Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito

Per decidere se la trasformata di Fourier di un segnale esiste, se un sistema è stabile o se vale l'identità di Parseval non servono le formule del segnale, ma come il segnale cresce o decade. Questa informazione si riassume dicendo a quale spazio il segnale appartiene.

Le tre norme

Per un segnale a tempo continuo $x(t)$ si definiscono:

$$\|x\|_1 = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|\, dt, \qquad \|x\|_2 = \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\, dt} = \sqrt{E_x}, \qquad \|x\|_\infty = \sup_{t}|x(t)|.$$

• $L^1(\mathbb{R})$ è l'insieme dei segnali con $\|x\|_1 < \infty$: assolutamente integrabili (area del modulo finita).
• $L^2(\mathbb{R})$: segnali con $\|x\|_2 < \infty$, cioè a energia finita (vedi Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →).
• $L^\infty(\mathbb{R})$: segnali limitati in ampiezza.

Per i segnali a tempo discreto gli integrali diventano somme, e gli spazi si indicano con $\ell^1(\mathbb{Z})$, $\ell^2(\mathbb{Z})$, $\ell^\infty(\mathbb{Z})$:

$$\|x\|_1 = \sum_n|x(n)|, \qquad \|x\|_2 = \sqrt{\sum_n|x(n)|^2}, \qquad \|x\|_\infty = \sup_n|x(n)|.$$

Perché servono

Come si decide l'appartenenza

La domanda va sempre in due parti: il segnale è limitato? (controllo su $L^\infty$) e decade abbastanza in fretta all'infinito? (controllo su $L^1$ e $L^2$). Un integrale improprio dà la risposta. Lo strumento più utile è il modello

$$f(a) = \int_0^{+\infty}e^{-at}\, dt = \frac1a \quad (a > 0).$$

Esempio 1: $x(t) = e^{-3t}u(t)$.

• $\|x\|_1 = \int_0^\infty e^{-3t}\, dt = f(3) = \frac13$;
• $\|x\|_2^2 = \int_0^\infty e^{-6t}\, dt = f(6) = \frac16$, quindi $\|x\|_2 = \frac1{\sqrt6}$;
• $\|x\|_\infty = 1$ (il massimo è in $t = 0^+$).

Tutte e tre le norme sono finite: il segnale sta in $L^1$, $L^2$ e $L^\infty$. Lo stesso vale per $y(t) = e^{-2t}u(t)$ con $\|y\|_1 = \frac12$, $\|y\|_2 = \frac12$.

Esempio 2: $e^{t}u(t)$ e la rampa $t\,u(t)$. Divergono, sono illimitati: non appartengono a nessuno dei tre spazi.

Esempio 3: segnali a supporto limitato. Se $x$ è limitato e nullo fuori da un intervallo $[a,b]$ allora sta in tutti e tre gli spazi (l'integrale di una funzione limitata su un intervallo finito è finito). Per esempio $\operatorname{rect}$, $\Lambda$, e nel discreto qualunque sequenza con un numero finito di campioni non nulli. Se invece, a supporto limitato, $x$ è illimitato (come $1/\sqrt{|t|}$ per $|t|\le1$) la cosa cambia caso per caso.

Esempio 4: sinusoidi, costante, gradino. Sono limitate ma non decadono: stanno solo in $L^\infty$. Per esempio $\int_{-\infty}^{\infty}|\cos t|\, dt = \infty$.

Esempio 5: $\operatorname{sinc}(t) = \frac{\sin\pi t}{\pi t}$. È limitato (massimo 1 in $t=0$) e decade come $1/t$. $\int|\operatorname{sinc}|\,dt$ diverge come la serie armonica $\sum\frac1n$ (l'ampiezza $\frac1{\pi|t|}$ non è integrabile all'infinito, e il $|\sin|$ ha media $\frac2\pi$ che non la salva): non sta in $L^1$. Invece $\int\operatorname{sinc}^2 = 1$ (si dimostra con Parseval), quindi sta in $L^2$ ed in $L^\infty$. Per questo il sistema con risposta impulsiva $\operatorname{sinc}$ (filtro passa-basso ideale) non è BIBO stabile.

Esempio 6: $\frac{1}{1+|t|}$. Limitato (massimo 1). $\int_{0}^\infty\frac{dt}{1+t} = \infty$ (log): non in $L^1$. $\int_0^\infty\frac{dt}{(1+t)^2} = 1$: sta in $L^2$ con $\|x\|_2^2 = 2$.

Le inclusioni: continuo contro discreto

Nel discreto valgono sempre le inclusioni

$$\ell^1(\mathbb{Z}) \subset \ell^2(\mathbb{Z}) \subset \ell^\infty(\mathbb{Z}).$$

Perché. Se $\sum|x(n)| < \infty$ allora $|x(n)| \to 0$, quindi da un certo punto in poi $|x(n)| \le 1$ e $|x(n)|^2 \le |x(n)|$: la somma dei quadrati è finita. E se $\sum|x(n)|^2<\infty$ nessun campione può superare $\sqrt{\sum|x|^2}$, quindi è limitato.

Nel continuo non c'è nessuna inclusione generale, perché il segnale può essere illimitato in un punto senza che questo disturbi l'integrale (i punti non hanno "lunghezza"). Controesempi:

• $\frac1{\sqrt{|t|}}\operatorname{rect}(t/2)$: in $L^1$ ($\int_{-1}^1|t|^{-1/2}dt = 4$) ma non in $L^2$ ($\int|t|^{-1}$ diverge) né in $L^\infty$;
• $\operatorname{sinc}(t)$: in $L^2$ ma non in $L^1$.

Sono invece vere queste due relazioni utili: se $x \in L^1 \cap L^\infty$ allora $x \in L^2$ (perché $|x|^2 \le \|x\|_\infty|x|$, quindi $\|x\|_2^2 \le \|x\|_\infty\|x\|_1$), e un segnale limitato e a supporto limitato sta in tutti gli spazi.

Esempi discreti. $\delta(n)$ e qualsiasi sequenza finita: in tutti e tre. $a^nu(n)$ con $|a| < 1$: $\sum|a|^n = \frac{1}{1-|a|}$, in tutti e tre. $u(n)$: solo in $\ell^\infty$. $\frac1n$ per $n\ge1$: $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$, quindi in $\ell^2$ e $\ell^\infty$ ma non in $\ell^1$ (serie armonica).

Come si usano nei temi d'esame

I temi di Segnali e Sistemi chiedono quasi sempre "a quali degli spazi $L^1,L^2,L^\infty$ (o $\ell^1,\ell^2,\ell^\infty$) appartiene il segnale". Il metodo è sempre lo stesso: (1) supporto: limitato o no? (2) limitatezza: c'è un $t$ in cui esplode? (3) se il supporto è infinito, come decade: esponenziale (tutto finito), come $1/t$ (non in $L^1$, in $L^2$), costante o periodico (solo $L^\infty$). Per esempi svolti vedi Esercizio 3 · convoluzione di esponenziale e rampa, stabilità e uscita sinusoidale (tema d'esame giugno 2024) ed Esercizio 6 · segnali discreti con gradino quadratico, decimazione ed energia (tema d'esame settembre 2025).

Errori comuni

• "Il segnale è limitato quindi ha energia finita" (falso: $\cos t$);
• "Ha energia finita quindi è assolutamente integrabile" (falso nel continuo: $\operatorname{sinc}$);
• Applicare le inclusioni del discreto al continuo;
• Dimenticare di verificare l'appartenenza a $L^1$ prima di scrivere $X(\omega) = \int x\, e^{-j\omega t}dt$ come integrale ordinario.