FormularioAnalisi Matematica 2: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

1. Topologia e funzioni di più variabili

Topologia di Rn

Definizione (norma euclidea). La norma di un vettore $X \in \mathbb{R}^n$ è la sua lunghezza, cioè la distanza dall'origine: $$\|X\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$$

Definizione (distanza). La distanza tra due punti $X, Y \in \mathbb{R}^n$ è la norma del vettore differenza: $$d(X, Y) = \|X - Y\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$$

Definizione (palla aperta, intorno). La palla aperta di centro $X_0$ e raggio $r > 0$ è l'insieme dei punti che distano da $X_0$ meno di $r$: $$B(X_0, r) = \{X \in \mathbb{R}^n : \|X - X_0\| < r\}$$ Un intorno di $X_0$ è un insieme che contiene una palla aperta centrata in $X_0$.

Funzioni di più variabili e insiemi di livello

Definizione. Una funzione reale di $n$ variabili reali è una legge $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ che associa a ogni punto $X = (x_1, \dots, x_n) \in D$ un unico numero reale $f(X)$.

Definizione. Il dominio naturale di $f$ è l'insieme dei punti $X \in \mathbb{R}^n$ in cui l'espressione di $f$ ha senso.

Definizione. Il grafico di $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è l'insieme $$G_f = \{(X, f(X)) : X \in D\} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$$

Definizione. L'insieme di livello $c$ di $f$ è $$L_c = \{X \in D : f(X) = c\}$$ Per $n = 2$ si chiama curva di livello: è la proiezione sul piano $xy$ dell'intersezione del grafico con il piano orizzontale $z = c$. Per $n = 3$ è in genere una superficie.

Limiti e continuità per funzioni di più variabili

Definizione (Limite). Si dice che $\lim_{X \to X_0} f(X) = L$ se per ogni successione $\{X_n\} \subseteq D \setminus \{X_0\}$ tale che $X_n \to X_0$, si ha $f(X_n) \to L$.

Equivalentemente, utilizzando la definizione $\epsilon-\delta$: $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $\forall X \in D, 0 < \|X - X_0\| < \delta \implies |f(X) - L| < \epsilon$.

Teorema (condizione necessaria). Se $\lim_{X \to X_0} f(X) = L$, allora per ogni curva $\gamma(t)$ contenuta nel dominio, con $\gamma(t) \to X_0$ e $\gamma(t) \neq X_0$, si ha $\lim_{t \to 0} f(\gamma(t)) = L$.

Definizione. Una funzione $f: D \to \mathbb{R}$ è continua in $X_0 \in D$ se: $$\lim_{X \to X_0} f(X) = f(X_0)$$ Se $X_0$ è un punto isolato, la funzione è sempre continua in $X_0$.

2. Calcolo differenziale in più variabili

Derivate parziali e derivate direzionali

Definizione. Sia $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione e $x_0$ un punto interno a $D$. La derivata parziale di $f$ rispetto alla variabile $x_i$ nel punto $x_0$ è il limite: $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h e_i) - f(x_0)}{h}$$ dove $e_i$ è l'$i$-esimo versorevettore di norma unitaria della base canonica.

Definizione. Se esistono tutte le derivate parziali di $f$ in $x_0$, si dice che la funzione è derivabile in $x_0$. Il vettore che le raccoglie è il gradiente, indicato con il simbolo $\nabla$ (si legge "nabla"): $$\nabla f(x_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \right)$$

Definizione. La derivata direzionale di $f$ in $x_0$ lungo il versore $v$ è il limite: $$\frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + hv) - f(x_0)}{h}$$

Teorema. Se $f$ è differenziabile in $x_0$, allora per ogni versore $v$ la derivata direzionale esiste ed è pari al prodotto scalare tra il gradiente e il versore: $$\frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v$$

Differenziabilità e gradiente

Teorema. Se $f$ è differenziabile in $x_0$, allora il vettore $a$ è univocamente determinato ed è pari al gradiente di $f$ in $x_0$, ovvero $a = \nabla f(x_0)$. Inoltre, $f$ è derivabile e continua in $x_0$.

Teorema del differenziale totale. Se $f$ ammette derivate parziali in un intorno di $x_0$ e queste sono continuefunzioni il cui limite nel punto coincide col valore nel punto in $x_0$, allora $f$ è differenziabile in $x_0$.

Formula del gradiente. Se $f$ è differenziabile in $x_0$, allora per ogni versore $v$ esiste la derivata direzionale $D_v f(x_0)$ ed è data da: $$D_v f(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot v$$

Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte

Definizione. La funzione $F$ è differenziabile in $x_0 \in \Omega$ se ogni sua componente $f_i$ è differenziabile in $x_0$. In tal caso, il differenziale di $F$ in $x_0$ è l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice jacobiana $J_F(x_0)$.

Teorema di invertibilità locale. Sia $F$ una trasformazione regolare. Se $\det(J_F(x_0)) \neq 0$, allora esiste localmente una funzione inversa $F^{-1}$ tale che la sua matrice jacobiana è: $$J_{F^{-1}}(y) = [J_F(x)]^{-1} \quad \text{con } y = F(x)$$

Teorema delle funzioni implicite (Dini)

Teorema. Sia $F: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ in un aperto $A$. Sia $(x_0, y_0) \in A$ tale che:

1. $F(x_0, y_0) = 0$
2. $F_y(x_0, y_0) \neq 0$

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ e una funzione unica $g: U \to \mathbb{R}$ di classe $C^1$ tali che $g(x_0) = y_0$ e $F(x, g(x)) = 0$ per ogni $x \in U$.

Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili

Teorema di Schwarz. Sia $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^2$ in un intorno di $x_0 \in D$. Allora le derivate miste sono uguali in $x_0$: $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(x_0)$$

Definizione. Data $f \in C^2(D)$, la matrice Hessiana $H_f(x_0)$ è la matrice quadrata $n \times n$ definita come: $$H_f(x_0) = \begin{pmatrix} f_{x_1x_1} & \dots & f_{x_1x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_nx_1} & \dots & f_{x_nx_n} \end{pmatrix}$$ Grazie al Teorema di Schwarz, la matrice Hessiana è simmetrica ($H_f = H_f^T$).

Formula di Taylor. Sia $f \in C^2$ in un intorno di $x_0$. Per $h$ sufficientemente piccolo, si ha: $$f(x_0+h) = f(x_0) + \nabla f(x_0) \cdot h + \frac{1}{2} h^T H_f(x_0) h + o(\|h\|^2)$$ dove $h^T H_f h$ è la forma quadraticasomma dei termini a_ij h_i h_j: un polinomio omogeneo di secondo grado nelle componenti di h associata all'Hessiana.

Definizione. Una matrice simmetrica $A$ $n \times n$ è:

• definita positiva se $h^T A h > 0$ per ogni $h \neq 0$;
• definita negativa se $h^T A h < 0$ per ogni $h \neq 0$;
• semidefinita positiva (negativa) se $h^T A h \geq 0$ ($\leq 0$) per ogni $h$, e si annulla per qualche $h \neq 0$;
• indefinita se esistono $h_1, h_2$ con $h_1^T A h_1 > 0$ e $h_2^T A h_2 < 0$.

3. Massimi e minimi

Massimi e minimi liberi in più variabili

Definizione. Punto di massimo (minimo) relativo se esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x) \le f(x_0)$ ($f(x) \ge f(x_0)$) per ogni $x \in U \cap \Omega$.

Teorema (Fermat). Se $x_0$ è un punto di estremo relativo per $f$ e $f$ è differenziabile in $x_0$, allora $\nabla f(x_0) = 0$.

Definizione. Un punto critico $x_0$ è un punto di sella se in ogni suo intorno ci sono punti in cui $f > f(x_0)$ e punti in cui $f < f(x_0)$.

Teorema. Sia $x_0$ un punto critico per $f$.

1. Se $H_f(x_0)$ è definita positiva, allora $x_0$ è un punto di minimo locale.
2. Se $H_f(x_0)$ è definita negativa, allora $x_0$ è un punto di massimo locale.
3. Se $H_f(x_0)$ è indefinita, allora $x_0$ è un punto di sella.
4. Se $H_f(x_0)$ è semidefinita, il test non è risolutivo.

Funzioni convesse in più variabili

Definizione. Sia $C$ convesso. $f:C\to\mathbb{R}$ è convessa se per ogni $x,y\in C$ e $t\in[0,1]$ $$f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)\le t\,f(x)+(1-t)\,f(y).$$ È strettamente convessa se la disuguaglianza è stretta per $x\ne y$ e $t\in\,]0,1[$.

Teorema. Sia $f$ differenziabile su un aperto convesso $C$. Allora $f$ è convessa se e solo se per ogni $x,y\in C$ $$f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)\cdot(y-x).$$

Teorema. Sia $f$ di classe $C^2$ su un aperto convesso $C$.

• $f$ è convessa se e solo se la matrice hessiana $H_f(x)$ è semidefinita positiva in ogni punto $x\in C$.
• Se $H_f(x)$ è definita positiva in ogni punto, $f$ è strettamente convessa. Il viceversa è falso: $f(x)=x^4$ è strettamente convessa ma $f''(0)=0$.

Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti

Teorema di Weierstrass. Sia $D \subset \mathbb{R}^n$ un insieme compatto e $f: D \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora esistono $P_{min}, P_{max} \in D$ tali che $f(P_{min}) \leq f(P) \leq f(P_{max})$ per ogni $P \in D$.

Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange

Teorema. Siano $f, g: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funzioni di classe $C^1$. Sia $P_0$ un punto di estremo locale per $f$ vincolato a $g(x) = c$. Se $\nabla g(P_0) \neq 0$, allora esiste un numero reale $\lambda$ (moltiplicatore di Lagrange) tale che: $$\nabla f(P_0) = \lambda \nabla g(P_0)$$

4. Integrali multipli

Integrali doppi e teorema di Fubini

Definizione. Data una funzione limitata $f$ su un rettangolo $R$, si consideri una partizione $P$ di $R$ in sotto-rettangoli $R_{ij}$. Siano $m_{ij} = \inf_{(x,y) \in R_{ij}} f(x, y)$ e $M_{ij} = \sup_{(x,y) \in R_{ij}} f(x, y)$. Definiamo le somme di Darboux:

• Somma inferiore: $s_f(P) = \sum_{i,j} m_{ij} \cdot \text{Area}(R_{ij})$
• Somma superiore: $S_f(P) = \sum_{i,j} M_{ij} \cdot \text{Area}(R_{ij})$ La funzione $f$ è integrabile se $\sup_P \{s_f(P)\} = \inf_P \{S_f(P)\}$. Il valore comune è l'integrale doppio $\iint_R f(x, y) \, dx \, dy$.

Teorema (di Fubini). Se $f$ è continua su un dominio semplice $D$, l'integrale doppio può essere calcolato come integrale iterato:

• Se $D$ è Y-semplice: $D = \{ (x,y) : x \in [a,b], \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \}$ $$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx$$
• Se $D$ è X-semplice: $D = \{ (x,y) : y \in [c,d], \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \}$ $$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right) dy$$

(con $g_1 \le g_2$ e $h_1 \le h_2$ funzioni continue).

Integrali dipendenti da parametri

Teorema. Se $f$ è continua sul rettangolo chiuso $[a,b]\times[c,d]$, allora $F(y)=\int_a^bf(x,y)\,dx$ è continua su $[c,d]$. In particolare, per ogni $y_0\in[c,d]$, $$\lim_{y\to y_0}\int_a^bf(x,y)\,dx=\int_a^b\lim_{y\to y_0}f(x,y)\,dx=\int_a^bf(x,y_0)\,dx.$$

Teorema (regola di Leibniz). Se $f$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sono continue su $[a,b]\times[c,d]$, allora $F$ è derivabile (anzi $C^1$) su $[c,d]$ e $$F'(y)=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx.$$

Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari

Teorema. Se la funzione $\Phi: D_{uv} \to D_{xy}$ è di classe $\mathcal{C}^1$, biunivoca e con matrice jacobianaPer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte → $J$ invertibile (le tre condizioni possono mancare su un insieme di area nulla, per esempio un segmento del bordo) e $f$ è continua, allora l'integrale di una funzione $f(x, y)$ su $D_{xy}$ si calcola come: $$\iint_{D_{xy}} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D_{uv}} f(\phi(u, v), \psi(u, v)) \cdot |\det J(u, v)| \, du \, dv$$ dove la matrice jacobiana è definita come $J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$.

Definizione. La trasformazione in coordinate polari è definita da: $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$$ con $r \ge 0$ e $\theta \in [0, 2\pi]$. Qui $r = \sqrt{x^2+y^2}$ è la distanza dall'origine e $\theta$ l'angolo con il semiasse $x$ positivo, in senso antiorario.

5. Curve, campi vettoriali e integrali curvilinei

Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie

Definizione. Una curva $\gamma$ è detta regolare se $\gamma \in C^1([a, b])$ e $\gamma'(t) \neq \vec{0}$ per ogni $t \in [a, b]$. È regolare a tratti se $[a, b]$ si divide in un numero finito di intervalli su ciascuno dei quali è regolare (negli estremi dei pezzi può avere spigoli o cuspidi).

Campi vettoriali e lavoro lungo una curva

Definizione. Dato un campo vettoriale continuo $\mathbf{f}$ e una curva regolare $C$ parametrizzata da $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ con $t \in [a, b]$, l'integrale di linea è definito come: $$\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt$$ dove $\mathbf{r}'(t)$ è il vettore tangente alla curva.

Campi conservativi e funzione potenziale

Teorema. Se $\mathbf{F} = \nabla f$ è un campo di classe $C^1$ in un dominio $D$, allora per ogni curva regolare $\gamma$ contenuta in $D$ con punto iniziale $P_0$ e finale $P_1$, vale: $$\int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(P_1) - f(P_0)$$

Teorema. Se $\mathbf{F}$ è di classe $C^1$ e irrotazionale in un dominio semplicemente connesso, allora $\mathbf{F}$ è conservativo.

Divergenza, rotore e flusso nel piano

Definizione. $$\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y},\qquad \operatorname{rot}\mathbf F=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}$$ La seconda è il rotore scalareè la componente lungo l'asse z del rotore del campo tridimensionale (M, N, 0) del campo piano.

Teorema (della divergenza nel piano). Sia $R$ un dominio regolare con bordo $\partial R$ orientato positivamente (antiorario, buchi in senso orario) e $\mathbf F=(M,N)$ di classe $C^1$ su $R$. Allora $$\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F\,dx\,dy .$$

6. Serie di funzioni e serie di potenze

Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni

Definizione. La successione $(f_n)$ converge puntualmente a una funzione limite $f: E \to \mathbb{R}$ se, per ogni $x \in E$ fissato, la successione numerica $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $f(x)$: $$\forall x \in E, \quad \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$ In forma quantificata: $$\forall x \in E, \ \forall \epsilon > 0, \ \exists n_0 = n_0(\epsilon, x) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } \forall n \ge n_0 \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Definizione. La successione $(f_n)$ converge uniformemente a $f: E \to \mathbb{R}$ su $E$ se l'indice soglia $n_0$ dipende unicamente da $\epsilon$ e non dal punto $x$: $$\forall \epsilon > 0, \ \exists n_0 = n_0(\epsilon) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } \forall n \ge n_0, \ \forall x \in E \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Teorema. Sia $(f_n)$ una successione di funzioni continue su $E \subseteq \mathbb{R}$. Se $f_n \to f$ uniformemente su $E$, allora $f$ è continua su $E$.

Teorema. Sia $[a, b]$ un intervallo chiuso e limitato e sia $(f_n)$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann su $[a, b]$. Se $f_n \to f$ uniformemente su $[a, b]$, allora $f$ è integrabile su $[a, b]$ e vale: $$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx$$

Teorema. Sia $(f_n)$ una successione di funzioni derivabili con continuità ($C^1$) su $[a, b]$ tale che:

1. Esiste almeno un punto $x_0 \in [a, b]$ in cui la successione numerica $(f_n(x_0))$ converge;
2. La successione delle derivate $(f_n')$ converge uniformemente su $[a, b]$ a una funzione $g$.

Allora $(f_n)$ converge uniformemente su $[a, b]$ a una funzione $f \in C^1([a, b])$, $f$ è derivabile e: $$f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x) = g(x) \quad \forall x \in [a, b]$$

Definizione. La serie converge puntualmente su $E$ alla funzione somma $S(x)$ se $s_k(x) \to S(x)$ puntualmente su $E$. Converge uniformemente su $E$ a $S(x)$ se $s_k \to S$ uniformemente su $E$, ossia se: $$\lim_{k \to \infty} \sup_{x \in E} \left| S(x) - \sum_{n=1}^k u_n(x) \right| = 0$$

Teorema (Criterio M di Weierstrass / Convergenza totale). Sia $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ una serie di funzioni definite su $E$. Supponiamo che esista una successione numerica $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ di termini non negativi tale che:

1. $|u_n(x)| \le M_n$ per ogni $x \in E$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$;
2. La serie numerica $\sum_{n=1}^\infty M_n$ converge.

Allora:

• La serie converge assolutamente per ogni $x \in E$;
• La serie converge uniformemente su $E$.

Serie di potenze e serie di Taylor

Definizione. Una serie di potenze centrata nel punto $x_0 \in \mathbb{R}$ è una serie di funzioni della forma: $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots$$ dove i coefficienti $a_n \in \mathbb{R}$ costituiscono una successione numerica e $x \in \mathbb{R}$ è la variabile reale.

Teorema (di Cauchy-Hadamard). Sia data la serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$. Si definisca la quantità: $$L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$ Il raggio di convergenza $\rho \in [0, +\infty]$ della serie è definito come: $$\rho = \begin{cases} \frac{1}{L} & \text{se } 0 < L < +\infty \\ +\infty & \text{se } L = 0 \\ 0 & \text{se } L = +\infty \end{cases}$$ Se esiste il limite del rapporto dei coefficienti successivi, il raggio di convergenza può essere calcolato equivalentemente come: $$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$

Teorema (sul raggio di convergenza). Sia $\rho$ il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$:

1. Se $\rho = 0$, la serie converge unicamente nel punto $x = x_0$.
2. Se $\rho = +\infty$, la serie converge assolutamente per ogni $x \in \mathbb{R}$.
3. Se $0 < \rho < +\infty$, la serie converge assolutamente per ogni $x$ tale che $|x - x_0| < \rho$, ovvero all'interno dell'intervallo aperto $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$. La serie non converge per $|x - x_0| > \rho$.

Teorema (Convergenza uniforme nei compatti interni). Sia $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$. Per ogni costante $K \in (0, \rho)$, la serie converge uniformemente sull'intervallo chiuso e limitato $[x_0 - K, x_0 + K]$.

Teorema (Integrazione termine a termine). Sia $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$. La funzione $f$ è continua sull'intervallo $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ e, per ogni coppia di punti $a, b \in (x_0 - \rho, x_0 + \rho)$, si ha: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_{a}^{b} (x-x_0)^n \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \left[ (b-x_0)^{n+1} - (a-x_0)^{n+1} \right]$$ Inoltre, la serie integrata possiede lo stesso raggio di convergenza $\rho$ della serie originale.

Teorema (Derivazione termine a termine). Sia $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza $\rho > 0$. La funzione $f$ è derivabile all'interno dell'intervallo $(x_0 - \rho, x_0 + \rho)$ e la sua derivata prima si ottiene derivando termine a termine la serie: $$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-x_0)^{n-1}$$ La serie delle derivate ha lo stesso raggio di convergenza $\rho$ della serie di partenza.

Definizione. La serie di Taylor di una funzione $f \in C^\infty$ centrata in $x_0$ è la serie di potenze: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$ Se la serie converge a $f(x)$ in un intorno di $x_0$, la funzione si dice analiticaUna funzione si dice analitica in un punto se è esprimibile come serie di potenze convergente in un intorno di quel punto.

7. Analisi complessa

Numeri complessi

Definizione. Un numero complesso $z$ è un'espressione della forma: $$z = x + iy$$ dove $x$ e $y$ sono numeri reali, e unità immaginariasimbolo $i$ tale che $i^2 = -1$.

Definizione. Il coniugato di un numero complesso $z = x + iy$ è il numero complesso: $$\bar{z} = x - iy$$

Definizione. Il modulo (o valore assoluto) di $z = x + iy$ è il numero reale non negativo: $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Definizione. La forma trigonometrica di un numero complesso è: $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$ dove $r > 0$ e $\theta = \arg(z)$ è definito a meno di multipli interi di $2\pi$.

Teorema. Dato un numero complesso non nullo $z = r e^{i\theta}$ e un intero positivo $n \ge 1$, esistono esattamente $n$ radici ennesime distinte di $z$, date dalla formula: $$w_k = \sqrt[n]{r} \, e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1$$

Funzioni elementari complesse

Definizione. Una successione di numeri complessi $\{a_n\}_{n=1}^\infty$, con $a_n = x_n + i y_n$, converge a un numero complesso $L = x_0 + i y_0$ se la distanza euclidea nel piano complesso tende a zero. Formalmente, $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un intero $N$ tale che per ogni $n > N$ si ha: $$|a_n - L| < \epsilon$$ Geometricamente, l'intorno di $L$ è un disco aperto di raggio $\epsilon$ centrato in $L$ nel piano di Argand-Gauss.

Definizione. Data una successione di numeri complessi $\{c_n\}_{n=1}^\infty$, la serie infinita $\sum_{n=1}^\infty c_n$ è definita come il limite della successione delle somme parziali $S_N = \sum_{n=1}^N c_n$ per $N \to \infty$. Se tale limite esiste ed è finito, la serie converge.

Teorema. (Raggio e cerchio di convergenza) Per ogni serie di potenze nel campo complesso del tipo $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$, si presenta esattamente uno dei seguenti tre casi:

1. La serie converge solo per $z = 0$.
2. La serie converge per ogni $z \in \mathbb{C}$.
3. Esiste un numero reale $R > 0$, detto raggio di convergenza, tale che la serie converge assolutamente per ogni $z$ tale che $|z| < R$ (interno del cerchio di convergenza) e diverge per $|z| > R$.

All'interno di ogni disco chiuso $|z| \le r$ con $r < R$, la convergenza è uniforme.

Definizione. La funzione esponenziale complessa $e^z$ (o $\exp(z)$) è definita per ogni $z \in \mathbb{C}$ dalla serie di potenze: $$e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots$$ Questa serie ha raggio di convergenza $R = +\infty$, dunque l'esponenziale è una funzione intera (definita su tutto $\mathbb{C}$).

Teorema. (Formula di Eulero) Per ogni $z \in \mathbb{C}$, vale la relazione: $$e^{iz} = \cos z + i \sin z$$ In particolare, ponendo $z = x$ reale, si ottiene $e^{ix} = \cos x + i \sin x$.

Definizione. Dato un numero complesso $w \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$, scriviamolo in forma polare $w = r e^{i\theta}$, dove $r = |w|$ e $\theta = \arg(w) = \text{Arg}(w) + 2k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$ ($\text{Arg}(w)$ è l'argomento principale in $(-\pi, \pi]$). Il logaritmo complesso è definito come: $$\ln w = \ln |w| + i (\text{Arg}(w) + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann

Definizione. Sia $f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ e sia $z_0 \in \mathbb{C}$ un punto di accumulazione per $\Omega$. Si dice che il limite per $z$ che tende a $z_0$ di $f(z)$ è pari a $L \in \mathbb{C}$, e si scrive: $$\lim_{z \to z_0} f(z) = L$$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che, per ogni $z \in \Omega$ con $0 < |z - z_0| < \delta$, si ha: $$|f(z) - L| < \epsilon$$

Teorema. Siano $z = x + iy$, $z_0 = x_0 + i y_0$, $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ e $L = L_1 + i L_2$. Si ha che $\lim_{z \to z_0} f(z) = L$ se e solo se valgono contemporaneamente i due limiti reali: $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = L_1 \quad \text{e} \quad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = L_2$$

Definizione. Sia $f: \Omega \to \mathbb{C}$ definita su un insieme aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$. La funzione $f$ si dice derivabile in senso complesso (o $\mathbb{C}$-derivabile) in un punto $z_0 \in \Omega$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale: $$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$ Se tale limite esiste, il numero complesso $f'(z_0)$ prende il nome di derivata complessa di $f$ in $z_0$.

Teorema (Condizioni di Cauchy-Riemann). Sia $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ definita su un aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$.

1. Condizione Necessaria: Se $f$ è derivabile in senso complesso in $z_0 = x_0 + i y_0$, allora in tale punto esistono le derivate parziali di $u$ e $v$ e soddisfano il sistema di Cauchy-Riemann: $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$
2. Condizione Sufficiente: Se $u(x,y)$ e $v(x,y)$ ammettono derivate parziali continue in un intorno di $(x_0, y_0)$ (il che garantisce la loro differenziabilità in senso reale) e tali derivate soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in $(x_0, y_0)$, allora $f$ è derivabile in senso complesso in $z_0$.

Definizione. Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ un aperto. Una funzione reale $h: \Omega \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ si dice armonicaUna funzione a valori reali la cui somma delle derivate parziali seconde pure è nulla se soddisfa l'equazione di Laplace: $$\Delta h = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0$$

Teorema. Sia $f = u + iv$ una funzione olomorfa su un aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$. Se $u$ e $v$ sono di classe $C^2$, allora sia $u$ che $v$ sono funzioni armoniche in $\Omega$.

Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy

Definizione. Sia $f$ continua su $C$. L'integrale di $f$ lungo $C$ è il limite delle somme di Riemann $$\int_C f(z)\,dz=\lim\sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\,(z_k-z_{k-1}),$$ dove $z_0,\dots,z_n$ sono punti successivi sulla curva, $\zeta_k$ è un punto dell'arco tra $z_{k-1}$ e $z_k$ e il limite si fa facendo tendere a zero la distanza massima $|z_k-z_{k-1}|$.

Teorema. Se $f$ è continua su $C$ e $z(t)$, $t\in[a,b]$, è una parametrizzazione regolare di $C$: $$\int_C f(z)\,dz=\int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt .$$

Teorema. Sia $f$ continua in un aperto $A$ e sia $F$ una primitiva di $f$ in $A$, cioè $F'=f$ (derivata complessa). Per ogni curva $C\subset A$ da $z_0$ a $z_1$: $$\int_C f(z)\,dz=F(z_1)-F(z_0).$$ In particolare l'integrale lungo una curva chiusa è $0$.