Esercizio - singolarità e residui di una funzione con esponenziale

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1. Dove si annulla il denominatore

$$z^4 - z^3 + z^2 = z^2\left(z^2 - z + 1\right).$$

• $z^2 = 0$: $z = 0$, zero doppio del denominatore.
• $z^2 - z + 1 = 0$: $z = \dfrac{1 \pm i\sqrt3}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ (modulo $1$, argomento $\pm60°$). Sono due zeri semplici del denominatore. Li chiamo $z_1 = \frac{1 + i\sqrt3}{2}$ e $z_2 = \bar z_1 = \frac{1 - i\sqrt3}{2}$.

Sono gli unici punti in cui $f$ può non essere olomorfa: tre singolarità isolate, $z = 0$, $z_1$, $z_2$, tutte a distanza finita.

2. Classificazione

Si guarda anche il numeratore $e^z - 1$, che si annulla solo per $z = 2\pi ik$ ($k \in \mathbb{Z}$) con zeri semplici.

• In $z = 0$. Il numeratore ha uno zero semplice ($e^z - 1 = z + \frac{z^2}2 + \dots = z\left(1 + \frac z2 + \dots\right)$), il denominatore uno zero doppio. Quindi $$f(z) = \frac{z\left(1 + \frac z2 + \dots\right)}{z^2\left(z^2 - z + 1\right)} = \frac1z\cdot\frac{1 + \frac z2 + \dots}{z^2 - z + 1}$$ e il secondo fattore è olomorfo e vale $1$ in $z = 0$: la singolarità è un polo semplice.
• In $z_1$, $z_2$. Il numeratore vale $e^{z_1} - 1 \ne 0$ (perché $e^w = 1$ solo per $w = 2\pi ik$ e $z_1 = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}$ non è di quella forma; analogamente per $z_2$) mentre il denominatore ha uno zero semplice: poli semplici.

Rappresentazione nel piano: $z = 0$ è l'origine; $z_1$ ha parte reale $\frac12$ e parte immaginaria $\frac{\sqrt3}2\approx0{,}87$ (semipiano superiore); $z_2$ è il suo simmetrico rispetto all'asse reale, in $\left(\frac12, -\frac{\sqrt3}{2}\right)$. I due poli non reali stanno sulla circonferenza $|z| = 1$.

3. Residui nelle singolarità con $\operatorname{Im}z \ge 0$

Sono $z = 0$ e $z_1$ (parte immaginaria $0$ e $\frac{\sqrt3}{2}$); $z_2$ ha parte immaginaria negativa e non va calcolato.

Residuo in $z = 0$ (polo semplice). $\operatorname{Res}(f, 0) = \lim_{z\to0}z\,f(z) = \lim_{z\to0}\dfrac{e^z - 1}{z}\cdot\dfrac{1}{z^2 - z + 1} = 1\cdot\dfrac11 = 1$. (Si è usato il limite notevole $\frac{e^z - 1}{z}\to1$.)

Residuo in $z_1$ (polo semplice di un quoziente $P/Q$). Si usa la formula $\operatorname{Res} = \dfrac{P(z_1)}{Q'(z_1)}$ con $P = e^z - 1$ e $Q = z^4 - z^3 + z^2$, $Q' = 4z^3 - 3z^2 + 2z$. Per evitare di calcolare $Q'(z_1)$ con potenze alte, è più comodo scrivere $Q = z^2\,(z^2 - z + 1)$ e usare $R(z) = z^2 - z + 1$, con $R'(z) = 2z - 1$: in $z_1$ il fattore $R$ è quello che si annulla, quindi $$\operatorname{Res}(f, z_1) = \frac{e^{z_1} - 1}{z_1^2\,R'(z_1)} = \frac{e^{z_1} - 1}{z_1^2\,(2z_1 - 1)}.$$ Ora $2z_1 - 1 = 1 + i\sqrt3 - 1 = i\sqrt3$, e da $z_1^2 - z_1 + 1 = 0$ segue $z_1^2 = z_1 - 1 = \frac{-1 + i\sqrt3}{2}$. Quindi $$\operatorname{Res}(f, z_1) = \frac{e^{z_1} - 1}{\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\cdot i\sqrt3} = \frac{2\left(e^{z_1} - 1\right)}{i\sqrt3\left(-1 + i\sqrt3\right)} = \frac{2\left(e^{z_1} - 1\right)}{-i\sqrt3 - 3} = -\frac{2\left(e^{z_1} - 1\right)}{3 + i\sqrt3}.$$ Con $e^{z_1} = e^{1/2}\left(\cos\frac{\sqrt3}2 + i\sin\frac{\sqrt3}{2}\right)$ (formula di Eulero, Funzioni elementari complesseLe funzioni elementari complesse sono estese tramite le loro serie di potenze nel piano complesso. La formula di Eulero $e^{iz} = \cos z + i \sin z$ collega l'esponenziale alle funzioni trigonometriche, mentre il logaritmo complesso risulta essere una funzione polidroma.Funzioni elementari complesse →) si ottiene numericamente $\operatorname{Res}(f, z_1)\approx-0{,}397 - 0{,}608\,i$.

Verifica di $\operatorname{Res}(f, 0)$ con la serie. $f(z) = \frac1z\left(1 + \frac z2 + \dots\right)\left(1 + z + \dots\right)$ (per $\frac{1}{1 - z + z^2} = 1 + (z - z^2) + (z - z^2)^2 + \dots = 1 + z + \dots$): il coefficiente di $\frac1z$ è $1$ ✓.

Errori comuni. Dire che $z = 0$ è un polo doppio (perché il denominatore ha $z^2$) senza guardare il numeratore, che ha uno zero in $0$; calcolare il residuo in $z_2$ (che non serve); applicare la formula del polo semplice a $z = 0$ senza semplificare prima e ottenere un risultato diverso.