Esercizio - integrale iterato riscritto in coordinate polari

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1. Il dominio

L'integrale iterato è $\int_{y=-3}^{3}\int_{x=-\sqrt{9-y^2}}^{0}f\,dx\,dy$: l'integrazione interna è in $x$, con $y$ fissato nell'intervallo esterno $[-3, 3]$. Quindi $$D = \left\{(x, y) : -3 \le y \le 3,\ -\sqrt{9 - y^2} \le x \le 0\right\},\qquad f(x, y) = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{9 + x^2 + y^2}.$$ La condizione $x \ge -\sqrt{9 - y^2}$ equivale (con $x \le 0$) a $x^2 \le 9 - y^2$, cioè $x^2 + y^2 \le 9$: è il disco di centro l'origine e raggio $3$. La condizione $x \le 0$ prende la metà sinistra. $D$ è il semidisco sinistro di raggio $3$, cioè $\{x^2 + y^2 \le 9,\ x \le 0\}$. (Gli estremi $y \in [-3, 3]$ sono tutti i valori di $y$ che il semidisco raggiunge: sono automaticamente compatibili con la radice $\sqrt{9 - y^2}$.)

2. Coordinate polari

Il dominio è un disco (o una sua metà) e $f$ dipende solo da $x^2 + y^2$: il caso ideale per le coordinate polari (Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →). Con $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ e $x^2 + y^2 = r^2$: $$f = \frac{r}{9 + r^2}.$$ Il semidisco sinistro è $r \in [0, 3]$ e $\theta \in \left[\frac\pi2, \frac{3\pi}{2}\right]$ (dove $\cos\theta \le 0$). Il dominio nel piano $(r, \theta)$ è un rettangolo, quindi l'integrale si separa: $$\iint_Df\,dx\,dy = \int_{\pi/2}^{3\pi/2}d\theta\int_0^3\frac{r}{9 + r^2}\cdot r\,dr = \pi\int_0^3\frac{r^2}{9 + r^2}\,dr.$$ La lunghezza dell'intervallo in $\theta$ è $\frac{3\pi}{2} - \frac\pi2 = \pi$.

3. L'integrale in $r$

Il numeratore ha lo stesso grado del denominatore: si divide, scrivendo $r^2 = (9 + r^2) - 9$: $$\frac{r^2}{9 + r^2} = 1 - \frac{9}{9 + r^2}.$$ Una primitiva di $\frac{9}{9 + r^2} = \frac{1}{1 + (r/3)^2}$ è $3\arctan\frac r3$ (la derivata di $3\arctan\frac r3$ è $3\cdot\frac{1/3}{1 + r^2/9} = \frac{1}{1 + r^2/9}$). Quindi $$\int_0^3\left(1 - \frac{9}{9 + r^2}\right)dr = \left[r - 3\arctan\frac r3\right]_0^3 = 3 - 3\arctan1 - 0 = 3 - \frac{3\pi}{4}.$$

4. Il risultato

$$\iint_Df\,dx\,dy = \pi\left(3 - \frac{3\pi}{4}\right) = 3\pi - \frac{3\pi^2}{4} = \frac{3\pi(4 - \pi)}{4}\approx2{,}02.$$

Verifica. Il valore è positivo (la funzione è positiva) e piccolo: l'area del semidisco è $\frac{9\pi}2\approx14{,}1$ e $f \le \frac{r}{9 + r^2}\le\frac{3}{18} = \frac16$ (il massimo di $\frac{r}{9 + r^2}$ è per $r = 3$), quindi l'integrale è al più $\frac{14{,}1}{6}\approx2{,}4$; il risultato $2{,}02$ rispetta il limite. Un controllo numerico dell'integrale iterato dà $2{,}0226$.

Errori comuni. Dimenticare il fattore $r$ dello jacobiano; sbagliare l'intervallo di $\theta$ (per $x \le 0$ è $\left[\frac\pi2, \frac{3\pi}2\right]$, non $[0, \pi]$); non dividere il polinomio e cercare di integrare $\frac{r^2}{9 + r^2}$ direttamente.