Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni

Prerequisiti: Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →, Funzioni continuef è continua in x0 (punto del dominio) se il limite in x0 esiste ed è f(x0); somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono continue, e tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.Funzioni continue →, Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →, Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →.

Successioni di funzioni e tipi di convergenza

Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e sia $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni a valori reali, $f_n: E \to \mathbb{R}$.

Definizione. La successione $(f_n)$ converge puntualmente a una funzione limite $f: E \to \mathbb{R}$ se, per ogni $x \in E$ fissato, la successione numerica $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $f(x)$: $$\forall x \in E, \quad \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$ In forma quantificata: $$\forall x \in E, \ \forall \epsilon > 0, \ \exists n_0 = n_0(\epsilon, x) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } \forall n \ge n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Nella convergenza puntuale, la velocità di convergenza (e quindi la scelta dell'indice soglia $n_0$) può variare al variare di $x$. Per far passare al limite proprietà come la continuità o l'integrabilità serve una convergenza che controlli la deviazione di $f_n$ da $f$ contemporaneamente su tutto il dominio $E$.

Definizione. La successione $(f_n)$ converge uniformemente a $f: E \to \mathbb{R}$ su $E$ se l'indice soglia $n_0$ dipende unicamente da $\epsilon$ e non dal punto $x$: $$\forall \epsilon > 0, \ \exists n_0 = n_0(\epsilon) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } \forall n \ge n_0, \ \forall x \in E \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

La convergenza uniforme si esprime in modo operativo attraverso la norma infinitodetta anche norma del sup, misura la massima distanza tra le due funzioni sul dominio: $$\|f_n - f\|_{\infty, E} = \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)|$$ Dunque, $f_n \to f$ uniformemente su $E$ se e solo se: $$\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_{\infty, E} = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| = 0$$

Esempio guida: $f_n(x) = x^n$ su $[0,1]$

Consideriamo $f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}$ definita da $f_n(x) = x^n$.

1. Convergenza puntuale:
   • Se $x \in [0, 1)$, $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$.
   • Se $x = 1$, $\lim_{n \to \infty} 1^n = 1$. La funzione limite puntuale è: $$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \in [0, 1) \\ 1 & \text{se } x = 1 \end{cases}$$
2. Convergenza uniforme su $[0, 1]$: Calcoliamo il sup della distanza su $[0, 1)$: $$\sup_{x \in [0, 1)} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x \in [0, 1)} x^n = 1$$ Poiché il sup vale $1$ per ogni $n \ge 1$: $$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f(x)| = 1 \neq 0$$ Quindi $f_n$ non converge uniformemente a $f$ su $[0, 1]$.
3. Convergenza uniforme su $[0, b]$ con $0 < b < 1$: Sull'intervallo ristretto $[0, b]$, $f(x) = 0$ identicamente. Si ha: $$\sup_{x \in [0, b]} |x^n - 0| = b^n$$ Poiché $0 < b < 1$, $\lim_{n \to \infty} b^n = 0$. Dunque $f_n \to 0$ uniformemente su $[0, b]$.

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Teoremi di scambio dei limiti

La convergenza puntuale non basta per scambiare l'operazione di limite con quelle di continuità, integrazione e derivazione. La convergenza uniforme fornisce la condizione sufficiente per garantire la validità di questi passaggi.

Scambio con la continuità

Teorema. Sia $(f_n)$ una successione di funzioni continue su $E \subseteq \mathbb{R}$. Se $f_n \to f$ uniformemente su $E$, allora $f$ è continua su $E$.

Dimostrazione. Fissiamo $x_0 \in E$ ed $\epsilon > 0$. Per la convergenza uniforme su $E$, esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \ge N$ e per ogni $x \in E$: $$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}$$ Scegliamo un indice fisso $k \ge N$. Poiché $f_k$ è continua in $x_0$, esiste un intorno $\delta > 0$ tale che, per ogni $x \in E$ con $|x - x_0| < \delta$: $$|f_k(x) - f_k(x_0)| < \frac{\epsilon}{3}$$ Applicando la disuguaglianza triangolare: $$|f(x) - f(x_0)| \le |f(x) - f_k(x)| + |f_k(x) - f_k(x_0)| + |f_k(x_0) - f(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon$$ Ciò prova che $f$ è continua in $x_0$. $\blacksquare$

Conseguenza operativa: se le funzioni $f_n$ sono tutte continue ma il limite puntuale $f$ è discontinuo (come nell'esempio di $x^n$ su $[0,1]$), la convergenza non può essere uniforme.

Scambio con l'integrale

Teorema. Sia $[a, b]$ un intervallo chiuso e limitato e sia $(f_n)$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann su $[a, b]$. Se $f_n \to f$ uniformemente su $[a, b]$, allora $f$ è integrabile su $[a, b]$ e vale: $$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx$$

Dimostrazione. Usando la linearità dell'integrale e la disuguaglianza triangolare per gli integrali: $$\left| \int_a^b f_n(x) \, dx - \int_a^b f(x) \, dx \right| = \left| \int_a^b (f_n(x) - f(x)) \, dx \right| \le \int_a^b |f_n(x) - f(x)| \, dx$$ Maggiorando l'integrando con il sup su $[a, b]$: $$\int_a^b |f_n(x) - f(x)| \, dx \le \int_a^b \|f_n - f\|_{\infty, [a,b]} \, dx = (b - a) \, \|f_n - f\|_{\infty, [a,b]}$$ Poiché per ipotesi $\|f_n - f\|_{\infty, [a,b]} \to 0$ per $n \to \infty$, anche la differenza tra gli integrali tende a $0$. $\blacksquare$

Controesempio con la sola convergenza puntuale (successione a tenda)

Sia $f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}$ definita da: $$f_n(x) = \begin{cases} 4n^2 x & \text{se } 0 \le x \le \frac{1}{2n} \\ -4n^2 \left(x - \frac{1}{n}\right) & \text{se } \frac{1}{2n} < x \le \frac{1}{n} \\ 0 & \text{se } \frac{1}{n} < x \le 1 \end{cases}$$

• Per $x = 0$, $f_n(0) = 0$ per ogni $n$.
• Per ogni $x \in (0, 1]$, non appena $n > \frac{1}{x}$ si ha $f_n(x) = 0$. Dunque $f_n(x) \to 0$ puntualmente su $[0, 1]$, per cui $f(x) = 0$ e $\int_0^1 f(x) \, dx = 0$. Tuttavia, il grafico di ogni $f_n$ è un triangolo di base $\frac{1}{n}$ e altezza $f_n\left(\frac{1}{2n}\right) = 2n$: $$\int_0^1 f_n(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \cdot 2n = 1$$ Di conseguenza: $$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = 1 \neq 0 = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, dx$$ Lo scambio fallisce perché $\|f_n - 0\|_{\infty} = 2n \to +\infty$: la convergenza non è uniforme.

Scambio con la derivata

Per scambiare il limite con l'operatore di derivazione non è sufficiente che la successione $f_n$ converga uniformemente: serve la convergenza uniforme delle derivate $f_n'$.

Teorema. Sia $(f_n)$ una successione di funzioni derivabili con continuità ($C^1$) su $[a, b]$ tale che:

1. Esiste almeno un punto $x_0 \in [a, b]$ in cui la successione numerica $(f_n(x_0))$ converge;
2. La successione delle derivate $(f_n')$ converge uniformemente su $[a, b]$ a una funzione $g$.

Allora $(f_n)$ converge uniformemente su $[a, b]$ a una funzione $f \in C^1([a, b])$, $f$ è derivabile e: $$f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x) = g(x) \quad \forall x \in [a, b]$$

Dimostrazione. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, per ogni $x \in [a, b]$: $$f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'(t) \, dt$$ Poiché $f_n' \to g$ uniformemente, applicando il teorema di scambio tra limite e integrale: $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x_0) + \lim_{n \to \infty} \int_{x_0}^x f_n'(t) \, dt = f(x_0) + \int_{x_0}^x g(t) \, dt$$ Definendo $f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x g(t) \, dt$, la funzione $g$ è continua (limite uniforme di funzioni continue $f_n'$), quindi per il teorema fondamentale del calcolo $f$ è derivabile e $f'(x) = g(x)$. $\blacksquare$

Controesempio: convergenza uniforme di $f_n$ senza convergenza di $f_n'$

Sia $f_n(x) = \frac{\sin(n^2 x)}{n}$ su $[0, 1]$.

• $\|f_n - 0\|_\infty = \frac{1}{n} \to 0$, quindi $f_n \to 0$ uniformemente su $[0, 1]$, e la derivata del limite è $(0)' = 0$.
• Tuttavia $f_n'(x) = n \cos(n^2 x)$, che per $n \to \infty$ oscilla selvaggiamente e non converge nemmeno puntualmente per la maggior parte dei punti (ad esempio per $x=0$, $f_n'(0) = n \to +\infty$).

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Serie di funzioni e criterio M di Weierstrass

Sia $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ una serie di funzioni, dove ciascun $u_n: E \to \mathbb{R}$. La convergenza puntuale e uniforme della serie sono definite attraverso la successione delle somme parziali: $$s_k(x) = \sum_{n=1}^k u_n(x)$$

Definizione. La serie converge puntualmente su $E$ alla funzione somma $S(x)$ se $s_k(x) \to S(x)$ puntualmente su $E$. Converge uniformemente su $E$ a $S(x)$ se $s_k \to S$ uniformemente su $E$, ossia se: $$\lim_{k \to \infty} \sup_{x \in E} \left| S(x) - \sum_{n=1}^k u_n(x) \right| = 0$$

Teorema (Criterio M di Weierstrass / Convergenza totale). Sia $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ una serie di funzioni definite su $E$. Supponiamo che esista una successione numerica $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ di termini non negativi tale che:

1. $|u_n(x)| \le M_n$ per ogni $x \in E$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$;
2. La serie numerica $\sum_{n=1}^\infty M_n$ converge.

Allora:

• La serie converge assolutamente per ogni $x \in E$;
• La serie converge uniformemente su $E$.

Dimostrazione. Per ogni $x \in E$ fissato, la serie $\sum_{n=1}^\infty |u_n(x)|$ converge per il criterio del confronto con la serie numerica convergente $\sum_{n=1}^\infty M_n$. Dunque la serie converge assolutamente, e quindi puntualmente, a una funzione somma $S(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)$.

Verifichiamo la convergenza uniforme stimando il resto $k$-esimo $R_k(x) = S(x) - s_k(x) = \sum_{n=k+1}^\infty u_n(x)$: $$|S(x) - s_k(x)| = \left| \sum_{n=k+1}^\infty u_n(x) \right| \le \sum_{n=k+1}^\infty |u_n(x)| \le \sum_{n=k+1}^\infty M_n$$ Poiché la maggiorazione a destra non dipende da $x$: $$\sup_{x \in E} |S(x) - s_k(x)| \le \sum_{n=k+1}^\infty M_n$$ Dato che $\sum_{n=1}^\infty M_n$ converge, il resto della serie numerica tende a zero: $$\lim_{k \to \infty} \sum_{n=k+1}^\infty M_n = 0 \implies \lim_{k \to \infty} \|S - s_k\|_{\infty, E} = 0$$ Quindi la convergenza è uniforme su $E$. $\blacksquare$

Esempio numerico svolto

Studiamo la convergenza della serie di funzioni: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n x)}{n^2 + x^2}, \quad x \in \mathbb{R}$$

1. Maggiorazione dei termini: Per ogni $x \in \mathbb{R}$ e ogni $n \ge 1$: $$|\cos(n x)| \le 1 \quad \text{e} \quad n^2 + x^2 \ge n^2$$ Quindi: $$|u_n(x)| = \left| \frac{\cos(n x)}{n^2 + x^2} \right| \le \frac{1}{n^2 + x^2} \le \frac{1}{n^2} = M_n$$
2. Convergenza della serie numerica maggiorante: La serie $\sum_{n=1}^\infty M_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ è una serie armonica generalizzataserie del tipo $\sum 1/n^p$ con $p > 1$ convergente ($p = 2 > 1$).
3. Conclusioni: Per il criterio M di Weierstrass, la serie converge uniformemente e assolutamente su tutto $\mathbb{R}$. Inoltre, poiché ogni termine $u_n(x)$ è continuo su $\mathbb{R}$, la funzione somma $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n x)}{n^2 + x^2}$ è garantita essere continua su $\mathbb{R}$.

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Errori comuni

• Confondere convergenza puntuale e convergenza uniforme: Dedurre che una successione converge uniformemente solo calcolando il limite puntuale termine a termine, senza studiare l'estremo superiore del modulo della differenza $|f_n(x) - f(x)|$.
• Scambiare derivata e limite chiedendo l'ipotesi su $f_n$ anziché su $f_n'$: Per derivare sotto il segno di limite non basta che $f_n \to f$ uniformemente; è indispensabile verificare la convergenza uniforme della successione delle derivate $f_n' \to g$.
• Applicare lo scambio limite-integrale su intervalli non limitati senza cautele: Il teorema dell'integrale richiede un intervallo compatto $[a, b]$. Su semirette o su $\mathbb{R}$ la convergenza uniforme da sola non garantisce lo scambio (ad esempio con $f_n(x) = \frac{1}{n} \chi_{[0, n]}(x)$, $\|f_n\|_\infty = \frac{1}{n} \to 0$ ma $\int_0^\infty f_n = 1 \neq 0$).
• Dimenticare di togliere la dipendenza da $x$ nel criterio di Weierstrass: Nel definire la costante maggiorante $M_n$, questa deve essere un numero reale indipendente da $x$; se $M_n$ dipende ancora dalla variabile $x$, non è una maggiorazione ammissibile per il test.