Esercizio 14segnale periodico determinato da condizioni sui coefficienti (tema d'esame aprile 2024)

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Teoria usata: Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →, Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →.

Strategia

Il segnale è quasi interamente determinato dai suoi coefficienti $a_k$ (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →): per la condizione 5 sono al più cinque ($k=-2,\ldots,2$). Ogni condizione fissa uno o più coefficienti o una relazione tra loro. Si traducono quindi le sei condizioni nel linguaggio dei coefficienti, una per volta.

Passo 1: pulsazione e simmetrie

• Condizione 1: periodo $T=2$, quindi $\omega_0=\frac{2\pi}2=\pi$.
• Condizione 2: $x$ reale ⇒ $a_{-k}=a_k^*$; $x$ pari ⇒ $a_{-k}=a_k$. Insieme: $a_k=a_k^*$ (reale) e $a_k=a_{-k}$ (pari): $a_k$ reale e pari.

Passo 2: il valor medio

Condizione 3: $\frac1T\int_0^Tx\,dt=\frac12\int_0^2x\,dt$ è proprio il valor medio $a_0$ (la formula di analisi con $k=0$). Quindi $a_0=-1$.

Con la condizione 5 e i risultati precedenti: $$a_k=\begin{cases}-1&k=0\\a_1&k=\pm1\\a_2&k=\pm2\\0&|k|>2\end{cases}\qquad\text{con }a_1,a_2\in\mathbb R.$$

Passo 3: la derivata

La derivata $y=x'$ ha coefficienti $b_k=jk\omega_0\,a_k=jk\pi\,a_k$ (regola di derivazione, Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →). Per $k=2$: $$b_2=j\cdot2\pi\cdot a_2=j2\pi\ \Longrightarrow\ a_2=1.$$ (Per $k=-2$: $b_{-2}=j(-2)\pi\,a_{-2}=-j2\pi\,a_2$, coerente con $b_{-2}=-j2\pi$ se $a_2=1$ ✓.) Il segnale $x$ è reale e pari, quindi $b_k$ è immaginario e dispari ✓ (coerente con $b_{\pm2}=\pm j2\pi$).

Passo 4: la potenza (Parseval)

La condizione 4 è $\frac1T\int_T|x|^2dt=\frac12\int_{-1}^1|x|^2dt=P_x=11$, la potenza. Per il teorema di Parseval $P_x=\sum_k|a_k|^2$: $$11=\underbrace{|a_0|^2}_{=1}+\underbrace{|a_{-1}|^2+|a_1|^2}_{=2a_1^2}+\underbrace{|a_{-2}|^2+|a_2|^2}_{=1+1=2}=1+2a_1^2+2.$$ Si sommano tutti i $k$ da $-2$ a $2$, quindi ogni coppia $\pm k$ conta due volte. Perciò $$11=3+2a_1^2\ \Longrightarrow\ a_1^2=4\ \Longrightarrow\ a_1=\pm2.$$

Passo 5: la sintesi

Con $a_0=-1$, $a_{\pm1}=a_1=\pm2$, $a_{\pm2}=1$: $$x(t)=-1+a_1\left(e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}\right)+\left(e^{j2\pi t}+e^{-j2\pi t}\right)=-1\pm4\cos(\pi t)+2\cos(2\pi t).$$

$$\boxed{x(t)=-1+4\cos(\pi t)+2\cos(2\pi t)\quad\text{oppure}\quad x(t)=-1-4\cos(\pi t)+2\cos(2\pi t).}$$ Ci sono due segnali che soddisfano le condizioni: sono distinti dal segno di $a_1$, che nessuna condizione fissa (la potenza dà solo $a_1^2$).

Controlli

• Valor medio: il termine costante è $-1$ ✓ (cosinusoidi a media nulla).
• Potenza: $P=(-1)^2+\frac{4^2}2+\frac{2^2}2=1+8+2=11$ ✓ (la potenza di una sinusoide $A\cos$ è $\frac{A^2}2$).
• Derivata: $x'(t)=\mp4\pi\sin(\pi t)-4\pi\sin(2\pi t)$. Il termine alla pulsazione $2\pi$ è $-4\pi\sin(2\pi t)=-4\pi\frac{e^{j2\pi t}-e^{-j2\pi t}}{2j}=2\pi j\,e^{j2\pi t}-2\pi j\,e^{-j2\pi t}$ (perché $-\frac{4\pi}{2j}=2\pi j$): coefficienti $b_2=j2\pi$ e $b_{-2}=-j2\pi$ ✓.
• Reale e pari: somma di costante e coseni ✓; periodo $2$: $\cos(\pi t)$ e $\cos(2\pi t)$ hanno periodi $2$ e $1$ ✓.

Errori comuni

• Dimenticare che il fattore $\frac12$ nelle condizioni 3 e 4 le trasforma in media e potenza: senza di esso si confonde l'area con $a_0$ (qui l'integrale $\int_0^2x\,dt$ vale $-2$, mentre $a_0=-1$).
• Contare una sola volta i coefficienti $\pm1$ e $\pm2$ in Parseval: la somma va su tutti i $k$, quindi ogni coppia $\pm k$ si conta due volte.
• Perdere la seconda soluzione ($a_1=-2$).
• Usare $b_k=jka_k$ senza il fattore $\omega_0=\pi$.