Metodo di variazione delle costanti

Prerequisiti: Equazioni differenziali lineari del secondo ordiney'' + a1(t)y' + a0(t)y = b(t) con coefficienti continui su un intervallo: le soluzioni sono definite su tutto l'intervallo e il problema di Cauchy con y(t0), y'(t0) ha una sola soluzione. L'integrale generale dell'omogenea è c1 y1 + c2 y2 con y1, y2 soluzioni linearmente indipendenti (controllo con il wronskiano); quello della completa è yp + c1 y1 + c2 y2, con yp una soluzione particolare. Stessa struttura per ogni ordine n.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine →, Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →, Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa →.

Struttura della soluzione

Per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine nella forma normale: $$y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t)$$ l'integrale generale è dato dalla somma della soluzione dell'equazione omogenea associata ($y_0(t)$) e di una soluzione particolare dell'equazione completa ($y_p(t)$): $$y(t) = y_0(t) + y_p(t) = C_1 y_1(t) + C_2 y_2(t) + y_p(t)$$ dove $y_1, y_2$ sono due soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea. Il metodo di variazione delle costanti, noto anche come metodo di Lagrange, permette di determinare $y_p$ anche quando il termine noto $f(t)$ non è compatibile con il metodo di somiglianzaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → (ad esempio se $f(t) = \tan(t)$ o $f(t) = \frac{1}{t}$), e anche quando i coefficienti $a(t)$, $b(t)$ non sono costanti, purché si conoscano $y_1$ e $y_2$.

Il metodo di Lagrange

Si cerca una soluzione particolare imponendo che le costanti $C_1, C_2$ diventino funzioni del tempo $C_1(t), C_2(t)$: $$y_p(t) = C_1(t)y_1(t) + C_2(t)y_2(t)$$ Derivando $y_p(t)$ si ottiene: $$y_p' = C_1 y_1' + C_2 y_2' + (C_1' y_1 + C_2' y_2)$$ Le funzioni incognite sono due e l'equazione da soddisfare è una sola: c'è libertà di imporre una condizione in più. La si sceglie in modo che $y_p'$ non contenga $C_1'$ e $C_2'$, così che $y_p''$ contenga solo derivate prime delle $C_i$:

Condizione di vincolo. Si impone la condizione $C_1' y_1 + C_2' y_2 = 0$.

Allora $y_p' = C_1y_1' + C_2y_2'$ e $y_p'' = C_1y_1'' + C_2y_2'' + C_1'y_1' + C_2'y_2'$. Sostituendo nell'equazione e raccogliendo: $$C_1\underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=0} + C_2\underbrace{(y_2'' + ay_2' + by_2)}_{=0} + C_1'y_1' + C_2'y_2' = f$$ Le parentesi sono nulle perché $y_1$ e $y_2$ risolvono l'omogenea. Resta $C_1'y_1' + C_2'y_2' = f$: insieme alla condizione imposta si ottiene il sistema lineare per le derivate delle incognite $C_1'(t)$ e $C_2'(t)$:

Sistema di variazione delle costanti. $$\begin{cases} C_1' y_1 + C_2' y_2 = 0 \\ C_1' y_1' + C_2' y_2' = f(t) \end{cases}$$

Il determinante della matrice dei coefficienti è il Wronskianodeterminante della matrice formata dalle soluzioni $y_1, y_2$ e dalle loro derivate, $W(t) = y_1 y_2' - y_2 y_1'$. Poiché $y_1, y_2$ sono linearmente indipendenti, $W(t) \neq 0$ e il sistema ammette sempre un'unica soluzione.

Soluzione tramite integrale

Applicando la regola di Cramer, si isolano $C_1'$ e $C_2'$: $$C_1'(t) = -\frac{y_2(t)f(t)}{W(t)}, \quad C_2'(t) = \frac{y_1(t)f(t)}{W(t)}$$ Integrando queste espressioni, si ottengono le funzioni $C_1(t)$ e $C_2(t)$: $$C_1(t) = \int -\frac{y_2(t)f(t)}{W(t)} dt, \quad C_2(t) = \int \frac{y_1(t)f(t)}{W(t)} dt$$

Basta una primitiva qualsiasi: aggiungere costanti a $C_1$ e $C_2$ significa aggiungere a $y_p$ una soluzione dell'omogenea, già contenuta nell'integrale generale.

Formula integrale. Scegliendo le primitive che si annullano in $t_0$ e raccogliendo: $$y_p(t) = \int_{t_0}^t \frac{y_1(s)y_2(t) - y_1(t)y_2(s)}{W(s)}\,f(s)\,ds$$ è la soluzione con $y_p(t_0) = y_p'(t_0) = 0$. Per $y'' + y = f(t)$, con $y_1 = \cos t$, $y_2 = \sin t$ e $W = 1$, il numeratore è $\cos s\sin t - \cos t\sin s = \sin(t - s)$: $$y_p(t) = \int_{t_0}^t \sin(t - s)\,f(s)\,ds$$ La funzione che moltiplica $f(s)$ (qui $\sin(t-s)$) si chiama funzione di Green: dipende solo dall'omogenea, non dal termine noto. Anche quando le primitive non sono elementari, la formula dà la soluzione come integrale, calcolabile numericamente.

Esempio svolto

Risolvere $y'' + y = \frac{1}{\sin(t)}$ nell'intervallo $I = (0, \pi)$.

1. Omogenea: $y'' + y = 0 \implies \lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda = \pm i$. Soluzioni indipendenti: $y_1 = \cos(t), y_2 = \sin(t)$.
2. Wronskiano: $W = (\cos t)(\cos t) - (\sin t)(-\sin t) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$.
3. Sistema: $$\begin{cases} C_1' \cos t + C_2' \sin t = 0 \\ -C_1' \sin t + C_2' \cos t = \frac{1}{\sin t} \end{cases}$$
4. Cramer: $C_1' = -\frac{y_2 f}{W} = -\sin t\cdot\frac{1}{\sin t} = -1$, $\quad C_2' = \frac{y_1f}{W} = \frac{\cos t}{\sin t}$. Integrando: $C_1 = -t$, $C_2 = \ln|\sin t| = \ln\sin t$ (su $(0, \pi)$ il seno è positivo; $\frac{\cos t}{\sin t}$ è la derivata di $\ln\sin t$). Soluzione particolare: $y_p = -t \cos(t) + \sin(t) \ln(\sin t)$.
5. Integrale generale su $(0, \pi)$: $y = C_1\cos t + C_2\sin t - t\cos t + \sin t\,\ln(\sin t)$. L'intervallo è $(0, \pi)$ perché $\frac{1}{\sin t}$ non è definita in $0$ e in $\pi$: la soluzione vive sull'intervallo in cui il termine noto è continuo che contiene il dato iniziale.

Il metodo di somiglianza qui non funziona: $\frac{1}{\sin t}$ non è del tipo polinomio per esponenziale per seno o coseno.

Esempio con radice doppia

$y'' - 6y' + 9y = \dfrac{e^{3t}}{t}$, per $t > 0$.

1. Omogenea: $\lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda - 3)^2$, radice doppia $3$: $y_1 = e^{3t}$, $y_2 = te^{3t}$.
2. Wronskiano: $W = e^{3t}(e^{3t} + 3te^{3t}) - te^{3t}\cdot 3e^{3t} = e^{6t}$.
3. Cramer: $C_1' = -\frac{te^{3t}\cdot e^{3t}/t}{e^{6t}} = -1$, $\quad C_2' = \frac{e^{3t}\cdot e^{3t}/t}{e^{6t}} = \frac1t$.
4. Integrando: $C_1 = -t$, $C_2 = \ln t$, quindi $y_p = -te^{3t} + t\ln t\,e^{3t}$.
5. Il termine $-te^{3t}$ è una soluzione dell'omogenea e si può assorbire nelle costanti: $y = C_1e^{3t} + C_2te^{3t} + t\ln t\,e^{3t}$.

Cenno al primo ordine

Per un'equazione del primo ordine $y' = a(t)y + b(t)$ l'omogenea ha soluzioni $Ce^{A(t)}$, con $A$ primitiva di $a$. Cercando $y_p = C(t)e^{A(t)}$: $$C'e^{A} + Ca\,e^{A} = a\,Ce^{A} + b \ \Rightarrow\ C' = e^{-A(t)}b(t)$$ cioè $C(t) = \int e^{-A}b$: si ritrova la formula risolutiva di Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →. Lo stesso metodo vale per i sistemi lineari (Sistemi di equazioni differenziali lineariSistema lineare Y' = A(t)Y + B(t): con A, B continue su I il problema di Cauchy ha una sola soluzione, definita su tutto I. Le soluzioni dell'omogeneo formano uno spazio di dimensione n (colonne di una matrice fondamentale, wronskiano ≠ 0). A coefficienti costanti: Y = e^(λt)V con λ autovalore e V autovettore di A; con λ = α ± iβ si prendono parte reale e immaginaria. Y(t) = e^(tA)Y0, con e^(tA) = P e^(tD) P⁻¹ se A = PDP⁻¹. Un'equazione di ordine n equivale a un sistema con la matrice compagna.Sistemi di equazioni differenziali lineari →).

Esercizi con il metodo di somiglianza: Esercizi - equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Errori comuni

• Segni nel sistema: Errore nel calcolo del Wronskiano o scambio di segno nelle formule di Cramer.
• Costanti di integrazione: le funzioni $C_1(t), C_2(t)$ si ottengono per integrazione indefinita; non è necessario aggiungere costanti di integrazione, poiché sono già presenti nell'omogenea.
• Equazione non in forma normale: il secondo membro del sistema è il termine noto dell'equazione con coefficiente di $y''$ uguale a $1$. Per $t^2y'' + \dots = g(t)$ si divide prima per $t^2$.
• Campo di esistenza: Ignorare gli intervalli in cui $f(t)$ o le soluzioni dell'omogenea presentano singolarità (es. punti in cui $W(t)=0$ o $\sin(t)=0$).