Esercizio 19recuperare un segnale dai campioni in presenza di un disturbo (tema d'esame giugno 2025)

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Teoria usata: Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →, Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →.

(1) Lo spettro di $x$

Per $|\omega|<B$, $X(\omega)=1-\frac{\omega^2}{B^2}$: una parabola rivolta verso il basso che vale $1$ in $\omega=0$ e si annulla in $\omega=\pm B$ (con pendenza non nulla); per $|\omega|>B$ è $0$. La funzione è continua, pari e reale (quindi $x$ è reale e pari).

(2) Ricostruibilità dai campioni

$X(\omega)=0$ per $|\omega|>B$: $x$ è a banda limitata ($\omega_M=B$). Per il teorema di Shannon (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →) è ricostruibile se il passo soddisfa il criterio di Nyquist: $F_c\ge2f_{\max}=2\cdot\frac{B}{2\pi}=\frac B\pi$, cioè $$T_c\le\frac\pi B.$$ Non si può ricostruire per qualunque $T_c$: se $T_c>\frac\pi B$ le repliche dello spettro si sovrappongono (aliasing) e l'informazione è persa. La condizione $T_c\le\frac\pi B$ è necessaria e sufficiente (lo spettro si annulla agli estremi, quindi vale anche con l'uguale).

(3) Il segnale modulato

$$y(t)=x(t)\cos(\omega_0t)\ \Longrightarrow\ Y(\omega)=\frac12\left[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)\right].$$ Due parabole dimezzate (altezza $\frac12$) centrate in $\pm\omega_0$, di banda $[\omega_0-B,\omega_0+B]$ e $[-\omega_0-B,-\omega_0+B]$. Con $\omega_0\gg2B$ non si sovrappongono (basta $\omega_0\ge B$).

(Nella figura $B=1$ e $\omega_0=10$.) La massima pulsazione presente in $y$ è $\omega_0+B$, cioè $f_{\max}=\frac{\omega_0+B}{2\pi}\approx\frac{\omega_0}{2\pi}$ per $\omega_0\gg B$. Quindi $y$ è ricostruibile dai campioni, ma serve $$F_c\ge\frac{\omega_0+B}{\pi}\ \left(\approx\frac{\omega_0}\pi\right),\qquad T_c\le\frac\pi{\omega_0+B}.$$ Conta la massima pulsazione, non la larghezza di banda: la banda occupata è solo $2B$, ma il campionamento "in banda base" deve seguire la portante (eventuale campionamento passa-banda è fuori dal programma, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).

(4) Un sistema che recupera $x$ dai campioni di $z=y+r$

Idea: tre fasi. (a) ricostruire $z$ dai campioni; (b) eliminare il disturbo; (c) demodulare.

(a) Ricostruzione di $z$. Perché $z$ sia ricostruibile serve che il suo spettro sia limitato e che $T_c$ lo rispetti: $\hat Z=Y+R$ ha banda $\max(\omega_0+B,W_R)$. Se, come si vedrà al punto (b), $W_R<\omega_0-B$, la banda di $z$ è quella di $y$ e basta $$T_c\le\frac\pi{\omega_0+B}.$$ Con questa condizione si usa l'interpolazione ideale: $$z(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}z(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right).$$

(b) Eliminazione del disturbo. Il disturbo non è noto, ma si sa che $R(\omega)=0$ per $|\omega|>W_R$: occupa solo le basse frequenze. Il segnale utile $y$ occupa $[\omega_0-B,\omega_0+B]$ (e il simmetrico). I due non si sovrappongono se $$W_R<\omega_0-B.$$ In tal caso un filtro passa-alto ideale con pulsazione di taglio $\omega_{HP}\in(W_R,\,\omega_0-B)$, $$H_{HP}(\omega)=1-\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\omega_{HP}}\right),$$ cancella $r$ e lascia intatto $y$: $y=h_{HP}*z$. (Se i due spettri si sovrapponessero il disturbo non sarebbe separabile con un filtro LTI.)

(c) Demodulazione. Si moltiplica per la portante e si filtra (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →): $y(t)\cos(\omega_0t)=\frac12x(t)+\frac12x(t)\cos(2\omega_0t)$, con spettro $\frac12X+\frac14[X(\omega\mp2\omega_0)]$. Un passa-basso ideale con guadagno $2$ e taglio $\omega_{LP}\in(B,\,2\omega_0-B)$, $$H_{LP}(\omega)=2\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\omega_{LP}}\right),$$ isola la copia in banda base e ne ripristina l'ampiezza. Una scelta comoda è $\omega_{LP}=\frac{\omega_0}2$ (valida se $\omega_0>2B$).

Schema completo: $$z(nT_c)\ \xrightarrow{\text{interp. ideale}}\ z(t)\ \xrightarrow{H_{HP}}\ y(t)\ \xrightarrow{\times\cos\omega_0t}\ \xrightarrow{H_{LP}}\ x(t).$$ L'interpolazione e la moltiplicazione per la portante sono sistemi non LTI/ibridi; i due filtri sono LTI.

Condizioni sui parametri: $$\boxed{T_c\le\frac\pi{\omega_0+B},\qquad W_R<\omega_0-B,\qquad\omega_0\gg B\ (\text{data}),}$$ più le scelte $\omega_{HP}\in(W_R,\omega_0-B)$ e $\omega_{LP}\in(B,2\omega_0-B)$. Se $W_R\ge\omega_0+B$ (disturbo a frequenze più alte del segnale utile) servirebbe un $T_c$ più piccolo, $T_c\le\frac\pi{W_R}$, per non avere aliasing del disturbo su $y$.

Verifica numerica. Con $B=1$, $\omega_0=10$, $W_R=4{,}5$ ($<\omega_0-B=9$), un disturbo $r(t)=2\cos(3t+0{,}4)+\cos(4{,}5t)$ e $T_c=0{,}25\le\frac\pi{11}\approx0{,}2856$: la ricostruzione di $z$ dai campioni (somma di sinc) ha errore $<10^{-14}$ sull'intervallo $[-10,10]$; la catena passa-alto (taglio $6$), demodulazione e passa-basso ($2\operatorname{rect}$, taglio $5$) restituisce $x(t)=\frac{2\left(\sin t-t\cos t\right)}{\pi t^3}$ (l'antitrasformata di $X$ per $B=1$) con errore massimo $5\cdot10^{-4}$, dovuto al troncamento della finestra temporale usata nel calcolo.

Errori comuni

• Dire che si può campionare $z$ al passo di $x$: $y$ ha banda $\omega_0+B$ molto più grande di $B$.
• Dimenticare la condizione $W_R<\omega_0-B$ per separare il disturbo, o non accorgersi che senza di essa nessun filtro LTI separa i due segnali.
• Dimenticare il guadagno $2$ del passa-basso in demodulazione.
• Scegliere $\omega_{LP}$ nell'intervallo sbagliato (serve $\omega_{LP}>B$ e $<2\omega_0-B$).
• Demodulare senza prima eliminare $r$ (il prodotto $r(t)\cos\omega_0t$ sposterebbe il disturbo nella banda del segnale).