Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico

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Siano $x(t)$ e $y(t)$ periodici di periodo $T$ con coefficienti $a_k$ e $b_k$ ( $\omega_0=2\pi/T$ ). Le proprietà si dimostrano tutte con la formula di analisi $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$ (Serie di Fourier - analisi e sintesi).

Le proprietà

Operazione sul segnale	Effetto sui coefficienti
linearità $\alpha x+\beta y$	$\alpha a_k+\beta b_k$
ribaltamento $x(-t)$	$a_{-k}$
coniugio $x^*(t)$	$a_{-k}^*$
ritardo $x(t-t_1)$	$a_k\,e^{-jk\omega_0t_1}$
modulazione $x(t)e^{jm\omega_0t}$	$a_{k-m}$
derivata $x'(t)$	$jk\omega_0\,a_k$
prodotto $x(t)y(t)$	$\sum_ma_mb_{k-m}$ (convoluzione discreta)
convoluzione periodica $\int_Tx(u)y(t-u)du$	$T\,a_kb_k$

Dimostrazioni brevi.

Ribaltamento. $\frac1T\int x(-t)e^{-jk\omega_0t}dt$ ; con $u=-t$ diventa $\frac1T\int x(u)e^{+jk\omega_0u}du=a_{-k}$ .
Coniugio. $\frac1T\int x^*(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\left[\frac1T\int x(t)e^{+jk\omega_0t}dt\right]^*=a_{-k}^*$ .
Ritardo. Con $u=t-t_1$ : $\frac1T\int x(u)e^{-jk\omega_0(u+t_1)}du=e^{-jk\omega_0t_1}a_k$ . Un ritardo non cambia $|a_k|$ ma sfasa linearmente in $k$ : ogni armonica è ritardata dello stesso tempo $t_1$ .
Modulazione. $\frac1T\int x(t)e^{jm\omega_0t}e^{-jk\omega_0t}dt=\frac1T\int x(t)e^{-j(k-m)\omega_0t}dt=a_{k-m}$ . Moltiplicare per $e^{jm\omega_0t}$ trasla lo spettro di $m$ righe. Con un coseno, $x(t)\cos(m\omega_0t)=\frac12x e^{jm\omega_0t}+\frac12xe^{-jm\omega_0t}$ ha coefficienti $\frac12(a_{k-m}+a_{k+m})$ (e con un seno, $\frac1{2j}(a_{k-m}-a_{k+m})$ ). Traslazione e modulazione sono operazioni duali.
Derivata. $x'=\sum_ajk\omega_0\,a_ke^{jk\omega_0t}$ derivando termine a termine la sintesi: ogni armonica è moltiplicata per $jk\omega_0$ (le armoniche alte, più "veloci", sono amplificate; il valor medio sparisce).
Prodotto. $x\,y=\sum_m\sum_na_mb_ne^{j(m+n)\omega_0t}$ ; il coefficiente di $e^{jk\omega_0t}$ è $\sum_{m+n=k}a_mb_n=\sum_ma_mb_{k-m}$ .
Convoluzione periodica. $(x\circledast y)(t)=\int_Tx(u)y(t-u)du$ ; usando la sintesi di $x$ e di $y$ e l'ortogonalità si ottiene $T\,a_kb_k$ . Il prodotto in frequenza corrisponde alla convoluzione nel tempo. L'elemento neutro è il pettine, che ha $a_k=\frac1T$ per ogni $k$ (infatti $T\cdot\frac1Tb_k=b_k$ ).

Valor medio, potenza e Parseval

Il valor medio è $a_0$ . La potenza si calcola dai coefficienti:

$P_x=\frac1T\int_T|x(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|a_k|^2\qquad\text{(teorema di Parseval)}.$

Perché. $\frac1T\int|x|^2=\langle x,x\rangle$ è il prodotto interno di $x$ con sé stesso, e in una base ortonormale è la somma dei quadrati dei coefficienti (come il teorema di Pitagora). La potenza è la somma delle potenze di ciascuna armonica: non ci sono termini misti, perché le armoniche sono ortogonali. Per un segnale reale $P=a_0^2+2\sum_{k\ge1}|a_k|^2$ .

Esempio (onda quadra). $a_k=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right)$ , $P=\frac12$ come visto in Serie di Fourier - analisi e sintesi. Con soltanto le prime armoniche si ottiene una buona stima della potenza: $a_0^2+2a_1^2=\frac14+\frac{2}{\pi^2}\approx0{,}4526$ (il $90{,}5\%$ di $\frac12$ ), con $a_3$ : $+\frac2{9\pi^2}\approx0{,}0225$ , cioè $0{,}4751$ ( $95\%$ ).

Simmetrie dei coefficienti

Segnale	Coefficienti
reale	hermitiani: $a_{-k}=a_k^*$
pari $x(t)=x(-t)$	pari: $a_k=a_{-k}$
dispari	dispari: $a_k=-a_{-k}$
reale e pari	reali e pari
reale e dispari	immaginari puri e dispari

Si ricavano dalle proprietà di ribaltamento e coniugio. Esempio: il dente di sega ( $t$ su $(-1,1)$ ) è reale e dispari e ha $a_k=\frac{j(-1)^k}{k\pi}$ , immaginario e dispari ✓. L'onda quadra pari ha coefficienti reali e pari ✓.

Esempio d'esame di sintesi (giochi di simmetrie). Si sa che $x$ è reale e dispari, periodico di periodo $T_p=2$ , con $a_k=0$ per $|k|>1$ e potenza $P=1$ . Si cerca $x$ . Essendo reale e dispari, $a_0=0$ e $a_{\pm1}=\pm jc$ con $c$ reale ( $a_{-1}=-a_1$ e $a_{-1}=a_1^*$ implicano $a_1$ immaginario). Parseval: $P=2|a_1|^2=2c^2=1$ , quindi $c=\pm\frac1{\sqrt2}$ . La sintesi dà $x(t)=jc\,e^{j\pi t}-jc\,e^{-j\pi t}=-2c\sin(\pi t)=\mp\sqrt2\sin(\pi t)$ (due soluzioni).

Cambio di periodo

Lo stesso segnale può essere visto con un periodo $T'=NT$ multiplo di quello minimo. La pulsazione di riferimento diventa $\omega_0'=\frac{\omega_0}N$ e i coefficienti $a'_k$ sono nulli tranne quando $k$ è multiplo di $N$ : $a'_k=\begin{cases}a_{k/N}&k\text{ multiplo di }N\\0&\text{altrimenti}\end{cases}$ (si "intercalano $N-1$ zeri" tra i coefficienti). Il valor medio e la potenza non cambiano. Per questo è importante usare il periodo minimo, ma un periodo non minimo non è un errore.

Sistemi LTI con ingresso periodico

Sia $S$ un sistema LTI BIBO stabile con risposta in frequenza $H(\omega)$ e ingresso periodico $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ . Per linearità e perché $e^{jk\omega_0t}\to H(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}$ (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale):

$y(t)=\sum_ka_k\,H(k\omega_0)\,e^{jk\omega_0t}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b_k=H(k\omega_0)\,a_k.}$

L'uscita è periodica con lo stesso periodo, e ogni armonica è moltiplicata per il valore di $H$ alla sua pulsazione. (Corrisponde alla regola sulla convoluzione: un'ingresso periodico filtrato è la convoluzione aperiodica $h*x$ , che è periodica per Calcolo della convoluzione e sue proprietà.) La potenza in uscita è $P_y=\sum_k|H(k\omega_0)|^2|a_k|^2$ .

Esempio 1: tutte le armoniche tagliate tranne una (tema d'esame gennaio 2024). $h(t)=\frac12\operatorname{rect}\left(\frac{t-1}2\right)$ , $H(\omega)=\operatorname{sinc}\left(\frac\omega\pi\right)e^{-j\omega}$ (zeri in $\omega=k\pi$ , $k\ne0$ ). Ingresso $w(t)=\operatorname{rep}_2\left[\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)(1-t^2)\right]$ di periodo $2$ , quindi $\omega_0=\pi$ . $H(k\omega_0)=H(k\pi)=\operatorname{sinc}(k)e^{-jk\pi}=0$ per $k\ne0$ e $H(0)=1$ . Quindi $b_k=0$ per $k\ne0$ e $b_0=a_0$ : l'uscita è la costante $a_0$ , il valor medio dell'ingresso: $a_0=\frac12\int_{-1}^1(1-t^2)dt=\frac12\left[2-\frac23\right]=\frac23$ . Dettagli in Esercizio 10 · ingressi periodici e zeri della risposta in frequenza (tema d'esame gennaio 2024).

Esempio 2: filtro RC e onda quadra. $H(\omega)=\frac1{1+j\omega}$ e ingresso onda quadra con $\omega_0=\pi$ , $a_k=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right)$ . Allora $b_0=a_0H(0)=\frac12$ ; $b_1=\frac{1/\pi}{1+j\pi}$ con $|b_1|=\frac{1/\pi}{\sqrt{1+\pi^2}}\approx0{,}0965$ e $\arg b_1=-\arctan\pi\approx-1{,}263$ ; $b_3=\frac{-1/(3\pi)}{1+j3\pi}$ con $|b_3|\approx0{,}0112$ . L'uscita (reale) è $y(t)\approx\frac12+2(0{,}0965)\cos(\pi t-1{,}263)+2(0{,}0112)\cos(3\pi t+1{,}677)+\ldots$ La fondamentale è attenuata da $\frac1{\sqrt{1+\pi^2}}\approx0{,}30$ e sfasata, la terza armonica molto di più: il filtro "arrotonda" l'onda quadra (passa-basso). La potenza in uscita vale $P_y=\sum|H(k\pi)|^2|a_k|^2\approx0{,}2689$ (somma numerica), contro $P_x=\frac12$ .

Esempio 3: filtro passa-basso ideale (tema d'esame febbraio 2026, Esercizio 13 · onda quadra attraverso un filtro passa-basso ideale (tema d'esame febbraio 2026)). $H=\operatorname{rect}\left(\frac\omega{7}\right)$ taglia le pulsazioni oltre $\frac72$ . L'ingresso ha $\omega_0=\frac\pi2$ e solo $k=0,\pm1$ passano (le armoniche pari sono nulle; $k=\pm3$ ha pulsazione $\frac{3\pi}{2}\approx4{,}71>\frac72$ ): $y=\frac12+\frac2\pi\cos\left(\frac\pi2t\right)$ .

Esempio 4: filtraggio selettivo. Un segnale utile periodico con un disturbo ad alta frequenza si "ripulisce" annullando con un filtro passa-basso le armoniche ad alta frequenza; in uscita restano le armoniche con $|k|\omega_0$ sotto il taglio.

Errori comuni

Dimenticare il fattore $T$ nella convoluzione periodica (con la normalizzazione $\frac1T$ dei coefficienti il risultato è $Ta_kb_k$ ).
Applicare $b_k=H(k\omega_0)a_k$ con $H$ valutata in $k$ invece che in $k\omega_0$ .
Perdere l'informazione di fase: per segnali reali, ricostruire la sinusoide in uscita con $2|b_k|\cos(k\omega_0t+\arg b_k)$ , non solo con $|b_k|$ .
Dimenticare che per un segnale reale $a_{-k}=a_k^*$ e quindi le armoniche si contano due volte.
Usare $H$ per sistemi non stabili (la risposta in frequenza non è definita).

Versione ripasso

Proprietà (coefficienti $a_k$ , $b_k$ ): linearità; $x(-t)\to a_{-k}$ ; $x^*\to a^*_{-k}$ ; ritardo $x(t-t_1)\to a_ke^{-jk\omega_0t_1}$ ; modulazione $xe^{jm\omega_0t}\to a_{k-m}$ , $x\cos m\omega_0t\to\frac12(a_{k-m}+a_{k+m})$ , $x\sin m\omega_0t\to\frac1{2j}(a_{k-m}-a_{k+m})$ ; derivata $\to jk\omega_0a_k$ (media persa); prodotto $\to\sum_ma_mb_{k-m}$ ; convoluzione periodica $\int_Tx(u)y(t-u)du\to Ta_kb_k$ (neutro: $\operatorname{comb}$ ).
Parseval: $P=\frac1T\int_T|x|^2=\sum_k|a_k|^2$ (reali: $a_0^2+2\sum_{k\ge1}|a_k|^2$ ). Onda quadra: $\frac14+\frac2{\pi^2}\approx0{,}4526$ con $k\le1$ .
Simmetrie: reale $\to a_{-k}=a_k^*$ ; pari $\to$ pari; dispari $\to$ dispari; reale e pari $\to$ reali e pari; reale e dispari $\to$ immaginari e dispari. Es.: reale dispari, $T=2$ , $a_k=0$ per $|k|>1$ , $P=1\Rightarrow x=\mp\sqrt2\sin\pi t$ .
Periodo non minimo $NT$ : $a'_k=a_{k/N}$ se $N|k$ , altrimenti $0$ .
LTI stabile, ingresso periodico: $y$ periodica con $b_k=H(k\omega_0)a_k$ , $P_y=\sum|H(k\omega_0)|^2|a_k|^2$ . Es.: $H=\operatorname{sinc}\frac\omega\pi e^{-j\omega}$ e ingresso di periodo $2$ : $H(k\pi)=0$ per $k\ne0\Rightarrow y=a_0$ . Filtro RC e onda quadra: $|b_1|\approx0{,}0965$ , fase $-\arctan\pi$ . Passa-basso ideale $\operatorname{rect}\frac\omega7$ : $y=\frac12+\frac2\pi\cos\frac\pi2t$ (Esercizio 13 · onda quadra attraverso un filtro passa-basso ideale (tema d'esame febbraio 2026)).
Errori: fattore $T$ dimenticato; $H(k)$ invece di $H(k\omega_0)$ ; fase persa; $a_{-k}=a_k^*$ non usato.