Esercizio 10ingressi periodici e zeri della risposta in frequenza (tema d'esame gennaio 2024)

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Teoria usata: Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →, Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →, Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →.

(1) Causalità e stabilità

$\operatorname{rect}\left(\frac{t-1}2\right)$ vale $1$ per $\left|\frac{t-1}2\right|<\frac12$, cioè $|t-1|<1$, cioè $0<t<2$. Quindi $h=\frac12$ su $(0,2)$ e $0$ altrove. Il supporto è contenuto in $[0,+\infty)$: sistema causale. Inoltre $\int|h|=\frac12\cdot2=1<\infty$, cioè $h\in L^1$: sistema stabile.

(2) Risposta in frequenza

$\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$; con la scala (durata 2) $\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)\leftrightarrow2\operatorname{sinc}\left(\frac{2\omega}{2\pi}\right)=2\operatorname{sinc}\left(\frac\omega\pi\right)$; con il ritardo di $1$ si aggiunge il fattore $e^{-j\omega}$; con il fattore $\frac12$: $$H(\omega)=\frac12\cdot2\operatorname{sinc}\left(\frac\omega\pi\right)e^{-j\omega}=\operatorname{sinc}\left(\frac\omega\pi\right)e^{-j\omega},\qquad|H(\omega)|=\left|\operatorname{sinc}\left(\frac\omega\pi\right)\right|.$$ ($H(0)=1$ coerente con $\int h=1$.) Il $\operatorname{sinc}$ si annulla quando l'argomento è un intero non nullo: $\frac\omega\pi=k$, cioè $$H(\omega)=0\iff\omega=k\pi,\ k\in\mathbb Z\setminus\{0\}.$$ Il grafico di $|H|$ è il modulo del $\operatorname{sinc}$ con lobo principale tra $-\pi$ e $\pi$ (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →).

(3) Periodicità

• $v(t)=1$ è costante: periodica con qualsiasi periodo.
• $s(t)=\cos3t$: periodo $T_s=\frac{2\pi}3$.
• $w$ è la ripetizione periodica di $z$ con passo $2$; $z$ ha supporto $(-1,1)$ di ampiezza $2$, quindi le copie non si sovrappongono: $w$ è periodica di periodo $T_w=2$. Su $(-1,1)$ vale $1-t^2$ (parabola, $1$ in $0$ e $0$ in $\pm1$).

$x=s+v+w$ non è periodico: la somma di segnali periodici è periodica se e solo se il rapporto dei periodi è razionale (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →), e qui $\frac{T_s}{T_w}=\frac{2\pi/3}{2}=\frac\pi3\notin\mathbb Q$ ($v$ è costante e non pone vincoli).

(4) I coefficienti dell'uscita

Se $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=\frac{2\pi}T$, per linearità e per $e^{j\omega t}\to H(\omega)e^{j\omega t}$ (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →): $$b_k=H(k\omega_0)\,a_k=H\left(k\frac{2\pi}T\right)a_k.$$

(5) Le tre uscite

Si calcola separatamente l'uscita a $s$, $v$, $w$ e si somma (linearità).

Ingresso $s=\cos3t$ (regime sinusoidale, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →): $\omega_0=3$, $H(3)=\operatorname{sinc}\left(\frac3\pi\right)e^{-3j}$. Qui $\operatorname{sinc}\left(\frac3\pi\right)=\frac{\sin(\pi\cdot3/\pi)}{\pi\cdot3/\pi}=\frac{\sin3}3\approx0{,}0470$, quindi $$h*s(t)=\frac{\sin3}3\cos(3t-3)\approx0{,}047\cos(3t-3).$$ (La fase è $\arg H(3)=-3$ rad, perché $\operatorname{sinc}\left(\frac3\pi\right)>0$.)

Ingresso $v=1$: $a_0=1$ e gli altri nulli; $b_0=H(0)a_0=1$. Quindi $h*v=1$ (il valor medio passa con guadagno $H(0)=1$).

Ingresso $w$ (periodo $T_w=2$, $\omega_0=\pi$): $b_k=H(k\pi)a_k$. Ma $H(k\pi)=\operatorname{sinc}(k)e^{-jk\pi}=0$ per ogni $k\ne0$ (zeri del $\operatorname{sinc}$), mentre $H(0)=1$. Quindi sopravvive solo $b_0=a_0$, e l'uscita è la costante $a_0$, il valor medio di $w$ su un periodo: $$a_0=\frac12\int_{-1}^{1}(1-t^2)\,dt=\frac12\left[t-\frac{t^3}3\right]_{-1}^1=\frac12\left(2-\frac23\right)=\frac23.$$ Dunque $h*w=\frac23$. (Il filtro è una media mobile su una finestra di lunghezza $2$, pari al periodo: ogni armonica con $k\ne0$ ha media nulla su un periodo.)

Uscita totale: $$y(t)=\frac{\sin3}{3}\cos(3t-3)+1+\frac23=\frac53+\frac{\sin 3}{3}\cos(3t-3).$$ Controllo numerico: con convoluzione su un intervallo lungo (passo $10^{-3}$) $y(0{,}3)=1{,}64286$ e $y(1{,}7)=1{,}64298$ contro il valore della formula $1{,}64292$ ($=\frac53-0{,}0237$ e $\frac53-0{,}0238$), e $y(5{,}2)=1{,}71368$ contro $1{,}71368$.

Errori comuni

• Sbagliare il supporto di $h$: $\operatorname{rect}\left(\frac{t-1}2\right)$ è su $(0,2)$ (non $(0,1)$).
• Affermare che $x$ è periodica "perché somma di periodici": rapporto $\frac\pi3$ irrazionale.
• Calcolare $H(k\omega_0)$ con $\omega_0=2\pi$ invece di $\pi$ per $w$ (il periodo è $2$).
• Dimenticare che $\operatorname{sinc}\left(\frac3\pi\right)=\frac{\sin3}3$ (e non $\frac{\sin(3\pi)}{3\pi}=0$).
• Dimenticare la fase $-3$ nella risposta a $\cos3t$.