Esistenza e unicità per il problema di Cauchy

Prerequisiti: Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →, Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili →, Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

In Analisi 1 si risolvono esplicitamente alcune classi di equazioni (lineari, a variabili separabili). Per un'equazione qualsiasi una formula non c'è, ma si può ancora sapere se il problema di Cauchy ha soluzione, se è unica e su quale intervallo esiste: è quello che serve perché un modello fisico sia sensato (dallo stato iniziale l'evoluzione è determinata).

Il problema di Cauchy

Dato un dominio $D \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$, si considera l'equazione in forma normaleequazione isolata rispetto alla derivata di ordine massimo: $$y'(t) = f(t, y(t))$$ dove $y(t)$ è una funzione a valori in $\mathbb{R}^n$ e $f: D \to \mathbb{R}^n$. Il problema di Cauchy consiste nel trovare una funzione $y(t)$ che soddisfi l'equazione e una condizione iniziale: $$\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)) \\ y(t_0) = y_0 \end{cases}$$ con $(t_0, y_0) \in D$. Geometricamente, $f(t, y)$ definisce un campo di direzionivettore tangente alla soluzione in ogni punto del piano, e cercare la soluzione significa trovare una curva tangente a tale campo passante per $(t_0, y_0)$.

Esistenza: Teorema di Peano

Il teorema di Peano fornisce le condizioni minime per l'esistenza della soluzione.

Teorema (Peano). Se $f(t, y)$ è continua in un intorno del punto $(t_0, y_0)$, allora esiste almeno una soluzione $y(t)$ del problema di Cauchy definita in un intervallo $I$ contenente $t_0$.

Questo teorema non garantisce l'unicità. Un celebre controesempio è $y' = \sqrt{|y|}$ con $y(0) = 0$. La funzione $y(t) = 0$ è una soluzione. Ma per ogni $c \geq 0$ lo è anche $$y_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c \\ \frac14 (t - c)^2 & t > c \end{cases}$$ Verifica per $t > c$: $y_c' = \frac12(t - c)$ e $\sqrt{|y_c|} = \frac12(t - c)$; nel punto $t = c$ i due pezzi si raccordano con derivata $0$, quindi $y_c$ è $C^1$. La soluzione resta ferma in $0$ per un tempo arbitrario e poi "parte": infinite soluzioni con lo stesso dato iniziale. Questo fenomeno è noto come pennello di Peano.

Esistenza e unicità: Teorema di Cauchy-Lipschitz

Per garantire l'unicità è necessaria una condizione di regolarità sulla funzione $f$ rispetto alla variabile $y$.

Definizione. Una funzione $f(t, y)$ è lipschitziana in yproprietà che limita la velocità di variazione di f rispetto a y uniformemente in $t$ se esiste una costante $L \ge 0$ tale che, per ogni $t, y_1, y_2$: $$|f(t, y_2) - f(t, y_1)| \le L |y_2 - y_1|$$ Una condizione sufficiente per la lipschitzianità è che la derivata parziale $\frac{\partial f}{\partial y}$ sia limitata nel dominio.

Perché la condizione sufficiente. Fissato $t$, per il teorema di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange → $f(t, y_2) - f(t, y_1) = \frac{\partial f}{\partial y}(t, \xi)(y_2 - y_1)$ per un $\xi$ tra $y_1$ e $y_2$; se $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leq L$, si ottiene la disuguaglianza. In particolare se $f$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ sono continue, su ogni rettangolo chiuso la derivata è limitata (Weierstrass) e $f$ è lipschitziana lì: è il criterio pratico.

Esempi. $f(t, y) = \sin y$: $|\partial_y f| = |\cos y| \leq 1$, lipschitziana su tutto $\mathbb{R}^2$ con $L = 1$. $f = y^2$: $\partial_y f = 2y$ è limitata su ogni striscia $|y| \le b$ ma non su tutto $\mathbb{R}$, quindi è lipschitziana solo localmente. $f = \sqrt{|y|}$ non è lipschitziana vicino a $y = 0$: il rapporto $\frac{\sqrt{|y|}}{|y|} = \frac{1}{\sqrt{|y|}}$ non è limitato. È per questo che nel pennello di Peano l'unicità si perde.

Teorema (Cauchy-Lipschitz). Sia $f$ continua e lipschitziana rispetto a $y$ in un rettangolo $R = \{ (t, y) : |t-t_0| \le a, |y-y_0| \le b \}$. Allora esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy nell'intervallo $I = [t_0 - \alpha, t_0 + \alpha]$, con $\alpha > 0$.

Si può prendere $\alpha = \min\left\{a, \frac{b}{K}\right\}$ con $K = \max_R |f|$: in un tempo $\alpha$, con velocità al più $K$, la soluzione non esce dal rettangolo.

Idea della dimostrazione. Integrando l'equazione, $y$ è soluzione del problema di Cauchy se e solo se $$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s, y(s))\,ds$$ (equazione integrale). Partendo da $y_0(t) \equiv y_0$ si costruiscono le iterate di Picard $y_{k+1}(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s, y_k(s))\,ds$; la condizione di Lipschitz fa sì che convergano (uniformemente) a una soluzione e che due soluzioni non possano differire. Esempio: per $y' = y$, $y(0) = 1$ le iterate sono $1$, $1 + t$, $1 + t + \frac{t^2}{2}$, …: i polinomi di Taylor di $e^t$.

Conseguenza geometrica dell'unicità: i grafici di due soluzioni diverse della stessa equazione non si toccano mai. Per esempio, se $y \equiv 0$ è soluzione, una soluzione con $y(t_0) > 0$ resta positiva finché esiste.

Soluzioni massimali ed esistenza globale

Il teorema di Cauchy-Lipschitz garantisce solo una soluzione locale. La soluzione può non essere definibile su tutto l'asse reale.

Esempio: Esplosione in tempo finito

Consideriamo $y' = y^2$ con $y(0) = 1$. Separando le variabili: $$\int \frac{dy}{y^2} = \int dt \implies -\frac{1}{y} = t + C$$ Imponendo $y(0)=1$ si ottiene $C=-1$, quindi $y(t) = \frac{1}{1-t}$. La soluzione tende a $+\infty$ per $t \to 1^-$: si dice che la soluzione "esplode" in tempo finito. La soluzione del problema esiste solo su $]-\infty, 1[$, anche se $f(t, y) = y^2$ è definita e regolarissima su tutto il piano.

Lo stesso accade per $y' = 1 + y^2$, $y(0) = 0$: la soluzione è $y = \tan t$, definita solo su $\left]-\frac\pi2, \frac\pi2\right[$. In entrambi i casi la crescita di $f$ in $y$ è più che lineare: più $y$ è grande, più cresce in fretta, e diventa infinita in tempo finito.

Soluzione massimale. Prolungando la soluzione locale finché si può, si ottiene la soluzione massimale, definita su un intervallo aperto $]\omega_-, \omega_+[$. Se $f$ è definita su tutta la striscia $]a, b[ \times \mathbb{R}$ (con $f$ e $\partial_y f$ continue), vale l'alternativa: o $\omega_+ = b$, oppure $|y(t)| \to +\infty$ per $t \to \omega_+$. Una soluzione che resta limitata non può smettere di esistere.

Teorema (Esistenza globale). Se $f(t, y)$ è continua e lipschitziana rispetto a $y$ su tutto il dominio $[a, b] \times \mathbb{R}^n$ (con la stessa costante $L$ per ogni $t$), allora esiste un'unica soluzione definita su tutto l'intervallo $[a, b]$.

Casi tipici:

• equazioni lineari $y' = a(t)y + b(t)$ con $a, b$ continue su $[a, b]$: $|\partial_y f| = |a(t)| \le \max|a|$, quindi la soluzione esiste su tutto l'intervallo in cui i coefficienti sono continui (come visto in Analisi 1). Per $y' = \frac{y}{t} + t^3$ con $y(1) = 0$ l'intervallo massimo è $]0, +\infty[$, perché $\frac1t$ non è definita in $0$; la soluzione è $y = \frac{t^4 - t}{3}$;
• $y' = \sin y + t$: lipschitziana con $L = 1$ su ogni striscia, quindi le soluzioni esistono per ogni $t \in \mathbb{R}$;
• $y' = y^2$ non soddisfa l'ipotesi, e infatti esplode.

Riduzione a sistema

Un'equazione di ordine $n$ del tipo $y^{(n)} = f(t, y, y', \dots, y^{(n-1)})$ si riconduce a un sistema del primo ordine ponendo: $z_1 = y, z_2 = y', \dots, z_n = y^{(n-1)}$. Il sistema diventa $\mathbf{z}' = F(t, \mathbf{z})$, dove $\mathbf{z} = (z_1, \dots, z_n)^T$ e $F(t, \mathbf z) = (z_2, z_3, \dots, z_n, f(t, z_1, \dots, z_n))$: le prime $n - 1$ equazioni dicono solo che ogni $z_k$ è la derivata della precedente, l'ultima è l'equazione di partenza.

I teoremi precedenti valgono per i sistemi, con $|\cdot|$ sostituito dalla norma in $\mathbb{R}^n$. Il dato iniziale del sistema è il vettore $\mathbf z(t_0) = (y(t_0), y'(t_0), \dots, y^{(n-1)}(t_0))$: ecco perché il problema di Cauchy per un'equazione di ordine $n$ richiede $n$ condizioni iniziali.

Esempio. $y'' + y = 0$ (oscillatore armonico) diventa, con $z_1 = y$ e $z_2 = y'$: $$\begin{cases} z_1' = z_2 \\ z_2' = -z_1 \end{cases}$$ Vedi Sistemi di equazioni differenziali lineariSistema lineare Y' = A(t)Y + B(t): con A, B continue su I il problema di Cauchy ha una sola soluzione, definita su tutto I. Le soluzioni dell'omogeneo formano uno spazio di dimensione n (colonne di una matrice fondamentale, wronskiano ≠ 0). A coefficienti costanti: Y = e^(λt)V con λ autovalore e V autovettore di A; con λ = α ± iβ si prendono parte reale e immaginaria. Y(t) = e^(tA)Y0, con e^(tA) = P e^(tD) P⁻¹ se A = PDP⁻¹. Un'equazione di ordine n equivale a un sistema con la matrice compagna.Sistemi di equazioni differenziali lineari →.

Errori comuni

1. Confondere esistenza con unicità: La continuità garantisce l'esistenza, ma senza la Lipschitzianità si possono avere infinite soluzioni.
2. Trascurare l'intervallo: L'esistenza è garantita solo localmente. Verificare sempre dove la funzione $f$ e la sua derivata sono definite.
3. Credere che una $f$ regolare dia soluzioni definite ovunque: $y' = y^2$ ha $f$ di classe $C^\infty$ su tutto il piano, ma le soluzioni esplodono.
4. Prendere l'intervallo sbagliato: la soluzione è definita su un intervallo che contiene $t_0$; se un coefficiente non è definito in un punto, quel punto non si può scavalcare.