Esercizio - piramide di superficie laterale minima

Testo (svolto in aula, videolezione di Multivariable Calculus, MIT). Una piramide ha per base un triangolo fissato, con lati $a_1, a_2, a_3$ e area $A$, e ha volume fissato, quindi altezza $h$ fissata. Dove deve stare la proiezione $Q$ del vertice sulla base perché la superficie laterale sia minima?

Metodo: Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di LagrangeGli estremi di f sul vincolo g = c si cercano per sostituzione, per parametrizzazione o con i moltiplicatori di Lagrange: se f, g sono C¹, P0 è un estremo vincolato e ∇g(P0) ≠ 0, esiste λ con ∇f(P0) = λ∇g(P0) (curva di livello di f tangente al vincolo). Si risolve il sistema ∇f = λ∇g, g = c, si aggiungono i punti del vincolo con ∇g = 0 e si confrontano i valori; se il vincolo è compatto, Weierstrass garantisce massimo e minimo.Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange →.

Le variabili

Si prende $Q$ dentro il triangolo e si chiamano $u_1, u_2, u_3$ le distanze di $Q$ dai tre lati. Sono le variabili del problema: conoscendole si conosce la piramide.

La funzione da minimizzare. La faccia laterale che poggia sul lato $a_i$ è un triangolo di base $a_i$; la sua altezza va dal vertice al lato e, per il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo formato con $h$ (verticale) e $u_i$ (orizzontale), vale $\sqrt{u_i^2 + h^2}$. Quindi $$S(u_1, u_2, u_3) = \frac12\sum_{i=1}^3 a_i\sqrt{u_i^2 + h^2}$$

Il vincolo. Unendo $Q$ ai tre vertici, il triangolo di base si divide in tre triangoli di basi $a_i$ e altezze $u_i$. La somma delle loro aree è l'area della base: $$g(u_1, u_2, u_3) = \frac12\sum_{i=1}^3 a_i u_i = A$$

Condizioni di Lagrange

$$\frac{\partial S}{\partial u_i} = \frac12 a_i \frac{u_i}{\sqrt{u_i^2 + h^2}}, \qquad \frac{\partial g}{\partial u_i} = \frac12 a_i$$

$\nabla g = \frac12(a_1, a_2, a_3)$ non è mai nullo, quindi tutti i punti del vincolo sono regolari. La condizione $\nabla S = \lambda \nabla g$, dopo aver semplificato $\frac12 a_i \neq 0$, diventa $$\frac{u_i}{\sqrt{u_i^2 + h^2}} = \lambda \qquad \text{per } i = 1, 2, 3$$

Conclusione

La funzione $\varphi(u) = \dfrac{u}{\sqrt{u^2 + h^2}}$ è strettamente crescente per $u \geq 0$ (la sua derivata è $\dfrac{h^2}{(u^2 + h^2)^{3/2}} > 0$), quindi è iniettiva: da $\varphi(u_1) = \varphi(u_2) = \varphi(u_3)$ segue $$u_1 = u_2 = u_3$$

$Q$ è equidistante dai tre lati: è l'incentro del triangolo di base (il centro della circonferenza inscritta). Il valore comune è il raggio $r$ della circonferenza inscritta, dal vincolo: $\frac12 r(a_1 + a_2 + a_3) = A$, cioè $r = \frac{2A}{a_1 + a_2 + a_3}$.

Il metodo dà solo un candidato. Che sia il minimo segue dalla convessità: ogni funzione $u \mapsto \sqrt{u^2 + h^2}$ è convessa (è la distanza del punto $(u, h)$ dall'origine), quindi lo è anche $S$, e lungo il vincolo, che è un piano, una funzione convessa ha minimo esattamente nei punti che soddisfano le condizioni di Lagrange.