Derivate parziali e derivate direzionali

Prerequisiti: Limiti e continuità per funzioni di più variabiliIl limite di una funzione di più variabili esiste se il valore si avvicina a $L$ indipendentemente dal percorso scelto; si verifica con stime in coordinate polari o si nega usando restrizioni a curve diverse. La continuità richiede che il limite coincida con il valore della funzione nel punto.Limiti e continuità per funzioni di più variabili →, Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →.

L'idea è ricondursi a una variabile: ci si muove da $x_0$ lungo una retta e si guarda come varia $f$. Se la retta è parallela a un asse si ottiene una derivata parziale, se ha una direzione qualsiasi una derivata direzionale.

Derivate parziali

Definizione. Sia $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione e $x_0$ un punto interno a $D$. La derivata parziale di $f$ rispetto alla variabile $x_i$ nel punto $x_0$ è il limite: $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h e_i) - f(x_0)}{h}$$ dove $e_i$ è l'$i$-esimo versorevettore di norma unitaria della base canonica.

In due variabili, nel punto $(x_0, y_0)$: $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}$$

Significato. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ è la derivata della funzione di una variabile $x \mapsto f(x, y_0)$, cioè la pendenza della curva che si ottiene tagliando il grafico con il piano verticale $y = y_0$. Altre notazioni: $f_x$, $\partial_x f$, $D_1 f$.

Calcolo pratico

Nella pratica, per calcolare $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, si deriva la funzione rispetto alla variabile $x_i$ trattando tutte le altre variabili come costanti, applicando le regole di derivazione del calcolo in una variabile.

Esempio: Sia $f(x, y, z) = x^2yz + \sin(xz)$.

• Rispetto a $x$: si considera $y, z$ costanti $\implies \frac{\partial f}{\partial x} = 2xyz + z \cos(xz)$.
• Rispetto a $y$: si considera $x, z$ costanti $\implies \frac{\partial f}{\partial y} = x^2z$.
• Rispetto a $z$: si considera $x, y$ costanti $\implies \frac{\partial f}{\partial z} = x^2y + x \cos(xz)$.

Nel termine $\sin(xz)$, derivando rispetto a $x$ la regola della catena dà $\cos(xz) \cdot z$ (la derivata dell'argomento $xz$ rispetto a $x$ è $z$); derivando rispetto a $z$ dà $\cos(xz) \cdot x$.

Altri esempi.

• $f(x, y) = x^3y + 3x^2y^2 + x + y$: $\ f_x = 3x^2y + 6xy^2 + 1$, $\ f_y = x^3 + 6x^2y + 1$.
• $f(x, y) = e^{x^2y} + 3x$: $\ f_x = 2xy\,e^{x^2y} + 3$, $\ f_y = x^2 e^{x^2y}$ (il termine $3x$ non dipende da $y$, quindi la sua derivata rispetto a $y$ è $0$).

Definizione. Se esistono tutte le derivate parziali di $f$ in $x_0$, si dice che la funzione è derivabile in $x_0$. Il vettore che le raccoglie è il gradiente, indicato con il simbolo $\nabla$ (si legge "nabla"): $$\nabla f(x_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \right)$$

Derivate direzionali

Quando vogliamo conoscere la variazione di $f$ lungo una direzione generica individuata da un versore $v$ (con $\|v\|=1$), utilizziamo la derivata direzionale.

Definizione. La derivata direzionale di $f$ in $x_0$ lungo il versore $v$ è il limite: $$\frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + hv) - f(x_0)}{h}$$

Le derivate parziali sono le derivate direzionali lungo i versori degli assi: $\frac{\partial f}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial e_i}$. Si usa un versore perché così $h$ misura proprio la distanza percorsa da $x_0$: con un vettore lungo $2$ il rapporto incrementale verrebbe raddoppiato.

Esempio (con la definizione). $f(x, y) = x^2y$ in $(1, 1)$ lungo $v = \left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$. Posto $t = \frac{h}{\sqrt2}$, si ha $x_0 + hv = (1 + t, 1 + t)$ e $$\frac{f(1+t, 1+t) - f(1,1)}{h} = \frac{(1+t)^3 - 1}{h} = \frac{3t + 3t^2 + t^3}{h} = \frac{1}{\sqrt2}\,(3 + 3t + t^2) \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{3}{\sqrt2}$$

Legame con il gradiente

Se la funzione è differenziabilef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente → in $x_0$, non occorre calcolare il limite precedente.

Teorema. Se $f$ è differenziabile in $x_0$, allora per ogni versore $v$ la derivata direzionale esiste ed è pari al prodotto scalare tra il gradiente e il versore: $$\frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v$$

Nell'esempio sopra $\nabla f = (2xy, x^2)$, quindi $\nabla f(1, 1) = (2, 1)$ e $\nabla f(1,1) \cdot v = \frac{2 + 1}{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2}$: stesso risultato, senza limiti. La dimostrazione e il significato geometrico (il gradiente indica la direzione di massima crescita) sono in Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →.

Derivabile non vuol dire continua

In una variabile una funzione derivabile è continua. In più variabili no: le derivate parziali guardano solo lungo gli assi, e la funzione può comportarsi male lungo le altre direzioni.

Esempio 1 (derivabile ma non continua). $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ per $(x,y) \neq (0,0)$, $f(0,0)=0$. Sugli assi la funzione vale $0$: $f(h, 0) = 0$ e $f(0, h) = 0$. Quindi $$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} = 0, \qquad f_y(0,0) = 0$$ Le derivate parziali esistono, ma la funzione non è continua nell'origine: lungo $y = mx$ vale costantemente $\frac{m}{1+m^2}$ (vedi Limiti e continuità per funzioni di più variabiliIl limite di una funzione di più variabili esiste se il valore si avvicina a $L$ indipendentemente dal percorso scelto; si verifica con stime in coordinate polari o si nega usando restrizioni a curve diverse. La continuità richiede che il limite coincida con il valore della funzione nel punto.Limiti e continuità per funzioni di più variabili →).

Esempio 2 (tutte le derivate direzionali, ma non continua). $f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$, $f(0,0) = 0$. Per un versore $v = (v_1, v_2)$ con $v_2 \neq 0$: $$\frac{f(hv_1, hv_2)}{h} = \frac{h^3 v_1^2 v_2}{h\,(h^4v_1^4 + h^2v_2^2)} = \frac{v_1^2 v_2}{h^2 v_1^4 + v_2^2} \xrightarrow[h\to 0]{} \frac{v_1^2}{v_2}$$ e per $v_2 = 0$ la funzione è nulla sull'asse $x$, quindi la derivata è $0$. Esistono tutte le derivate direzionali, eppure $f$ non è continua in $(0,0)$ (lungo $y = x^2$ vale $\frac12$).

Esempio 3 (continua ma non derivabile). La norma $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ è continua, ma nell'origine $$\frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \frac{|h|}{h}$$ vale $1$ per $h > 0$ e $-1$ per $h < 0$: il limite non esiste, come per $|x|$ in una variabile. Il grafico è un cono con la punta nell'origine.

La nozione giusta, che implica continuità e derivate direzionali, è la differenziabilità: Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →.

Errori comuni

1. Non verificare il versore: La formula $\nabla f \cdot v$ vale solo se $v$ è un versorevettore di modulo unitario. Se si utilizza un vettore $w$ con $\|w\| \neq 1$, bisogna normalizzarlo dividendo per la sua norma: $v = \frac{w}{\|w\|}$.
2. Confondere derivabilità e differenziabilità: In analisi in una variabile le due nozioni coincidono, ma in più variabili no. Non dedurre la continuità dalla sola esistenza delle derivate parziali.
3. Derivare con le regole dove la funzione è definita a pezzi: nel punto di raccordo (spesso l'origine) le derivate parziali si calcolano con la definizione, usando il valore assegnato in quel punto.
4. Dimenticare i termini costanti rispetto alla variabile: derivando $e^{x^2y} + 3x$ rispetto a $x$ il $3$ c'è, rispetto a $y$ il termine $3x$ sparisce.