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Note per Studenti Esercizio - impostazione di un integrale triplo su una porzione di sfera

Esercizio - impostazione di un integrale triplo su una porzione di sfera

In questa pagina 4

Testo (svolto in aula, videolezione di Multivariable Calculus, MIT). Scrivere gli estremi di integrazione, in coordinate cartesiane, per un integrale triplo sulla regione della palla x2+y2+z2≤1x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 che sta sopra il piano z=1−yz = 1 - y.

Metodo: integrazione per fili, vedi Integrali tripli e coordinate cilindriche e sfericheL'integrale triplo ∭R f dV si calcola per fili (prima in z tra due superfici z = φ1(x, y) e z = φ2(x, y), poi un integrale doppio sull'ombra D del solido) o per strati (prima un integrale doppio sulla sezione Rz, poi in z). Volume = ∭R 1 dV. Coordinate cilindriche: dV = r dr dθ dz (simmetria attorno all'asse z); sferiche x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ (sfere, coni con vertice nell'origine).Integrali tripli e coordinate cilindriche e sferiche →.

1. Estremi in zz

Fissato (x,y)(x, y), il filo verticale entra nel solido attraversando il piano e ne esce attraversando la sfera, nella sua parte superiore: 1−y≤z≤1−x2−y21 - y \leq z \leq \sqrt{1 - x^2 - y^2}

Il "pavimento" è il piano e non la semisfera inferiore: dentro la palla ∣y∣≤1|y| \leq 1, quindi 1−y≥0≥−1−x2−y21 - y \geq 0 \geq -\sqrt{1 - x^2 - y^2}.

2. L'ombra sul piano xyxy

I punti (x,y)(x, y) che contano sono quelli in cui il filo esiste, cioè in cui il pavimento non supera il soffitto: 1−y≤1−x2−y21 - y \leq \sqrt{1 - x^2 - y^2}

Entrambi i membri sono ≥0\geq 0, quindi si può elevare al quadrato senza cambiare il verso: 1−2y+y2≤1−x2−y2  ⟺  x2+2y2−2y≤01 - 2y + y^2 \leq 1 - x^2 - y^2 \iff x^2 + 2y^2 - 2y \leq 0

Completando il quadrato, x2+2(y−12)2≤12x^2 + 2\left(y - \frac12\right)^2 \leq \frac12: è un'ellisse piena di centro (0,12)\left(0, \frac12\right) (l'ombra della circonferenza in cui il piano taglia la sfera).

3. Estremi in xx e yy

Dall'ellisse, x2≤2y−2y2=2y(1−y)x^2 \leq 2y - 2y^2 = 2y(1 - y): serve y(1−y)≥0y(1 - y) \geq 0, cioè 0≤y≤10 \leq y \leq 1, e per ogni tale yy −2y−2y2≤x≤2y−2y2-\sqrt{2y - 2y^2} \leq x \leq \sqrt{2y - 2y^2}

Risultato

∭f dV=∫01∫−2y−2y22y−2y2∫1−y1−x2−y2f(x,y,z) dz dx dy\iiint f\,dV = \int_0^1 \int_{-\sqrt{2y-2y^2}}^{\sqrt{2y-2y^2}} \int_{1-y}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z)\,dz\,dx\,dy

Versione ripasso

Testo (svolto in aula, videolezione di Multivariable Calculus, MIT). Scrivere gli estremi di integrazione, in coordinate cartesiane, per un integrale triplo sulla regione della palla x2+y2+z2≤1x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 che sta sopra il piano z=1−yz = 1 - y.

Metodo: integrazione per fili, vedi Integrali tripli e coordinate cilindriche e sfericheL'integrale triplo ∭R f dV si calcola per fili (prima in z tra due superfici z = φ1(x, y) e z = φ2(x, y), poi un integrale doppio sull'ombra D del solido) o per strati (prima un integrale doppio sulla sezione Rz, poi in z). Volume = ∭R 1 dV. Coordinate cilindriche: dV = r dr dθ dz (simmetria attorno all'asse z); sferiche x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ (sfere, coni con vertice nell'origine).Integrali tripli e coordinate cilindriche e sferiche →.

  1. In zz: 1−y≤z≤1−x2−y21 - y \le z \le \sqrt{1 - x^2 - y^2}.
  2. Ombra: 1−y≤1−x2−y21 - y \le \sqrt{1 - x^2 - y^2}, al quadrato: x2+2y2−2y≤0x^2 + 2y^2 - 2y \le 0, ellisse x2+2(y−12)2≤12x^2 + 2\left(y - \frac12\right)^2 \le \frac12.
  3. In xx e yy: x2≤2y(1−y)x^2 \le 2y(1 - y), quindi 0≤y≤10 \le y \le 1 e ∣x∣≤2y−2y2|x| \le \sqrt{2y - 2y^2}.

∭f dV=∫01∫−2y−2y22y−2y2∫1−y1−x2−y2f(x,y,z) dz dx dy\iiint f\,dV = \int_0^1 \int_{-\sqrt{2y-2y^2}}^{\sqrt{2y-2y^2}} \int_{1-y}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z)\,dz\,dx\,dy

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