Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali

Nei sistemi descritti da equazioni differenziali la trasformata è sempre una funzione razionale di $s$ (Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →): $$X(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{b_ms^m+\cdots+b_0}{a_ns^n+\cdots+a_0}.$$ Come si risale al segnale? Si scompone $X$ in somma di funzioni elementari, ciascuna con trasformata inversa nota (Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →). Per i sistemi causali la ROC è un semipiano destro, quindi si antitrasforma ciascun termine come segnale causale. (Più avanti: cosa cambia con altre ROC.)

Passo 1: portare a forma propria

$X$ è propria se $m<n$ (il grado del numeratore è minore di quello del denominatore). Se $m\ge n$ si fa la divisione tra polinomi: $b(s)=q(s)a(s)+r(s)$ con $\deg r<n$, e quindi $$X(s)=\underbrace{q(s)}_{\text{polinomio}}+\frac{r(s)}{a(s)}.$$ Il polinomio $q(s)=q_0+q_1s+\cdots$ corrisponde a $q_0\delta(t)+q_1\delta'(t)+\ldots$ (perché $\delta^{(k)}\leftrightarrow s^k$): sono impulsi e doppietti, che compaiono se $m\ge n$. Una funzione impropria con $m>n$ ha $h$ con derivate di $\delta$: non assolutamente integrabile, quindi instabile.

Esempio. $X(s)=\frac{s-3}{s+2}$ ($m=n=1$): $\frac{s-3}{s+2}=\frac{(s+2)-5}{s+2}=1-\frac5{s+2}$, da cui $x(t)=\delta(t)-5e^{-2t}u(t)$.

Per $m=n$ il quoziente è la costante $\frac{b_n}{a_n}$ e si ottiene un termine $\frac{b_n}{a_n}\delta(t)$; il resto si calcola con $r(s)=b(s)-\frac{b_n}{a_n}a(s)$.

Passo 2: scomposizione in fratti semplici

Sia $X$ propria. Si fattorizza il denominatore $a(s)=a_n\prod_i(s-p_i)^{\mu_i}$ (poli $p_i$ con molteplicità $\mu_i$).

Poli semplici (tutti distinti, $\mu_i=1$): $$X(s)=\sum_i\frac{A_i}{s-p_i},\qquad\boxed{A_i=\lim_{s\to p_i}(s-p_i)X(s)=\frac{b(p_i)}{a'(p_i)}.}$$ Perché il metodo dei limiti: moltiplicando entrambi i membri per $(s-p_i)$ e facendo $s\to p_i$ tutti i termini con $j\ne i$ contengono ancora il fattore $s-p_i$ e svaniscono; resta $A_i$. In pratica si "cancella" il fattore $(s-p_i)$ dal denominatore e si valuta il resto in $s=p_i$ ("ricoprire il fattore con il dito"). La trasformata inversa è $$x(t)=\sum_iA_i\,e^{p_it}u(t).$$

Esempio. $X(s)=\dfrac{1}{s^3+s^2-6s}=\dfrac{1}{s(s-2)(s+3)}$. Poli $0,2,-3$: $A_0=\frac{1}{(0-2)(0+3)}=-\frac16$, $A_2=\frac{1}{2\cdot(2+3)}=\frac1{10}$, $A_{-3}=\frac1{(-3)(-3-2)}=\frac1{15}$. Quindi $$x(t)=\left(-\frac16+\frac1{10}e^{2t}+\frac1{15}e^{-3t}\right)u(t).$$ Controllo: poiché $X\sim\frac1{s^3}$ per grandi $s$, il segnale è nullo con le sue prime due derivate in $0^+$; in particolare $x(0^+)=-\frac16+\frac1{10}+\frac1{15}=\frac{-5+3+2}{30}=0$ ✓. (Il termine $e^{2t}$ cresce: il sistema è instabile, polo in $s=2$ nel semipiano destro.)

Poli multipli. Un polo $p$ di molteplicità $\mu$ dà $\mu$ termini $$\frac{A_{1}}{s-p}+\frac{A_{2}}{(s-p)^2}+\cdots+\frac{A_{\mu}}{(s-p)^{\mu}},\qquad\frac{1}{(s-p)^k}\ \leftrightarrow\ \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}e^{pt}u(t).$$ Il coefficiente dell'ordine più alto si trova con il limite: $A_\mu=\lim_{s\to p}(s-p)^\mu X(s)$. Gli altri con la formula $A_{\mu-j}=\frac{1}{j!}\frac{d^j}{ds^j}\left[(s-p)^\mu X(s)\right]_{s=p}$, oppure (spesso più rapido) con un confronto di valori: si calcolano i coefficienti già noti con i limiti e per i mancanti si valuta l'identità in valori di $s$ scelti, o si usa il comportamento per $s\to\infty$.

Esempio con polo doppio. $X(s)=\dfrac{4s-1}{2s^3-2s^2}=\dfrac{4s-1}{2s^2(s-1)}$. Poli: $0$ (doppio) e $1$. Si scrive $X=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-1}$.

• $B=\lim_{s\to0}s^2X=\frac{4\cdot0-1}{2(0-1)}=\frac{-1}{-2}=\frac12$.
• $C=\lim_{s\to1}(s-1)X=\frac{4-1}{2\cdot1}=\frac32$.
• Per $A$ (il coefficiente del polo doppio non si trova con un limite diretto: $\lim s\,X$ non esiste in $s=0$) si usa il comportamento all'infinito: $X(s)\sim\frac{4s}{2s^3}=\frac2{s^2}$ cioè $sX(s)\to0$, mentre $sX=A+\frac Bs+\frac{Cs}{s-1}\to A+C$. Quindi $A=-C=-\frac32$.

Si ottiene $X=-\frac3{2s}+\frac1{2s^2}+\frac{3}{2(s-1)}$ e $$x(t)=\left(-\frac32+\frac t2+\frac32e^{t}\right)u(t).$$ Controllo in $t=0$: $x(0^+)=-\frac32+\frac32=0$ ✓ (perché $X\sim\frac2{s^2}$ e quindi $x'(0^+)=2$: derivata $\frac12+\frac32=2$ ✓). Verificato con calcolo simbolico.

Poli complessi coniugati. Se $a(s)$ ha coefficienti reali, i poli complessi vengono in coppia $\sigma\pm j\omega$. Invece di usare esponenziali complessi, conviene raggruppare i due termini in un fratto con denominatore $(s-\sigma)^2+\omega^2$ e numeratore lineare, scritto nella forma della tabella: $$\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}\ \leftrightarrow\ e^{\sigma t}\left[A\cos\omega t+B\sin\omega t\right]u(t).$$ I coefficienti reali $A,B$ si trovano con l'identità dei polinomi dopo aver calcolato con i limiti i coefficienti dei poli reali.

Alternativa con i residui complessi: se $c=\lim_{s\to p}(s-p)X(s)$ con $p=\sigma+j\omega$, la coppia di termini $\frac{c}{s-p}+\frac{c^*}{s-p^*}$ dà $2\,\mathrm{Re}[c\,e^{pt}]=2|c|e^{\sigma t}\cos(\omega t+\arg c)$ (per $X$ con coefficienti reali).

Esempio (tema d'esame giugno 2023). $Y(s)=\dfrac{(s-3)s}{(s+2)(s+3)(s^2+9)}$, con poli $-2$, $-3$, $\pm3j$. Si pone $$Y(s)=\frac{A_1}{s+2}+\frac{A_2}{s+3}+\frac{A_3s+3A_4}{s^2+9}\qquad(\sigma=0,\ \omega=3).$$ Poli reali, metodo dei limiti: $A_1=\frac{(s-3)s}{(s+3)(s^2+9)}\Big|_{s=-2}=\frac{(-5)(-2)}{1\cdot13}=\frac{10}{13}$; $A_2=\frac{(s-3)s}{(s+2)(s^2+9)}\Big|_{s=-3}=\frac{(-6)(-3)}{(-1)\cdot18}=-1$. Per $A_3,A_4$ si impone l'uguaglianza tra la forma originale e quella scomposta in due valori di $s$ che non sono poli: in $s=0$ il primo membro vale $0$ (numeratore nullo): $\frac{10/13}{2}-\frac13+\frac{3A_4}{9}=0\Rightarrow\frac5{13}-\frac13+\frac{A_4}3=0\Rightarrow A_4=-3\left(\frac5{13}-\frac13\right)=-\frac{2}{13}$. In $s=3$ il primo membro vale $0$: $\frac{10/13}{5}-\frac{1}{6}+\frac{3A_3+3A_4}{18}=0\Rightarrow A_3=\frac3{13}$. Quindi $$y(t)=\frac1{13}\left[10e^{-2t}-13e^{-3t}+3\cos3t-2\sin3t\right]u(t).$$ Con i residui complessi: $c=\lim_{s\to3j}(s-3j)Y(s)=\frac{3}{26}+\frac j{13}$, $2|c|=\frac{\sqrt{13}}{13}\approx0{,}277$ e $\arg c\approx0{,}588$: la componente è $0{,}277\cos(3t+0{,}588)$, che è $\frac{3\cos3t-2\sin3t}{13}$ ✓ (coefficienti e antitrasformata verificati con calcolo simbolico).

Esempio con grado uguale (tema d'esame giugno 2025). $H(s)=\dfrac{s^2+5s+4}{s^2+2s+10}$ ($m=n=2$). Divisione: $s^2+5s+4=(s^2+2s+10)+(3s-6)$, quindi $H=1+\dfrac{3(s-2)}{s^2+2s+10}$. Il denominatore ha radici $-1\pm3j$, quindi $s^2+2s+10=(s+1)^2+9$ ($\sigma=-1$, $\omega=3$). Si riscrive il numeratore $s-2=(s+1)-3$, cioè in forma $A(s-\sigma)+B\omega$ con $A(s+1)+3B$: $A=1$, $3B=-3\Rightarrow B=-1$. Quindi $$h(t)=\delta(t)+3e^{-t}\left[\cos3t-\sin3t\right]u(t).$$ L'impulso $\delta$ è presente perché $m=n$. Il sistema è stabile (poli con parte reale $-1$) e $h\in L^1$.

ROC e segnali non causali

La causalità è stata imposta dalla ROC. In generale la ROC contiene tutte le Re di una striscia tra due poli consecutivi (in ordine di parte reale): i poli a sinistra della ROC corrispondono a termini causali ($e^{pt}u(t)$), quelli a destra a termini anticausali ($-e^{pt}u(-t)$).

Esempio. $X(s)=\dfrac1{(s+1)(s-2)}=\dfrac13\left[\dfrac1{s-2}-\dfrac1{s+1}\right]$ (poli $-1$ e $2$).

Nella striscia centrale $-1<\mathrm{Re}\,s<2$ il polo $-1$ è a sinistra della ROC (termine causale: $-\frac13\cdot\frac1{s+1}\leftrightarrow-\frac13e^{-t}u(t)$) e il polo $2$ è a destra (termine anticausale: $\frac13\cdot\frac1{s-2}\leftrightarrow-\frac13e^{2t}u(-t)$). Solo il segnale della striscia che contiene l'asse immaginario ha trasformata di Fourier.

La procedura in sintesi

1. Controlla il grado: se $m\ge n$, dividi e separa i termini $\delta^{(k)}$.
2. Fattorizza il denominatore e individua poli reali semplici, multipli, complessi coniugati.
3. Scrivi la forma con i coefficienti incogniti (un termine per ogni polo, $\mu$ per un polo di molteplicità $\mu$, la forma $\frac{As+B'}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ per le coppie).
4. Calcola i coefficienti con i limiti; i mancanti con l'identità dei polinomi o valori di prova.
5. Antitrasforma con la tabella e la ROC (causale/anticausale).
6. Controlla: valore in $0^+$, forma per $t\to\infty$ (poli a parte reale negativa $\Rightarrow$ decade), e che l'uscita sia reale.

Errori comuni

• Non fare la divisione quando $m\ge n$ e scrivere solo fratti semplici (si perde la $\delta$).
• Per un polo doppio, scrivere solo $\frac A{s-p}$ senza $\frac{B}{(s-p)^2}$.
• Usare il metodo dei limiti per il coefficiente di un polo multiplo di ordine non massimo.
• Lasciare esponenziali complessi per coppie di poli di un sistema reale.
• Antitrasformare come causale con una ROC che non lo è.