{-j\omega nT_c}$. La TFtd della sequenza $w(n)=x(nT_c)$ è $\hat W(\theta)=\sum_nw(n)e^{-j\theta n}$ (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →). Confrontando: $\hat W(\theta)=X_s\left(\frac\theta{T_c}\right)$ (la variabile $\theta=\omega T_c$ è la pulsazione numerica, in rad/campione). Sostituendo la formula precedente:

$$\boxed{\hat W(\omega)=\sum_{n}x(nT_c)\,e^{-j\omega n}=\frac1{T_c}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)}\qquad\text{(formula di Poisson).}$$

(Il segno di $k$ è irrilevante perché si somma su tutti gli interi.) Si legge così: la TFtd dei campioni è lo spettro continuo $X$, riscalato (la pulsazione analogica $\omega_a$ corrisponde alla numerica $\omega=\omega_aT_c$), ripetuto con periodo $2\pi$ e moltiplicato per $\frac1{T_c}$.

Condizioni. La formula vale se $x$ ha una TF e se i campioni sono presi dove $x$ è definito col valore corretto. Per un segnale con discontinuità nei punti di campionamento va usata la convenzione dell'emivalore (Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →).

Esempio numerico. $x(t)=e^{-3t}u(t)$, $X(\omega)=\frac1{3+j\omega}$, campionato con $T_c=0{,}1$ s. I campioni sono $a^n$ con $a=e^{-0{,}3}$ per $n\ge1$ e, per la convenzione dell'emivalore, $x(0)=\frac12$ (non $1$: $x$ salta da $0$ a $1$ in $t=0$). Quindi $\hat W(\omega)=\frac1{1-ae^{-j\omega}}-\frac12$. In $\omega=0{,}5$ rad/campione: $\hat W=0{,}9076-1{,}4289j$. La somma di Poisson $\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)=10\sum_k\frac1{3+j\,10(\omega+2\pi k)}$, calcolata numericamente con molti termini, dà lo stesso valore $0{,}9076-1{,}4289j$ ✓. Se si usasse $x(0)=1$ la parte reale sarebbe $1{,}4076$: la somma di Poisson converge al valore con emivalore. Per $T_c$ molto piccolo ($T_c=0{,}01$) e $\omega=0{,}01$ (cioè $\omega_a=1$ rad/s) si trova $\hat W\approx30{,}0025-9{,}9992j$, praticamente $\frac1{T_c}X(1)=\frac{100}{3+j}=30-10j$ ✓: con $T_c$ piccolo e spettro limitato la replica centrale domina.

Aliasing

Le repliche di $X$ sono centrate nei multipli di $\omega_c=\frac{2\pi}{T_c}$. Se $x$ è a banda limitata ($X(\omega)=0$ per $|\omega|>\omega_M$) ogni replica occupa $[k\omega_c-\omega_M,k\omega_c+\omega_M]$; due repliche vicine non si sovrappongono se $$\omega_M\le\omega_c-\omega_M\iff\omega_c\ge2\omega_M\iff T_c\le\frac\pi{\omega_M}.$$ In tal caso la replica centrale è identica a $X$ (a meno del fattore $\frac1{T_c}$), quindi $x$ si ricostruisce con un filtro passa-basso che seleziona la replica in $k=0$.

Se invece $\omega_c<2\omega_M$ le repliche si sovrappongono e si sommano nelle zone di intersezione: questo è l'aliasing (frequenze alte che "si travestono" da frequenze basse). L'informazione si perde: non è più possibile risalire a $X$ dalla somma.

Esempio. $x(t)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac tD\right)$ ha $X(\omega)=D\Lambda\left(\frac{D\omega}{2\pi}\right)$, banda limitata $\omega_M=\frac{2\pi}D$. Servono $T_c\le\frac{\pi}{\omega_M}=\frac D2$. Con $T_c=0{,}4D$ si ha $\omega_c=\frac{2\pi}{0{,}4D}=\frac{5\pi}D\ge2\omega_M=\frac{4\pi}D$: nessun aliasing, e $x$ è ricostruibile (tema d'esame febbraio 2023). Con $T_c=0{,}6D$ si avrebbe $\omega_c=\frac{10\pi}{3D}<\frac{4\pi}D$: aliasing.

Campionare segnali periodici

Se $\tilde x(t)$ è periodico di periodo $T_p=NT_c$ ($N$ campioni per periodo), la sequenza $x(n)=\tilde x(nT_c)$ è periodica di periodo $N$ e la sua TFD (Trasformata di Fourier discreta (TFD)La TFD è la serie di Fourier dei segnali discreti periodici di periodo $N$: servono solo $N$ armoniche, $X(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$ e $x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N}$. È un prodotto matrice-vettore in $\mathbb{C}^N$ (la matrice di Fourier); la convoluzione circolare diventa prodotto, $N X(k)Y(k)$. La FFT la calcola in $O(N\log N)$.Trasformata di Fourier discreta (TFD) →) è la ripetizione periodica dei coefficienti della serie: $X(k)=\sum_ma_{k+mN}$. Per evitare aliasing in frequenza i coefficienti $a_k$ devono annullarsi per $|k|\ge\frac N2$.

Errori comuni

• Dimenticare la differenza tra pulsazione analogica $\omega_a$ e pulsazione numerica $\omega=\omega_aT_c$.
• Dimenticare il fattore $\frac1{T_c}$ nelle repliche.
• Confondere il periodo di replica ($\omega_c=\frac{2\pi}{T_c}$ in pulsazione analogica, $2\pi$ in pulsazione numerica).
• Dire che "campionare con $F_c$ qualsiasi permette di ricostruire": servono banda limitata e criterio di Nyquist (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).
• Ignorare l'emivalore quando si campiona in un punto di discontinuità.