Esercizi - integrali doppi in coordinate polari

Esercizi svolti in aula (videolezioni di Analisi, Ingegneria, Sapienza, e di Multivariable Calculus, MIT). Teoria: Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →, Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →.

In tutti si usa $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$.

Esercizio 1

Testo. Calcolare $\displaystyle\iint_D xy\,dx\,dy$ con $D = \{x^2 + y^2 \le 1,\ y \ge 0,\ y \le x\}$.

1. Dominio. $x^2 + y^2 \leq 1$ dà $0 \le r \le 1$. Le condizioni $y \geq 0$ e $y \leq x$ delimitano l'angolo tra il semiasse $x$ positivo ($\theta = 0$) e la bisettrice $y = x$ nel primo quadrante ($\theta = \frac\pi4$). Quindi $D' = [0, 1] \times \left[0, \frac\pi4\right]$, un rettangolo.
2. Integranda. $xy = r\cos\theta \cdot r\sin\theta = r^2\sin\theta\cos\theta$; con il fattore $r$ dello jacobiano diventa $r^3 \sin\theta\cos\theta$.
3. Calcolo. La funzione è a variabili separate su un rettangolo, quindi l'integrale è il prodotto: $$\int_0^{\pi/4}\sin\theta\cos\theta\,d\theta \cdot \int_0^1 r^3\,dr = \left[\frac{\sin^2\theta}{2}\right]_0^{\pi/4} \cdot \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}\cdot\frac14 = \frac{1}{16}$$ ($\sin^2\frac\pi4 = \frac12$, diviso $2$ dà $\frac14$.)

Esercizio 2

Testo. Calcolare l'area della regione racchiusa dal primo giro della spirale di Archimede $r = \theta$, $0 \le \theta \le 2\pi$.

1. Dominio in polari. Per ogni angolo $\theta \in [0, 2\pi]$ la regione va dall'origine fino alla spirale: $D' = \{0 \le \theta \le 2\pi,\ 0 \le r \le \theta\}$. Non è un rettangolo, ma è semplice rispetto a $r$: si integra prima in $r$.
2. Calcolo. $$\text{Area} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\theta} r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{\theta^2}{2}\,d\theta = \left[\frac{\theta^3}{6}\right]_0^{2\pi} = \frac{8\pi^3}{6} = \frac{4\pi^3}{3}$$

È un caso in cui le cartesiane sarebbero quasi inutilizzabili: la curva non è il grafico di una funzione $y(x)$.

Esercizio 3

Testo. Calcolare il momento d'inerzia di un disco omogeneo di raggio $a$ (densità $1$) rispetto a un asse perpendicolare al disco passante per un punto del bordo.

1. Scelta delle coordinate. Si mette l'origine nel punto del bordo e il centro del disco in $(a, 0)$. Il disco è $(x - a)^2 + y^2 \leq a^2$, cioè $x^2 + y^2 \le 2ax$; in polari $r^2 \le 2ar\cos\theta$, cioè $0 \le r \le 2a\cos\theta$, con $\cos\theta \geq 0$: $-\frac\pi2 \le \theta \le \frac\pi2$.
2. Integrale. La distanza dal nuovo asse è $r$, quindi $$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2a\cos\theta} r^2\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{(2a\cos\theta)^4}{4}\,d\theta = 4a^4\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta$$
3. L'integrale di $\cos^4$. Con $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$: $\cos^4\theta = \frac{1 + 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta}{4} = \frac38 + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos4\theta}{8}$. Su $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$ i due coseni hanno integrale nullo, quindi l'integrale vale $\frac38\pi$ (vedi Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →).
4. Risultato. $I = 4a^4 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3}{2}\pi a^4$.

Controllo. Rispetto al centro il momento è $\frac{\pi a^4}{2}$. Il teorema di Huygens-Steiner aggiunge massa per distanza al quadrato: $\frac{\pi a^4}{2} + \pi a^2\cdot a^2 = \frac32\pi a^4$ ✓.