Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnali

Quasi tutti i segnali dei temi d'esame sono "un segnale base spostato, dilatato o ribaltato". Saper leggere $x(3t/2+1)$ o scrivere un grafico come $A\,\Lambda\left(\frac{2(t-t_1)}{T}-1\right)$ è un'abilità da automatizzare.

Le tre trasformazioni

Sia $s(t)$ un segnale con estensione $[t_s, T_s]$.

• Ribaltamento (time reversal): $y(t) = s(-t)$. Il grafico si specchia rispetto all'asse delle ordinate, l'estensione diventa $[-T_s, -t_s]$.
• Traslazione (time shift): $y(t) = s(t - t_0)$. Il grafico trasla a destra di $t_0$ se $t_0>0$ (ritardo), a sinistra se $t_0<0$ (anticipo): il valore che $s$ aveva in $t=0$ ora lo ha $y$ in $t = t_0$. L'estensione diventa $[t_s + t_0, T_s + t_0]$.
• Scala (time scaling): $y(t) = s(t/a)$, con $a > 0$. Se $a > 1$ il grafico si dilata (dura $a$ volte di più), se $a<1$ si comprime. L'estensione diventa $[a t_s, a T_s]$.

Perché $t-t_0$ ritarda. Per sapere il valore di $y$ nell'istante $t$ si guarda $s$ nell'istante $t - t_0$, cioè $t_0$ secondi prima: $y$ riproduce ciò che $s$ ha fatto, in ritardo.

Perché $t/a$ dilata. Quando $t$ è $a$ volte più grande di $\tau$, $y(t) = s(t/a)$ vale ciò che $s$ valeva in $\tau = t/a$: tutti gli eventi di $s$ si verificano $a$ volte più tardi.

L'ordine conta

Le trasformazioni si possono applicare in due ordini, ma i parametri cambiano:

• prima la scala, poi la traslazione: $x \to x(t/a) \to x\left(\frac{t-t_0}{a}\right)$. Qui $t_0$ è proprio la traslazione del grafico finale;
• prima la traslazione, poi la scala: $x \to x(t-t_0) \to x\left(\frac ta - t_0\right)$. Qui il grafico finale è traslato di $a\,t_0$.

Conviene usare la prima forma, $x\left(\frac{t - t_0}{a}\right)$: il segnale è dilatato di $a$ e poi spostato di $t_0$, e i due numeri si leggono direttamente.

Regola pratica per $x(\alpha t + \beta)$. Si riscrive $x\big(\alpha(t + \beta/\alpha)\big)$: si comprime di un fattore $|\alpha|$, si ribalta se $\alpha<0$, e il "tempo zero" del segnale base si sposta in $t = -\beta/\alpha$.

Esempio. $s(t) = x\left(\frac{3t}{2}+1\right)$: qui $\alpha = \frac32$, $\beta = 1$. Il segnale base è compresso di $\frac32$ (dura $\frac23$ del tempo) e il suo istante zero si sposta in $t = -\frac{\beta}{\alpha} = -\frac23$. Per controllare: $s\left(-\frac23\right) = x(-1+1) = x(0)$ ✓.

Esempio con ribaltamento. $s(t) = x(-t+2) = x\big(-(t-2)\big)$: si ribalta $x$ e poi si trasla a destra di 2. Controllo: $s(2) = x(0)$ ✓.

Costruire un segnale dai modelli

Esempio: un triangolo qualunque. Si vuole esprimere con $\Lambda$ un triangolo isoscele di altezza $A$, base $T$, che inizia in $t_1$ (nullo prima di $t_1$ e dopo $t_1 + T$, massimo $A$ in $t = t_1 + T/2$).

1. $\Lambda(t)$ ha base 2 (da $-1$ a $1$) e altezza 1. Per ottenere base $T$ lo si dilata di $a = T/2$: $y(t) = \Lambda\left(\frac{t}{T/2}\right) = \Lambda\left(\frac{2t}{T}\right)$.
2. Il centro va portato in $t_0 = t_1 + \frac T2$: $\Lambda\left(\frac{2(t-t_0)}{T}\right)$.
3. Si moltiplica per $A$:

$$s(t) = A\,\Lambda\left(\frac{2\left(t - t_1 - \frac T2\right)}{T}\right) = A\,\Lambda\left(\frac{2(t-t_1)}{T} - 1\right).$$

Verifica sui punti notevoli: $s(t_1) = A\Lambda(-1) = 0$, $s\left(t_1 + \frac T2\right) = A\Lambda(0) = A$, $s(t_1 + T) = A\Lambda(1) = 0$ ✓.

Numerico: $A = 3$, $t_1 = 1$, $T = 4$: $s(t) = 3\Lambda\left(\frac{2(t-1)}{4} - 1\right) = 3\Lambda\left(\frac{t - 3}{2}\right)$. Il picco vale $3$ in $t = 3$, il supporto è $[1, 5]$.

(La funzione $\Lambda(x) = \frac{(1-|x|)+|1-|x||}{2}$ vale $1-|x|$ quando $|x|\le1$ e $0$ altrimenti.)

Altri esempi.

• $\operatorname{rect}$ e $\operatorname{sgn}$ in funzione del gradino: $\operatorname{rect}(t) = u\left(t+\frac12\right) - u\left(t-\frac12\right)$ (un gradino che sale a $-\frac12$ e uno che "toglie" in $\frac12$); $\operatorname{sgn}(t) = 2u(t) - 1$.
• Un rettangolo di altezza $A$ da $t_1$ a $t_2$: $A\operatorname{rect}\left(\frac{t - (t_1+t_2)/2}{t_2 - t_1}\right)$.

Simmetrie

Parità. Un segnale è pari se $s(-t) = s(t)$ (simmetrico rispetto all'asse verticale: $\cos$, $\operatorname{rect}$, $\Lambda$, $e^{-a|t|}$), dispari se $s(-t) = -s(t)$ ($\sin$, $\operatorname{sgn}$). Un segnale dispari ha area nulla (se integrabile): i contributi di $t$ e $-t$ si cancellano. Ogni segnale è somma di una parte pari e una dispari:

$$s_e(t) = \frac{s(t) + s(-t)}{2}, \qquad s_o(t) = \frac{s(t) - s(-t)}{2}, \qquad s = s_e + s_o.$$

Realtà. Un segnale è reale se $s(t) = s^*(t)$, immaginario se $s(t) = -s^*(t)$. Parte reale e immaginaria: $s_{re} = \frac{s + s^*}{2}$, $s_{im} = \frac{s - s^*}{2j}$ (qui $s = s_{re} + j\,s_{im}$ con $s_{re}$ e $s_{im}$ reali).

Simmetria hermitiana. È l'invarianza rispetto a ribaltamento e coniugio: $s$ è hermitiano se $s(t) = s^*(-t)$, antihermitiano se $s(t) = -s^*(-t)$. Scrivendo $s = s_{re} + j s_{im}$, la condizione hermitiana significa $s_{re}(t) + j s_{im}(t) = s_{re}(-t) - j s_{im}(-t)$, cioè parte reale pari e parte immaginaria dispari. È la simmetria che avranno gli spettri dei segnali reali (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

Prodotto di simmetrie (utile per area e per integrali): pari × pari = pari; dispari × dispari = pari; pari × dispari = dispari. Per esempio $t\cdot\operatorname{rect}(t)$ è dispari, quindi ha area $0$, mentre $t^2\operatorname{rect}(t)$ è pari.

Esempio 1: parte pari e dispari di $e^{-at}u(t)$ ($a>0$). Per $t > 0$ vale $e^{-at}$ e per $t<0$ vale $0$; il ribaltato vale $e^{at}$ per $t<0$ e $0$ per $t>0$. Quindi $s_e(t) = \frac12 e^{-a|t|}$ e $s_o(t) = \frac12\operatorname{sgn}(t)e^{-a|t|}$. Somma: per $t>0$ è $\frac12e^{-at} + \frac12e^{-at} = e^{-at}$ ✓, per $t<0$ è $\frac12e^{at} - \frac12e^{at} = 0$ ✓.

Esempio 2: parte reale e immaginaria di $(1+j)e^{(\sigma+j\omega)t}$. Si sviluppa $e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t$:

$$(1+j)(\cos\omega t + j\sin\omega t) = (\cos\omega t - \sin\omega t) + j(\cos\omega t + \sin\omega t).$$

Quindi $s_{re}(t) = e^{\sigma t}(\cos\omega t - \sin\omega t)$ e $s_{im}(t) = e^{\sigma t}(\cos\omega t + \sin\omega t)$.

Ripetizione periodica

Dato un segnale $x(t)$ (aperiodico) e un periodo $T_p>0$, la sua ripetizione periodica è

$$\operatorname{rep}_{T_p}x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(t - kT_p),$$

cioè copie di $x$ traslate di multipli di $T_p$ e sommate. È il modo più semplice di costruire un segnale periodico: l'onda quadra con duty cycle $d = \frac{2a}{T_p}$ è $\operatorname{rep}_{T_p}\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2a}\right)$; il coseno rettificato $|\cos(2\pi f_0t)|$ ha periodo $T_p = \frac{1}{2f_0}$ ed è la ripetizione di un arco di coseno.

Attenzione: le copie si sommano. Se $x$ è più lungo di $T_p$ le copie si sovrappongono ("aliasing nel tempo"). Esempio: $x(t) = e^{-at}u(t)$ con $a>0$. In un istante $t\in[0,T_p)$ contribuiscono la copia originale e tutte quelle che iniziano prima, cioè in $-kT_p$ con $k\ge0$: la copia che inizia in $-kT_p$ vale $x(t + kT_p) = e^{-a(t+kT_p)}$ (nell'istante $t$ ha già percorso $t + kT_p$ secondi di decadimento). Sommando la serie geometrica di ragione $e^{-aT_p}<1$:

$$\operatorname{rep}_{T_p}x(t) = \sum_{k=0}^{\infty}e^{-a(t+kT_p)} = e^{-at}\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-aT_p}\right)^k = \frac{e^{-at}}{1 - e^{-aT_p}}, \qquad 0\le t<T_p.$$

Numerico: $a = 1$, $T_p = 2$: all'inizio di ogni periodo vale $\frac{1}{1-e^{-2}} \approx 1{,}1565$ (maggiore di $x(0) = 1$ perché si somma la coda delle copie precedenti) e alla fine $\frac{e^{-2}}{1-e^{-2}}\approx 0{,}1565$.

Trasformazioni nel discreto

Per $s(n)$ valgono le stesse definizioni: ribaltamento $s(-n)$; ritardo $s(n - n_0)$ con $n_0$ intero; parte pari $\frac{s(n)+s(-n)}{2}$, ecc. La scala è diversa: $s(n/a)$ non è definita per tutti gli $n$. Si usano:

• decimazione (o sottocampionamento) $y(n) = s(Mn)$ con $M$ intero: si tengono solo un campione ogni $M$;
• interpolazione con zeri (espansione): $y(n) = s(n/L)$ se $L$ divide $n$, altrimenti $0$.

Esempio di decimazione e ritardo: $y(n) = x(3n-6) = x\big(3(n - 2)\big)$. Si prende un campione ogni 3 di $x$ e poi si ritarda di 2 il risultato; in pratica $y(n)$ guarda $x$ nelle posizioni $\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots$ per $n = 0, 1, 2, 3, 4,\ldots$ nel senso $y(2) = x(0)$, $y(3) = x(3)$, $y(1) = x(-3)$. Un'applicazione completa è in Esercizio 6 · segnali discreti con gradino quadratico, decimazione ed energia (tema d'esame settembre 2025).

Errori comuni

• Dire che $x(t - 2)$ anticipa di 2 (ritarda); $x(t+2)$ anticipa.
• Applicare scala e traslazione nell'ordine sbagliato senza correggere $t_0$: $x(2t - 4)$ si ottiene comprimendo di $2$ e traslando di $2$ (non di $4$): $x(2t - 4) = x\big(2(t-2)\big)$.
• Confondere "dispari" ($s(-t) = -s(t)$) con "hermitiana" ($s(-t) = s^*(t)$).
• Trascurare la sovrapposizione delle copie in una ripetizione periodica quando $x$ è più lungo di $T_p$.