Esercizio 13onda quadra attraverso un filtro passa-basso ideale (tema d'esame febbraio 2026)

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Teoria usata: Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoliCoefficienti di Fourier dei segnali periodici più frequenti: costante e sinusoidi (si leggono con Eulero), pettine ($a_k=1/T$), onda quadra con duty cycle $d$ ($a_k=d,\operatorname{sinc}(kd)$), coseno rettificato, dente di sega e onda triangolare. Utile anche il trucco della derivata: $a_k=b_k/(jk\omega_0)$ dove $b_k$ sono i coefficienti di $x'$.Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli →, Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →, Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →.

(1) Il segnale

$\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)$ vale $1$ per $|t|<1$ (durata $2$). Si ripete ogni $4$: impulsi di ampiezza $1$ e durata $2$ centrati in $0,\pm4,\pm8,\ldots$, uno ogni $4$ secondi, con intervalli nulli di durata $2$ tra uno e l'altro. È un'onda quadra con duty cycle $d=\frac24=\frac12$: segnale $1$ per metà periodo e $0$ per l'altra metà, di valor medio $\frac12$ e potenza $P_x=\frac12$.

(2) Il filtro

$H(\omega)=\operatorname{rect}\left(\frac\omega7\right)$ vale $1$ per $|\omega|<\frac72$ e $0$ fuori: passa-basso ideale con pulsazione di taglio $\omega_c=\frac72$ (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →). La risposta impulsiva si ottiene con l'antitrasformata. Dalla coppia $\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{rect}\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)$: si pone $\frac T{2\pi}=\frac17$, $T=\frac{2\pi}7$; la costante moltiplicativa è $\frac1T=\frac7{2\pi}$: $$h(t)=\frac7{2\pi}\operatorname{sinc}\left(\frac{7t}{2\pi}\right)=\frac{\sin\left(\frac72t\right)}{\pi t}.$$ (Lo stesso risultato si ottiene dall'integrale: $h=\frac1{2\pi}\int_{-7/2}^{7/2}e^{j\omega t}d\omega=\frac1{2\pi}\cdot\frac{e^{j\frac72t}-e^{-j\frac72t}}{jt}=\frac{\sin(7t/2)}{\pi t}$.)

• Causalità: $h$ è non nulla anche per $t<0$ ($\operatorname{sinc}$ è pari): non causale.
• Stabilità: $\operatorname{sinc}\notin L^1$ ($\int|h|=\infty$): non BIBO stabile. Lo si vede anche perché $H$ è discontinua: se $h\in L^1$ la sua TF sarebbe continua.

(3) I coefficienti di Fourier

Pulsazione fondamentale: $\omega_0=\frac{2\pi}T=\frac{2\pi}4=\frac\pi2$ rad/s. Coefficienti (Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoliCoefficienti di Fourier dei segnali periodici più frequenti: costante e sinusoidi (si leggono con Eulero), pettine ($a_k=1/T$), onda quadra con duty cycle $d$ ($a_k=d,\operatorname{sinc}(kd)$), coseno rettificato, dente di sega e onda triangolare. Utile anche il trucco della derivata: $a_k=b_k/(jk\omega_0)$ dove $b_k$ sono i coefficienti di $x'$.Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli →): onda quadra con $T=4$ e semi-durata $a=1$: $$a_k=\frac1T\int_{-1}^{1}e^{-jk\omega_0t}dt=\frac14\cdot\frac{2\sin(k\pi/2)}{k\pi/2}=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right)\quad\text{(anche per }k=0\text{: }a_0=\tfrac12).$$ Valori: $a_0=\frac12$, $a_{\pm1}=\frac12\cdot\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac1\pi$, $a_{\pm2}=0$ (le armoniche pari non nulle sono assenti: $\sin(\pi)=0$), $a_{\pm3}=-\frac1{3\pi}$, $a_{\pm4}=0$, $a_{\pm5}=\frac1{5\pi}$.

(4) Armoniche che passano e uscita

I coefficienti dell'uscita sono $b_k=H(k\omega_0)\,a_k=\operatorname{rect}\left(\frac{k\pi/2}7\right)a_k$ (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →). La $k$-esima armonica ha pulsazione $|k|\frac\pi2$; passa se $|k|\frac\pi2<\frac72$, cioè $|k|<\frac7\pi\approx2{,}23$: $k=0,\pm1,\pm2$. Le armoniche $|k|\ge3$ (a pulsazione $\ge\frac{3\pi}2\approx4{,}71>3{,}5$) sono tagliate. Dunque $$b_0=a_0\cdot1=\frac12,\qquad b_{\pm1}=a_{\pm1}\cdot1=\frac1\pi,\qquad b_{\pm2}=a_{\pm2}\cdot1=0,\qquad b_k=0\ (|k|\ge3).$$ L'armonica $k=\pm2$ passerebbe (pulsazione $\pi<3{,}5$) ma $a_{\pm2}=0$. Per sintesi: $$y(t)=\frac12+\frac1\pi e^{j\frac\pi2t}+\frac1\pi e^{-j\frac\pi2t}=\frac12+\frac2\pi\cos\left(\frac\pi2t\right).$$ Il filtro tiene la componente continua e la fondamentale e lascia un coseno: l'onda quadra "si arrotonda" in una sinusoide attorno al valor medio. La potenza in uscita è $P_y=b_0^2+2b_1^2=\frac14+\frac2{\pi^2}\approx0{,}4526$ (il $90{,}5\%$ di $P_x=\frac12$): quasi tutta la potenza dell'onda quadra è nella continua e nella fondamentale. (Verificato filtrando in frequenza, con la FFT, un'onda quadra campionata su $64$ periodi: l'uscita differisce da $\frac12+\frac2\pi\cos\frac\pi2t$ per meno di $6\cdot10^{-3}$, errore dovuto alla discretizzazione dei fronti.)

(5) Ricostruzione dai campioni

• $x$: l'onda quadra ha armoniche non nulle a frequenze arbitrariamente alte (le armoniche dispari a ogni $k$, con $a_k\sim\frac1k$): banda illimitata. Non è possibile ricostruirla esattamente da campioni, a qualsiasi frequenza (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).
• $y$: è una costante più un coseno di pulsazione $\omega_{\max}=\frac\pi2$, cioè frequenza $f_{\max}=\frac{\omega_{\max}}{2\pi}=\frac14$ Hz: banda limitata, quindi ricostruibile. Il criterio di Nyquist dà $F_c>2f_{\max}=\frac12$ Hz, cioè un passo $T_c<\frac\pi{\omega_{\max}}=2$ s. La minima frequenza di campionamento (come limite, al bordo) è $F_c=\frac12$ Hz, passo massimo $2$ s. (A rigore, con il coseno esattamente al bordo e fase generica servirebbe $F_c>\frac12$.)

Errori comuni

• Usare $T=2$ come periodo (è la durata dell'impulso, il periodo è $4$).
• Dimenticare che $\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right)$ ha zeri per $k$ pari non nullo, e scrivere $b_{\pm2}\ne0$.
• Prendere $\omega_c=7$ invece di $\frac72$: $\operatorname{rect}\left(\frac\omega7\right)$ ha semi-larghezza $\frac72$.
• Dire che il filtro è stabile perché "limita la banda".
• Dimenticare di moltiplicare per $2$ la parte reale della coppia $\pm1$: $2\cdot\frac1\pi\cos\left(\frac\pi2t\right)$.