Differenziabilità e gradiente

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Prerequisiti: Derivate parziali e derivate direzionali, Asintoticità e o-piccolo per funzioni.

In una variabile, $f$ derivabile in $x_0$ significa $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$ : vicino a $x_0$ la funzione è approssimata dalla retta tangente con un errore trascurabile. In più variabili le derivate parziali da sole non danno questa proprietà (si è visto che non garantiscono neppure la continuità). La si chiede allora come definizione.

Definizione di funzione differenziabile

Una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è differenziabile in un punto $x_0$ interno ad $A$ se esiste un vettore $a = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n$ tale che l'incremento della funzione possa essere approssimato linearmente:

$f(x) = f(x_0) + a \cdot (x - x_0) + o(\|x - x_0\|) \quad \text{per } x \to x_0$

dove $a \cdot (x - x_0)$ è il differenziale e $o(\|x - x_0\|)$ è una funzione o-piccolo che descrive l'errore di approssimazione.

Teorema. Se $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora il vettore $a$ è univocamente determinato ed è pari al gradiente di $f$ in $x_0$ , ovvero $a = \nabla f(x_0)$ . Inoltre, $f$ è derivabile e continua in $x_0$ .

Perché.

Continuità: per $x \to x_0$ si ha $a \cdot (x - x_0) \to 0$ e $o(\|x - x_0\|) \to 0$ , quindi $f(x) \to f(x_0)$ .
$a = \nabla f(x_0)$ : si prende $x = x_0 + h e_i$ (ci si muove lungo l'asse $i$ ). Allora $a \cdot (x - x_0) = h a_i$ e $\frac{f(x_0 + he_i) - f(x_0)}{h} = a_i + \frac{o(|h|)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} a_i$ quindi la derivata parziale $i$ -esima esiste e vale $a_i$ .

In due variabili, posto $h = x - x_0$ e $k = y - y_0$ , la definizione si riscrive come un limite da verificare: $\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - f_x(x_0, y_0)\,h - f_y(x_0, y_0)\,k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$ È il test di differenziabilità: prima si calcolano le derivate parziali (se non esistono, $f$ non è differenziabile), poi si controlla questo limite con i metodi di Limiti e continuità per funzioni di più variabili.

Gradiente e piano tangente

Il gradiente è il vettore delle derivate parziali, $\nabla f(x_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \right)$ (vedi Derivate parziali e derivate direzionali). Se la funzione è differenziabile, il piano tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$ è dato dall'equazione:

$z = f(x_0) + \nabla f(x_0) \cdot (x - x_0)$

In due variabili, esplicitamente: $z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0)$

È il piano che passa per il punto del grafico e ha, lungo i due assi, le stesse pendenze della superficie. La differenziabilità dice che la distanza verticale tra grafico e piano è $o(\|x - x_0\|)$ , cioè trascurabile rispetto alla distanza da $x_0$ .

Esempio. $f(x, y) = x^2 + y^2$ in $(1, 2)$ : $f(1, 2) = 5$ , $f_x = 2x = 2$ , $f_y = 2y = 4$ . Piano tangente: $z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$ , cioè $z = 2x + 4y - 5$ .

Condizione sufficiente

Non sempre l'esistenza delle derivate parziali garantisce la differenziabilità. Si utilizza quindi il criterio di classe $C^1$ :

Teorema del differenziale totale. Se $f$ ammette derivate parziali in un intorno di $x_0$ e queste sono continue in $x_0$ , allora $f$ è differenziabile in $x_0$ .

Una funzione le cui derivate parziali sono continue in ogni punto di un aperto si dice di classe C^1.

Derivata direzionale e gradiente

Per una funzione differenziabile, la derivata lungo una direzione $v$ (con $\|v\|=1$ ) non deve essere calcolata necessariamente tramite il limite del rapporto incrementale:

Formula del gradiente. Se $f$ è differenziabile in $x_0$ , allora per ogni versore $v$ esiste la derivata direzionale $D_v f(x_0)$ ed è data da: $D_v f(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v$

Perché. Si prende $x = x_0 + hv$ nella definizione: $\|x - x_0\| = |h|$ (perché $\|v\| = 1$ ) e $\frac{f(x_0 + hv) - f(x_0)}{h} = \frac{h\,\nabla f(x_0) \cdot v + o(|h|)}{h} \to \nabla f(x_0) \cdot v$

Interpretazione geometrica

Massima crescita: Il gradiente $\nabla f(x_0)$ punta nella direzione di massima crescita della funzione. Il valore della massima pendenza è dato da $\|\nabla f(x_0)\|$ .

Perché: se $\theta$ è l'angolo tra $\nabla f(x_0)$ e il versore $v$ , $D_v f(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v = \|\nabla f(x_0)\| \cos\theta$ . È massima per $\theta = 0$ ( $v$ concorde al gradiente, valore $\|\nabla f\|$ ), minima per $\theta = \pi$ (direzione opposta, valore $-\|\nabla f\|$ ) e nulla per $\theta = \frac{\pi}{2}$ .
Ortogonalità: Il gradiente è ortogonale alla curva di livello passante per $x_0$ .

Perché: lungo la curva di livello $f$ è costante, quindi la derivata nella direzione tangente alla curva è $0$ ; per il punto 1 quella direzione forma un angolo retto con il gradiente.

Esempio. $f(x, y) = x^2 + y^2$ in $(1, 2)$ : $\nabla f = (2, 4)$ , che punta in direzione radiale verso l'esterno, perpendicolare alla circonferenza di livello $x^2 + y^2 = 5$ . La massima pendenza è $\|(2,4)\| = \sqrt{20} = 2\sqrt5$ ; lungo la tangente alla circonferenza, per esempio $v = \frac{1}{\sqrt5}(2, -1)$ , la derivata è $\frac{4 - 4}{\sqrt5} = 0$ .

Esempio numerico svolto

Si consideri $f(x, y) = e^{xy} + x^2y$ . Verifichiamo la differenziabilità in $(1, 1)$ .

Calcolo le derivate parziali: $\frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy} + 2xy$ $\frac{\partial f}{\partial y} = xe^{xy} + x^2$
In $(1, 1)$ : $f_x(1,1) = e + 2$ , $f_y(1,1) = e + 1$ .
Le derivate parziali sono funzioni elementari continue su tutto $\mathbb{R}^2$ . Per il teorema del differenziale totale, $f$ è differenziabile in $(1, 1)$ (anzi in ogni punto).
Piano tangente in $(1, 1)$ : $f(1, 1) = e + 1$ , quindi $z = e + 1 + (e + 2)(x - 1) + (e + 1)(y - 1)$ .

Esercizio: una funzione derivabile, continua ma non differenziabile

$f(x, y) = \dfrac{\sin(xy)}{y}$ per $y \neq 0$ , $f(x, 0) = 0$ . Si studia l'origine.

Continuità. Con $|\sin t| \leq |t|$ : $\ |f(x, y)| \leq \frac{|xy|}{|y|} = |x| \to 0$ (per $y = 0$ la funzione è $0$ ). Quindi $f$ è continua in $(0, 0)$ .
Derivate parziali. $f(h, 0) = 0$ , quindi $f_x(0,0) = 0$ . $f(0, h) = \frac{\sin 0}{h} = 0$ , quindi $f_y(0, 0) = 0$ .
Differenziabilità. Il piano candidato è $z = 0$ ; bisogna vedere se $\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} \to 0$ . Lungo $k = mh$ con $m \neq 0$ , usando $\sin t \sim t$ : $\frac{\sin(mh^2)}{mh\,\sqrt{h^2(1+m^2)}} \sim \frac{mh^2}{mh\,|h|\sqrt{1+m^2}} = \frac{h}{|h|}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}$ che vale $\pm\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}$ a seconda del segno di $h$ : non tende a $0$ . La funzione non è differenziabile nell'origine, pur essendo continua e derivabile.

Funzioni con un parametro nell'esponente: la procedura in quattro passi

Nei temi d'esame la funzione è quasi sempre del tipo $f(x,y)=\frac{g(x,y)}{(x^2+y^2)^a}$ in $(0,0)$ (con $f(0,0)=0$ ), o contiene valori assoluti e radici, e si chiede per quali valori del parametro $f$ è continua, derivabile, differenziabile. Si procede così.

Forma polare. Si pone $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ; il numeratore, omogeneo di grado $p$ (cioè $g\approx r^p\,h(\theta)$ con $h$ limitata e non nulla), dà $f\approx r^{\,p-2a}\,h(\theta)$ . Se compaiono $\log(1-x)$ , $\sin x$ , $e^x-1$ ecc., si sostituisce con il loro equivalente ( $-x$ , $x$ , $x$ ) e si controlla che il fattore residuo tenda a $1$ (limitato).
Continuità: $f\to0$ se e solo se $p-2a>0$ . Per $p=2a$ il limite dipende da $\theta$ (non esiste, a meno che $h\equiv0$ ); per $p<2a$ diverge.
Derivate parziali in $(0,0)$ : con la definizione, perché $f(0,0)$ è dato a parte. Se $f$ si annulla sugli assi, $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ per ogni valore del parametro (anche dove $f$ non è continua).
Differenziabilità: il limite da studiare è $\frac{f}{r}\approx r^{\,p-2a-1}\,h(\theta)$ (il gradiente è nullo): tende a $0$ se e solo se $p-2a-1>0$ , cioè $a<\frac{p-1}{2}$ . Quindi la soglia di differenziabilità è sempre più bassa di $\frac12$ di quella di continuità.

Esempio completo (con $p=3$ : continua per $a<\frac32$ , differenziabile per $a<1$ ): Esercizio - continuità e differenziabilità con un parametro (tema d'esame novembre 2012).

Valori assoluti e radici. Per $f_\alpha(x,y)=\sqrt{|x|^\alpha|y|}$ le derivate parziali in $0$ valgono $0$ (la funzione si annulla sugli assi), ma la derivata nella direzione $(v,w)$ è il limite di $\frac{|t|^{(\alpha+1)/2}}{t}\sqrt{|v|^\alpha|w|}$ : esiste solo se $\alpha>1$ . Se una derivata direzionale non esiste, $f$ non può essere differenziabile (Esercizio - derivate e differenziabilità di una radice con valori assoluti (tema d'esame febbraio 2013)).

Errori comuni

Scambiare le implicazioni: La derivabilità non implica la differenziabilità. Il controesempio classico è $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ (con $f(0,0)=0$ ), che è derivabile nell'origine ma non continua, dunque non differenziabile.
Dimenticare il versore: Nel calcolo di $D_v f = \nabla f \cdot v$ , il vettore $v$ deve essere sempre un versore ( $\|v\|=1$ ). Se la direzione è data da un vettore non unitario, bisogna prima normalizzarlo.
Condizione sufficiente scambiata per necessaria: La continuità delle derivate parziali è sufficiente ma non necessaria. Una funzione può essere differenziabile anche se le derivate parziali sono discontinue (per esempio $(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ nell'origine): in quel caso si usa il test con il limite.
Fermarsi alle derivate parziali: trovare $f_x(0,0)$ e $f_y(0,0)$ non basta; bisogna ancora verificare il limite del test di differenziabilità.

Versione ripasso