Esercizio 8sistema anticausale e filtro passa-tutto (tema d'esame febbraio 2023)

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Teoria usata: Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze →.

(1) Risposta impulsiva di $S_2$

Con $w=e^{-j\omega}$: $H_2=\frac{1-2w}{1-\frac12w}$. Si scompone il numeratore in modo da far comparire il denominatore: $1-2w=\left(1-\frac12w\right)-\frac32w$. Quindi $$H_2=1-\frac32\cdot\frac{w}{1-\frac12w}=1-\frac32\cdot\frac{e^{-j\omega}}{1-\frac12e^{-j\omega}}.$$ Si ricorda che $\frac1{1-\frac12e^{-j\omega}}$ è la TFtd di $\left(\frac12\right)^nu(n)$ e che un ritardo di un campione moltiplica per $e^{-j\omega}$ (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →): $\frac{e^{-j\omega}}{1-\frac12e^{-j\omega}}\leftrightarrow\left(\frac12\right)^{n-1}u(n-1)$. Allora $$h_2(n)=\delta(n)-\frac32\left(\frac12\right)^{n-1}u(n-1)=\delta(n)-3\left(\frac12\right)^nu(n-1).$$ In forma compatta: $h_2(n)=4\,\delta(n)-3\left(\frac12\right)^nu(n)$ (stesso segnale: per $n=0$ dà $4-3=1$; per $n\ge1$ dà $-3\left(\frac12\right)^n$). Primi valori: $h_2=1,\,-\frac32,\,-\frac34,\,-\frac38,\ldots$ Controllo: $H_2(0)=\frac{1-2}{1-\frac12}=-2$ e $\sum h_2=1-3\left(\frac12+\frac14+\ldots\right)=1-3=-2$ ✓.

(2) Stabilità e causalità

• $S_1$: $h_1(n)=-2^n$ per $n\le-1$ e $0$ per $n\ge0$: anticausale (nulla per $n\ge0$). Somma: $\sum_{n\le-1}2^n=\sum_{m\ge1}2^{-m}=1<\infty$ ⇒ stabile.
• $S_2$: $h_2(n)=0$ per $n<0$ ⇒ causale; $\sum|h_2|=1+3\sum_{n\ge1}\left(\frac12\right)^n=1+3=4$ ⇒ stabile. (Lo si può anche vedere dalla funzione di trasferimento $H_2(z)=\frac{1-2z^{-1}}{1-\frac12z^{-1}}$, con l'unico polo $z=\frac12$ dentro il cerchio unitario e ROC $|z|>\frac12$.)

(3) La risposta in frequenza di $S_1$

$$H_1(\omega)=\sum_{n\le-1}\left(-2^n\right)e^{-j\omega n}=-\sum_{m\ge1}2^{-m}e^{j\omega m}=-\sum_{m\ge1}\left(\tfrac12e^{j\omega}\right)^m\qquad(m=-n).$$ Serie geometrica di ragione $q=\frac12e^{j\omega}$ con $|q|=\frac12<1$ (parte da $m=1$): $\sum_{m\ge1}q^m=\frac q{1-q}$. Quindi $$H_1=-\frac{\frac12e^{j\omega}}{1-\frac12e^{j\omega}}.$$ Si moltiplicano numeratore e denominatore per $-2e^{-j\omega}$: numeratore $-\frac12e^{j\omega}\cdot(-2e^{-j\omega})=1$; denominatore $\left(1-\frac12e^{j\omega}\right)(-2e^{-j\omega})=-2e^{-j\omega}+1$. Allora $$H_1(\omega)=\frac1{1-2e^{-j\omega}}\ \checkmark$$ (Controllo numerico: somma diretta troncata e formula coincidono in tutti i punti provati.) Si noti che la stessa espressione sarebbe quella formale di $2^nu(n)$, che però non ha TFtd (la serie diverge): è la regione di convergenza a distinguere i due segnali. Per il segnale anticausale $-2^nu(-n-1)$ la ROC è $|z|<2$ e contiene il cerchio unitario (Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze →), quindi la TFtd esiste.

(4) $S_2$ è un passa-tutto

Per $a>0$: $\left|1-ae^{-j\omega}\right|^2=(1-a\cos\omega)^2+a^2\sin^2\omega=1+a^2-2a\cos\omega$. Quindi $$|1-2e^{-j\omega}|^2=1+4-4\cos\omega=5-4\cos\omega,\qquad\left|1-\tfrac12e^{-j\omega}\right|^2=1+\tfrac14-\cos\omega=\tfrac54-\cos\omega=\tfrac14\left(5-4\cos\omega\right).$$ $$|H_2(\omega)|^2=\frac{5-4\cos\omega}{\frac14(5-4\cos\omega)}=4\quad\Longrightarrow\quad|H_2(\omega)|=2\ \ \forall\omega.$$ Il guadagno è costante e uguale a $2$ a tutte le pulsazioni: ogni sinusoide $A\cos(\omega_0n+\varphi)$ esce con ampiezza $2A$ qualunque sia $\omega_0$ (in particolare $|y(n)|=2|x(n)|$ per ingressi del tipo $e^{j\omega_0n}$). "Tutte le frequenze passano con la stessa amplificazione": il sistema modifica solo la fase (e quindi i ritardi relativi tra le componenti). Per questo si dice passa-tutto.

(5) La serie $S=S_2\circ S_1$

La risposta in frequenza è il prodotto: $$H(\omega)=H_1H_2=\frac1{1-2e^{-j\omega}}\cdot\frac{1-2e^{-j\omega}}{1-\frac12e^{-j\omega}}=\frac1{1-\frac12e^{-j\omega}}.$$ Si riconosce la TFtd di $\left(\frac12\right)^nu(n)$: $h(n)=\left(\frac12\right)^nu(n)$, che è causale e stabile ($\sum=2$). Il confronto dei moduli: $|H|=|H_1|\cdot|H_2|=2\,|H_1|$. La serie ha lo stesso andamento in ampiezza di $S_1$, moltiplicato per $2$ (e fase diversa), ma è causale mentre $S_1$ è anticausale.

(6) Bonus: realizzare un filtro causale con lo stesso modulo di $S_1$

Da quanto visto, $|H|=2|H_1|$: il sistema $S$ ha lo stesso modulo di $S_1$ a meno di un fattore costante $2$ (facile da compensare con un guadagno $\frac12$). A differenza di $S_1$, $S$ è causale e stabile e la sua funzione di trasferimento $H(z)=\frac1{1-\frac12z^{-1}}$ corrisponde all'equazione alle differenze $y(n)-\frac12y(n-1)=x(n)$, implementabile con un numero finito di operazioni per campione (una moltiplicazione e una somma): algoritmo causale ricorsivo $$t(n)=x(n)+\frac12t(n-1),\quad t(n)=0\ \text{per }n<0.$$ Se $x$ è causale, $t$ coincide con $y=h*x$; se non lo è, $t$ converge a $y$ per $n\to\infty$ (l'errore decade come $\left(\frac12\right)^n$). (Verificato: per un ingresso casuale di $30$ campioni la ricorsione e la convoluzione con $h=\left(\frac12\right)^nu(n)$ coincidono.) Più in generale, dato un filtro anticausale stabile esiste un passa-tutto che lo rende causale e stabile senza alterarne il modulo (a meno di una costante).

Errori comuni

• Lasciare $h_2(n)=\left(\frac12\right)^nu(n)-2\left(\frac12\right)^{n-1}u(n-1)$ senza semplificare: va bene, ma conviene arrivare a $\delta(n)-3\left(\frac12\right)^nu(n-1)$ per leggere subito i campioni.
• Dire che $S_1$ è causale: $h_1\ne0$ per $n<0$ (è anticausale).
• Calcolare $H_1$ con $\sum_{n\ge0}2^ne^{-j\omega n}$ (divergente) invece della somma sui $n<0$.
• Dedurre da $|H_2|=2$ che $S_2$ "non fa niente": cambia la fase e la lunghezza della risposta.