Massimi e minimi liberi in più variabili

Prerequisiti: Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →, Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabiliLe derivate seconde ∂²f/∂xj∂xi formano la matrice hessiana Hf; per il teorema di Schwarz (derivate miste continue) è simmetrica. Taylor al secondo ordine: f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ hᵀHf(x0)h + o(‖h‖²). Una matrice simmetrica è definita positiva/negativa, semidefinita o indefinita a seconda del segno della forma quadratica hᵀAh; si riconosce con gli autovalori o con i minori principali (in 2×2: determinante e primo elemento).Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili →, Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →.

Definizione di punti critici

Sia $f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione definita su un insieme aperto $\Omega$. Un punto $x_0 \in \Omega$ si dice:

Definizione. Punto di massimo (minimo) relativo se esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x) \le f(x_0)$ ($f(x) \ge f(x_0)$) per ogni $x \in U \cap \Omega$.

Se $f$ è differenziabile in $x_0$ e $x_0$ è un punto di estremo relativo interno a $\Omega$, allora deve necessariamente valere il teorema di Fermat:

Teorema (Fermat). Se $x_0$ è un punto di estremo relativo per $f$ e $f$ è differenziabile in $x_0$, allora $\nabla f(x_0) = 0$.

Perché. Si fissa una direzione: la funzione di una variabile $g(t) = f(x_0 + te_i)$ ha un estremo relativo in $t = 0$, che è interno al suo dominio (perché $x_0$ è interno). Per il teorema di Fermat in una variabile $g'(0) = 0$, e $g'(0) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)$. Vale per ogni $i$, quindi tutto il gradiente è nullo.

I punti in cui il gradiente si annulla sono detti punti critici (o stazionari) della funzione. Come in una variabile, la condizione è solo necessaria: $f(x, y) = x^2 - y^2$ ha gradiente nullo in $(0,0)$, ma l'origine non è né massimo né minimo.

Definizione. Un punto critico $x_0$ è un punto di sella se in ogni suo intorno ci sono punti in cui $f > f(x_0)$ e punti in cui $f < f(x_0)$.

Condizioni del secondo ordine

Per classificare i punti critici, supponiamo che $f \in C^2(\Omega)$. La natura del punto dipende dalla forma quadratica associata alla matrice hessianaLe derivate seconde ∂²f/∂xj∂xi formano la matrice hessiana Hf; per il teorema di Schwarz (derivate miste continue) è simmetrica. Taylor al secondo ordine: f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ hᵀHf(x0)h + o(‖h‖²). Una matrice simmetrica è definita positiva/negativa, semidefinita o indefinita a seconda del segno della forma quadratica hᵀAh; si riconosce con gli autovalori o con i minori principali (in 2×2: determinante e primo elemento).Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili → $H_f(x_0)$, definita come $H_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$.

Teorema. Sia $x_0$ un punto critico per $f$.

1. Se $H_f(x_0)$ è definita positiva, allora $x_0$ è un punto di minimo locale.
2. Se $H_f(x_0)$ è definita negativa, allora $x_0$ è un punto di massimo locale.
3. Se $H_f(x_0)$ è indefinita, allora $x_0$ è un punto di sella.
4. Se $H_f(x_0)$ è semidefinita, il test non è risolutivo.

Idea della dimostrazione. Nel punto critico la formula di Taylor dà $$f(x_0 + h) - f(x_0) = \frac12 h^T H_f(x_0)\,h + o(\|h\|^2)$$ Se la forma quadratica è definita positiva, vale almeno $m\|h\|^2$ per un certo $m > 0$ (il minimo autovalore), e per $h$ piccolo domina l'errore $o(\|h\|^2)$: la differenza è positiva, quindi $x_0$ è di minimo. Se è indefinita, lungo una direzione la differenza è positiva e lungo un'altra negativa: sella. Se è semidefinita, nelle direzioni in cui la forma si annulla decide l'errore, cioè le derivate di ordine superiore: per questo il test tace.

Per $n = 1$ si ritrova il criterio della derivata seconda: $H_f = (f''(x_0))$ è definita positiva se $f''(x_0) > 0$.

Criterio di Sylvester per $n=2$

Nel caso $n=2$, sia $H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$. Definiamo $D = \det(H_f) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.

• Se $D > 0$: la matrice è definita (positiva se $f_{xx} > 0$, negativa se $f_{xx} < 0$).
• Se $D < 0$: la matrice è indefinita (punto di sella).
• Se $D = 0$: il test fallisce (necessario studio locale).

Nel caso $D > 0$ basta guardare $f_{xx}$: per $D > 0$ deve essere $f_{xx}f_{yy} > f_{xy}^2 \geq 0$, quindi $f_{xx}$ e $f_{yy}$ hanno lo stesso segno.

Il caso $D = 0$: tre funzioni con la stessa hessiana nulla in $(0,0)$.

• $x^4 + y^4$: $f(x,y) > 0 = f(0,0)$ fuori dall'origine, minimo assoluto.
• $-(x^4 + y^4)$: massimo.
• $x^4 - y^4$: sull'asse $x$ è positiva, sull'asse $y$ negativa, sella.

L'hessiana non può distinguerle: serve lo studio del segno di $f(x) - f(x_0)$ vicino al punto, per esempio con restrizioni a rette o curve.

Esempio svolto

Sia $f(x,y) = 3x^2y + 4y^3 - 3x^2 - 12y^2 + 1$, definita e $C^2$ su tutto $\mathbb{R}^2$.

1. Gradiente: $f_x = 6xy - 6x = 6x(y - 1)$, $\quad f_y = 3x^2 + 12y^2 - 24y$.
2. Punti critici. $f_x = 0$ se $x = 0$ oppure $y = 1$ (si è raccolto per spezzare il sistema in due casi).
   • $x = 0$: $f_y = 12y^2 - 24y = 12y(y - 2) = 0$, quindi $y = 0$ o $y = 2$: punti $(0, 0)$ e $(0, 2)$.
   • $y = 1$: $f_y = 3x^2 + 12 - 24 = 3x^2 - 12 = 0$, quindi $x = \pm 2$: punti $(2, 1)$ e $(-2, 1)$.
3. Hessiana: $f_{xx} = 6y - 6$, $f_{xy} = 6x$, $f_{yy} = 24y - 24$: $$H_f(x, y) = \begin{pmatrix} 6y-6 & 6x \\ 6x & 24y-24 \end{pmatrix}$$
4. Classificazione:
   • $(0,0)$: $H_f = \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & -24 \end{pmatrix}$, $\det = 144 > 0$ e $f_{xx} = -6 < 0$: massimo locale, $f(0,0) = 1$.
   • $(0,2)$: $H_f = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 24 \end{pmatrix}$, $\det = 144 > 0$ e $f_{xx} = 6 > 0$: minimo locale, $f(0, 2) = 32 - 48 + 1 = -15$.
   • $(\pm 2, 1)$: $H_f = \begin{pmatrix} 0 & \pm 12 \\ \pm 12 & 0 \end{pmatrix}$, $\det = -144 < 0$: selle.

Nessuno dei due estremi è assoluto: lungo l'asse $y$, $f(0, y) = 4y^3 - 12y^2 + 1$ va a $+\infty$ per $y \to +\infty$ e a $-\infty$ per $y \to -\infty$.

Altri esercizi, compreso un caso con $D = 0$ e uno in tre variabili: Esercizi - punti critici di funzioni di più variabili.

Errori comuni

• Test fallito: Quando $\det(H_f) = 0$, non concludere che il punto è di sella o estremo. È necessario studiare la variazione di $f(x,y) - f(x_0, y_0)$ direttamente (es. restrizioni su rette $y=mx$ o $y=x^2$).
• Perdere soluzioni del sistema $\nabla f = 0$: non dividere per una variabile che può essere nulla ($6x(y-1) = 0$ si spezza in $x = 0$ oppure $y = 1$).
• Dimenticare i punti di non differenziabilità: Fermat vale dove $f$ è differenziabile. $\sqrt{x^2 + y^2}$ ha minimo nell'origine, dove il gradiente non esiste.
• Confondere locale e assoluto: un massimo relativo può non essere il massimo della funzione.