Trasformata Z ed equazioni alle differenze

Nei sistemi a tempo discreto gli stessi problemi risolti da Laplace per le equazioni differenziali (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →) si risolvono con la trasformata Z. Questa nota è un richiamo sintetico ("cenni" nel programma): si ripercorrono le idee con le differenze che contano.

Definizione e regione di convergenza

$$X(z)=\mathcal Z[x](z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)\,z^{-n},\qquad z\in\mathbb C.$$ Scrivendo $z=r\,e^{j\omega}$ (modulo $r$, fase $\omega$): $X(re^{j\omega})=\sum_n\left[x(n)r^{-n}\right]e^{-j\omega n}$ è la TFtd del segnale smorzato $x(n)r^{-n}$ (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →): il ruolo della striscia verticale di Laplace è preso da una corona circolare $R_1<|z|<R_2$ (dipende solo da $|z|$). Per $r=1$, cioè $z=e^{j\omega}$ (il cerchio unitario), si ritrova la TFtd: $X(e^{j\omega})$ esiste se la ROC contiene il cerchio unitario.

ROC e causalità. Segnale causale ($x(n)=0$ per $n<0$): ROC l'esterno di un cerchio, $|z|>R_1$ (al crescere di $|z|$ i termini $z^{-n}$ decadono). Anticausale: l'interno di un cerchio, $|z|<R_2$. Bilatero: una corona.

Trasformate notevoli

Esponenziale causale. $x(n)=p^nu(n)$ ($p\in\mathbb C$): $X(z)=\sum_{n\ge0}\left(pz^{-1}\right)^n=\frac{1}{1-pz^{-1}}=\frac{z}{z-p}$, convergente se $|pz^{-1}|<1$, cioè $|z|>|p|$: $$p^nu(n)\leftrightarrow\frac1{1-pz^{-1}},\quad|z|>|p|.$$ Esponenziale anticausale. $x(n)=-p^nu(-n-1)$: $X(z)=-\sum_{n\le-1}p^nz^{-n}=-\sum_{m\ge1}\left(p^{-1}z\right)^m=-\frac{p^{-1}z}{1-p^{-1}z}=\frac{1}{1-pz^{-1}}$, per $|p^{-1}z|<1$, cioè $|z|<|p|$. Stessa espressione, ROC opposta: serve sempre la ROC (come per Laplace).

Altre coppie (causali, $|z|>\ldots$): $\delta(n)\leftrightarrow1$ (tutto $\mathbb C$); $u(n)\leftrightarrow\frac1{1-z^{-1}}$ ($|z|>1$); $n\,p^nu(n)\leftrightarrow\frac{pz^{-1}}{(1-pz^{-1})^2}$; $\cos(\omega_0n)u(n)\leftrightarrow\frac{1-\cos\omega_0\,z^{-1}}{1-2\cos\omega_0\,z^{-1}+z^{-2}}$; $\sin(\omega_0n)u(n)\leftrightarrow\frac{\sin\omega_0\,z^{-1}}{1-2\cos\omega_0\,z^{-1}+z^{-2}}$ ($|z|>1$). I poli di $\cos(\omega_0n)u(n)$ sono $e^{\pm j\omega_0}$ (sul cerchio unitario).

Proprietà

Il ritardo di un campione è moltiplicare per $z^{-1}$: il blocco $z^{-1}$ nei diagrammi è un elemento di memoria. Le dimostrazioni sono le solite con un cambio di indice (per esempio, ritardo: $\sum x(n-n_0)z^{-n}=\sum x(m)z^{-m-n_0}=z^{-n_0}X$).

Versione unilatera (per i segnali causali e i problemi con stato iniziale): $X(z)=\sum_{n\ge0}x(n)z^{-n}$. Il ritardo introduce i valori iniziali: $$\mathcal Z_u[x(n-1)]=z^{-1}X(z)+x(-1),\qquad\mathcal Z_u[x(n-2)]=z^{-2}X(z)+z^{-1}x(-1)+x(-2).$$ (Il termine $x(-1)$ è il campione che il ritardo "fa entrare" a $n=0$.)

Equazioni alle differenze

Un sistema LTI discreto causale descritto da $$\sum_{k=0}^{N}a_k\,y(n-k)=\sum_{k=0}^{M}b_k\,x(n-k),\qquad a_0\ne0,$$ è un'equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti: l'uscita attuale si calcola dagli ingressi recenti e dalle uscite passate, $$y(n)=\frac1{a_0}\left[\sum_{k=0}^Mb_kx(n-k)-\sum_{k=1}^Na_ky(n-k)\right].$$ Se $a_k=0$ per $k\ge1$ il sistema è FIR (risposta impulsiva finita: solo gli ingressi, come $y(n)=x(n)-x(n-2)$, sempre stabile); altrimenti è IIR (risposta impulsiva infinita, struttura con retroazione). Il modello generale è detto ARMA (auto-regressive moving-average): la parte $a_k$ è la retroazione.

Con stato iniziale nullo e trasformando: $A(z^{-1})Y=B(z^{-1})X$, quindi $$\boxed{H(z)=\frac{\sum_{k=0}^Mb_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^Na_kz^{-k}},\qquad h(n)=\mathcal Z^{-1}[H].}$$ Con le condizioni iniziali si trasforma l'equazione con le regole del ritardo unilatero e si ottiene, come per Laplace, $Y=\underbrace{HX}_{\text{forzata}}+\underbrace{\ldots}_{\text{libera}}$.

I poli di $H(z)$ sono le radici in $z$ dell'equazione $\sum a_kz^{N-k}=0$ (si moltiplica per $z^N$).

Stabilità

Un sistema discreto causale con $H(z)$ razionale è BIBO stabile $\iff$ tutti i poli (dopo semplificazioni) hanno modulo minore di 1: $|p_i|<1$ (stanno dentro il cerchio unitario).

Perché. Un polo $p$ dà il modo $p^nu(n)$, che è sommabile $\iff|p|<1$ (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →). Equivalentemente la ROC $|z|>\max|p_i|$ contiene il cerchio unitario. La condizione sostituisce "$\mathrm{Re}\,p<0$" di Laplace (il semipiano sinistro è sostituito dal disco unitario). Poli sul cerchio unitario (modulo $1$): sistema non stabile ($u(n)$, $\cos\omega_0n$ non sono sommabili).

Esempi

1. Il sistema del primo ordine. $y(n)-\frac12y(n-1)=x(n)$: $H=\frac1{1-\frac12z^{-1}}$, $h(n)=\left(\frac12\right)^nu(n)$, polo $\frac12$ dentro il cerchio unitario: stabile. Da qui la realizzazione del tema d'esame di febbraio 2023 (Esercizio 8 · sistema anticausale e filtro passa-tutto (tema d'esame febbraio 2023)): il sistema causale $y(n)-\frac12y(n-1)=x(n)$ ha $|H|=2\,|H_1|$, dove $H_1=\frac1{1-2e^{-j\omega}}$ è la risposta del filtro anticausale $h_1=-2^nu(-n-1)$: stessa forma della risposta in ampiezza (a meno del fattore $2$), ma causale e quindi realizzabile.

2. Un secondo ordine con ingresso gradino (tema d'esame; equazione $x(n)=y(n-2)+y(n-1)-6y(n)$). Ordinando: $-6y(n)+y(n-1)+y(n-2)=x(n)$. Funzione di trasferimento con stato nullo: $$H(z)=\frac{1}{-6+z^{-1}+z^{-2}}=-\frac{1}{(2-z^{-1})(3+z^{-1})}=-\frac1{6}\cdot\frac1{\left(1-\frac12z^{-1}\right)\left(1+\frac13z^{-1}\right)}.$$ (Con $w=z^{-1}$: $6-w-w^2=(2-w)(3+w)$.) Poli: $z=\frac12$ e $z=-\frac13$ (le radici di $6z^2-z-1=0$), entrambi dentro il cerchio unitario: stabile. Risposta impulsiva: dai fratti $\frac1{(1-\frac12w)(1+\frac13w)}=\frac{3/5}{1-\frac12w}+\frac{2/5}{1+\frac13w}$, $$h(n)=-\frac1{10}\left(\frac12\right)^nu(n)-\frac1{15}\left(-\frac13\right)^nu(n).$$ Con $x(n)=A\,u(n)$ ($X=\frac{A}{1-z^{-1}}$) e stato nullo, la scomposizione di $Y_f=HX$ dà $$y_f(n)=-A\left[\frac14-\frac1{10}\left(\frac12\right)^n+\frac1{60}\left(-\frac13\right)^n\right]u(n).$$ Il regime permanente è $-\frac A4=H(1)\cdot A$ (con $H(z=1)=\frac1{-6+1+1}=-\frac14$): il transitorio decade con i poli. (Risposta impulsiva e risposta al gradino verificate eseguendo la ricorsione $y(n)=\frac{y(n-1)+y(n-2)-x(n)}6$.) Con condizioni iniziali $y(-1)=k_1$, $y(-2)=k_2$ le regole del ritardo unilatero danno $Y(-6+z^{-1}+z^{-2})=X-k_1-k_2-k_1z^{-1}$: l'evoluzione libera ha gli stessi poli.

3. Poli sul cerchio unitario (tema d'esame 2024, Esercizio 25 · equazione alle differenze e trasformata Z (tema d'esame 2024)). $y(n)-y(n-2)=3x(n)+x(n-1)$: $H=\frac{3+z^{-1}}{1-z^{-2}}$ con poli $\pm1$ (modulo 1): non stabile.

Errori comuni

• Calcolare i poli nella variabile sbagliata: da $1-\frac12z^{-1}=0$ si ottiene $z=\frac12$ (dentro il cerchio unitario), non $z^{-1}=\frac12$ cioè $z=2$.
• Usare la condizione $\mathrm{Re}\,p<0$ nel discreto.
• Dimenticare la ROC: $\frac1{1-pz^{-1}}$ è sia $p^nu(n)$ ($|z|>|p|$) sia $-p^nu(-n-1)$ ($|z|<|p|$).
• Dimenticare i valori iniziali $y(-1),y(-2)$ nel ritardo unilatero.