Esercizio - teorema di Stokes e circuitazione sul bordo

---

1. Perché la superficie "complicata" non conta

La superficie è il grafico di $g(x, y) = 2 - y(x^2 + y^2)^4$ sul disco unitario: calcolare direttamente il flusso richiederebbe $g_x$, $g_y$ e un integrale pesante. Per il teorema di Stokes il flusso di $\operatorname{rot}\mathbf F$ è uguale alla circuitazione di $\mathbf F$ lungo il bordo $\partial S$ (orientato in modo compatibile con la normale verso l'alto, cioè in senso antiorario visto dall'alto): $$\iint_S\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma = \oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r.$$ Il bordo si trova sostituendo $x^2 + y^2 = 1$ nell'equazione della superficie: $z = 2 - y\cdot1^4 = 2 - y$. Quindi $\partial S$ è la curva $$\gamma(t) = (\cos t,\ \sin t,\ 2 - \sin t),\qquad t \in [0, 2\pi],$$ che sta sul cilindro $x^2 + y^2 = 1$ e sul piano $z = 2 - y$ (un'ellisse nello spazio); la proiezione sul piano $xy$ è la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario ✓.

2. La circuitazione

$$\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \oint_\gamma\left(-y^2\,dx + x\,dy + z\,dz\right).$$ Si spezza in due parti.

• Il termine $z\,dz$ è un differenziale esatto ($z\,dz = d\left(\frac{z^2}{2}\right)$): l'integrale su una curva chiusa è $0$.
• Il termine $-y^2\,dx + x\,dy$ non contiene $z$: dipende solo dalla proiezione della curva sul piano $xy$, che è la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario. Con $x = \cos t$, $y = \sin t$, $dx = -\sin t\,dt$, $dy = \cos t\,dt$: $$\int_0^{2\pi}\left(-\sin^2t\cdot(-\sin t) + \cos t\cos t\right)dt = \int_0^{2\pi}\left(\sin^3t + \cos^2t\right)dt.$$ Si calcolano gli integrali: $\int_0^{2\pi}\sin^3t\,dt = 0$ (funzione dispari rispetto al centro del periodo: $\sin^3t = \sin t\,(1 - \cos^2t)$, con primitiva $-\cos t + \frac{\cos^3t}{3}$ che vale lo stesso agli estremi) e $\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt = \pi$. Totale $\pi$.

Alternativa con Green. $\oint(-y^2\,dx + x\,dy) = \iint_{x^2+y^2\le1}\left(\frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y^2)}{\partial y}\right)dx\,dy = \iint(1 + 2y)\,dx\,dy = \pi + 0 = \pi$ (l'integrale di $2y$ sul disco simmetrico rispetto all'asse $x$ è nullo).

3. Risultato

$$\boxed{\iint_S\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma = \pi.}$$

Controllo con il rotore. $\operatorname{rot}\mathbf F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2,\ \partial_zF_1 - \partial_xF_3,\ \partial_xF_2 - \partial_yF_1) = (0 - 0,\ 0 - 0,\ 1 - (-2y)) = (0, 0, 1 + 2y)$. Con una superficie qualsiasi con lo stesso bordo, per esempio il disco piatto $z = 2 - y$ (il piano inclinato tagliato dal cilindro), con $\mathbf n\,d\sigma = (0, 1, 1)\,dx\,dy$ (cioè $\mathbf N = (-g_x, -g_y, 1)$ con $g = 2 - y$: $(0, 1, 1)$), il flusso è $\iint(0, 0, 1 + 2y)\cdot(0, 1, 1)\,dx\,dy = \iint(1 + 2y)\,dx\,dy = \pi$: lo stesso valore, come previsto dal fatto che il flusso del rotore dipende solo dal bordo.

Errori comuni. Provare a calcolare il flusso direttamente sulla superficie con $z = 2 - y(x^2 + y^2)^4$; dimenticare di includere il termine $z\,dz$ nella circuitazione (qui contribuisce $0$, ma bisogna dirlo); percorrere il bordo in senso orario (segno opposto); usare $x^2 + y^2 \le 1$ al posto di $x^2 + y^2 = 1$ nella ricerca del bordo.