Integrali tripli e coordinate cilindriche e sferiche

Prerequisiti: Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →, Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →.

Definizione di integrale triplo

Dato un solido $R \subseteq \mathbb{R}^3$ limitato e una funzione continua $f: R \to \mathbb{R}$, l'integrale triplo è il limite delle somme di Riemann associato a una partizione del solido in cubetti di volume $\Delta V$. Si indica come: $$\iiint_R f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz$$ Se $f(x, y, z) = 1$, l'integrale rappresenta il volume del solido: $V(R) = \iiint_R 1 \, dV$. Se $f$ è una densità (massa per unità di volume), l'integrale è la massa del solido. Le proprietà (linearità, monotonia, additività) sono le stesse dell'integrale doppio.

Formule di riduzione

Il calcolo effettivo si esegue riducendo l'integrale triplo a tre integrali singoli in cascata, analogamente a quanto visto per gli Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →.

Integrazione per fili

Se il solido $R$ è descritto come $R = \{ (x,y,z) : (x,y) \in D, \phi_1(x,y) \leq z \leq \phi_2(x,y) \}$, dove $D$ è la proiezione di $R$ sul piano $xy$, allora: $$\iiint_R f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \iint_D \left( \int_{\phi_1(x,y)}^{\phi_2(x,y)} f(x, y, z) \, dz \right) dx \, dy$$

Si fissa un punto $(x, y)$ dell'"ombra" $D$ e si integra lungo il filo verticale che attraversa il solido, dal "pavimento" $z = \phi_1$ al "soffitto" $z = \phi_2$; poi si integra il risultato su $D$, con le tecniche degli integrali doppi. Con $f = 1$ l'integrale interno è l'altezza $\phi_2 - \phi_1$ e si ritrova il volume come integrale doppio dell'altezza.

Integrazione per strati

Se per ogni $z \in [a, b]$ si conosce la sezione orizzontale $R_z = \{(x, y) : (x, y, z) \in R\}$, allora $$\iiint_R f\,dx\,dy\,dz = \int_a^b \left(\iint_{R_z} f(x, y, z)\,dx\,dy\right) dz$$ Conviene quando le sezioni sono figure semplici (dischi, rettangoli) e soprattutto quando $f$ dipende solo da $z$: allora l'integrale interno è $f(z)\cdot\text{Area}(R_z)$.

Esempio (volume della sfera per strati). Nella palla $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$ la sezione a quota $z \in [-R, R]$ è il disco di raggio $\sqrt{R^2 - z^2}$, di area $\pi(R^2 - z^2)$: $$V = \int_{-R}^{R}\pi(R^2 - z^2)\,dz = \pi\left(2R^3 - \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3$$

Coordinate cilindriche

Le coordinate cilindriche $(r, \theta, z)$ sono utili per domini che presentano una simmetria rispetto all'asse $z$. La trasformazione è: $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z$$ con $r \geq 0$, $\theta \in [0, 2\pi]$ e $z \in \mathbb{R}$: sono le coordinate polari nel piano $xy$ più la quota $z$, e $r$ è la distanza dall'asse $z$. Lo jacobiano (vedi Matrice jacobiana e derivata delle funzioni compostePer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte →) risulta $|J| = r$, pertanto l'elemento di volume è $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$. Il teorema del cambiamento di variabili è lo stesso del caso doppio, con il determinante della jacobiana $3 \times 3$.

Superfici che diventano semplici: il cilindro $x^2 + y^2 = a^2$ è $r = a$; il paraboloide $z = x^2 + y^2$ è $z = r^2$; il cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ è $z = r$.

Esempio: Volume tra due paraboloidi Si calcoli il volume racchiuso tra $z = x^2 + y^2$ e $z = 4 - x^2 - y^2$.

1. Intersezione: $x^2 + y^2 = 4 - (x^2 + y^2) \implies 2(x^2 + y^2) = 4 \implies x^2 + y^2 = 2$. La proiezione sul piano $xy$ è un disco di raggio $\sqrt{2}$.
2. Passaggio a cilindriche: $z_{inf} = r^2$ e $z_{sup} = 4 - r^2$ (sopra il disco il secondo paraboloide sta sopra il primo: per $r = 0$ vale $4 > 0$).
3. Integrale: $$\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} r \left( \int_{r^2}^{4-r^2} dz \right) dr = 2\pi \int_0^{\sqrt{2}} r(4 - 2r^2) \, dr = 2\pi [2r^2 - \frac{1}{2}r^4]_0^{\sqrt{2}} = 2\pi(4 - 2) = 4\pi$$

Coordinate sferiche

Le coordinate sferiche $(\rho, \theta, \phi)$ descrivono punti tramite distanza dall'origine e angoli: $$x = \rho \sin \phi \cos \theta, \quad y = \rho \sin \phi \sin \theta, \quad z = \rho \cos \phi$$ con $\rho \geq 0$, $\theta \in [0, 2\pi]$ e $\phi \in [0, \pi]$. Qui $\rho$ è la distanza dall'origine, $\phi$ l'angolo con il semiasse $z$ positivo (latitudine misurata dal polo nord) e $\theta$ lo stesso angolo delle cilindriche (longitudine). Lo jacobiano è $|J| = \rho^2 \sin \phi$, quindi $dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$.

Il fattore si capisce come in polari: il "cubetto" sferico ha lati $d\rho$ (radiale), $\rho\,d\phi$ (arco di meridiano) e $\rho\sin\phi\,d\theta$ (arco di parallelo, che ha raggio $\rho\sin\phi$). Superfici semplici: la sfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ è $\rho = R$; il cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ è $\phi = \frac\pi4$.

Esempio: volume della sfera. $$V = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^R \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = 2\pi \cdot \left[-\cos\phi\right]_0^\pi \cdot \frac{R^3}{3} = 2\pi\cdot 2\cdot\frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3$$

Esempio: baricentro della semisfera $x^2 + y^2 + z^2 \le R^2$, $z \ge 0$, omogenea. Per simmetria $\bar x = \bar y = 0$. Il volume è $\frac23\pi R^3$ e $$\iiint z\,dV = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^R \rho\cos\phi\cdot\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = 2\pi\cdot\frac12\cdot\frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{4}$$ ($\int_0^{\pi/2}\sin\phi\cos\phi\,d\phi = \frac12$). Quindi $\bar z = \dfrac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \dfrac{3}{8}R$.

Solidi di rotazione e assi diversi dall'asse $z$

Volume di un solido di rotazione. Se si ruota attorno all'asse $x$ la regione del piano compresa tra i grafici $0\le r_1(x)\le r_2(x)$, per $x\in[a,b]$, la sezione a quota $x$ è una corona circolare di raggi $r_1(x)$ e $r_2(x)$ (un disco se $r_1=0$), di area $\pi\left(r_2^2-r_1^2\right)$, e per strati $$V=\pi\int_a^b\left(r_2(x)^2-r_1(x)^2\right)dx.$$ Per esempio, il cono ottenuto ruotando il segmento $r(x)=\frac{R}{h}x$, $x\in[0,h]$, ha $V=\pi\int_0^h\frac{R^2}{h^2}x^2\,dx=\frac{\pi R^2h}{3}$.

Teorema di Guldino per i volumi. Se la regione piana $A$ sta tutta da una parte dell'asse di rotazione e il suo baricentro è a distanza $d$ dall'asse, il solido ottenuto ruotando di $2\pi$ ha volume $V=2\pi\,d\cdot\text{Area}(A)$. Per il toro ottenuto ruotando un disco di raggio $a$ con il centro a distanza $b>a$ dall'asse: $V=2\pi b\cdot\pi a^2=2\pi^2a^2b$.

L'asse del solido non è sempre $z$. Le coordinate cilindriche e sferiche valgono con qualunque asse: basta scambiare i nomi delle variabili. Se il solido è simmetrico attorno all'asse $y$ (come $x^2+z^2\le y^2$, un cono con asse $y$), si usano $x=\rho\cos\theta$, $z=\rho\sin\theta$ e $y$ come "quota", con $dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dy$; e per strati la sezione a quota $y$ è il disco $x^2+z^2\le y^2$, di raggio $y$. In generale: si legge l'asse dalla combinazione di variabili che compare, $x^2+z^2$ indica l'asse $y$.

Solido come differenza di due solidi. Quando $E=C\cap D$ con $D$ esterno di una palla, conviene calcolare $|C|-|C\cap\text{palla}|$, oppure fare gli strati con sezioni a corona. Un esempio con un cono e una palla tangente (con asse $y$) è in Esercizio - volume di un cono privato di una palla (tema d'esame novembre 2012).

Applicazioni fisiche: Massa e Momento d'inerzia

Se $\delta(x,y,z)$ è la densità di un corpo, la massa totale è $M = \iiint_R \delta \, dV$ e il baricentro ha coordinate $\bar x = \frac1M\iiint_R x\,\delta\,dV$ (e simili per $y$, $z$). Il momento d'inerzia rispetto all'asse $z$ è: $$I_z = \iiint_R (x^2 + y^2) \delta(x, y, z) \, dV = \iiint_R r^2 \delta(r, \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz$$

Esempio: Momento d'inerzia di un cono Si prende il cono pieno con il vertice nell'origine e l'asse lungo $z$, delimitato dalla superficie laterale $z = ar$ e dal piano $z = H$ (la base, di raggio $R_{base} = H/a$, sta in alto). A quota $z$ la sezione è il disco di raggio $z/a$, quindi la regione è $0 \leq z \leq H$, $0 \leq r \leq z/a$; densità $1$. Si integra per strati, prima in $r$: $$I_z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^H dz \int_0^{z/a} r^2 \cdot r \, dr = 2\pi \int_0^H [\frac{r^4}{4}]_0^{z/a} \, dz = \frac{\pi}{2a^4} \int_0^H z^4 \, dz = \frac{\pi H^5}{10a^4}$$ Con $a = H/R_{base}$ si ottiene $I_z = \frac{\pi H R_{base}^4}{10}$; dato che la massa è il volume $M = \frac13\pi R_{base}^2 H$, si può scrivere $I_z = \frac{3}{10}MR_{base}^2$.

Un esercizio di impostazione su una porzione di sfera: Esercizio - impostazione di un integrale triplo su una porzione di sfera.

Errori comuni

• Dimenticare lo jacobiano: È l'errore più grave. In cilindriche aggiungere sempre il fattore $r$, in sferiche il fattore $\rho^2 \sin \phi$.
• Limiti di integrazione: Quando si integra per fili, i limiti di $z$ devono dipendere dalle variabili rimanenti ($x, y$ o $r, \theta$), non essere costanti a meno che il dominio non sia un parallelepipedo.
• Scelta delle coordinate: Non forzare coordinate sferiche su solidi che non hanno simmetria radiale rispetto all'origine; spesso le cilindriche risultano più naturali per oggetti allungati.