Serie di Laurent e singolarità isolate

Prerequisiti: Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →, Formula integrale di CauchyLa formula integrale di Cauchy permette di calcolare i valori di una funzione olomorfa all'interno di un dominio semplicemente connesso conoscendone i valori sul bordo. Da essa discendono la proprietà di analiticità infinita, le formule per le derivate successive, il teorema di Liouville e la relazione tra il raggio di convergenza di una serie di potenze e la distanza dalle singolarità.Formula integrale di Cauchy →, Funzioni elementari complesseLe funzioni elementari complesse sono estese tramite le loro serie di potenze nel piano complesso. La formula di Eulero $e^{iz} = \cos z + i \sin z$ collega l'esponenziale alle funzioni trigonometriche, mentre il logaritmo complesso risulta essere una funzione polidroma.Funzioni elementari complesse →. In questa nota "analitica" e "olomorfa" sono sinonimi.

Serie di Laurent in una corona circolare

Il classico sviluppo di Taylor richiede che la funzione sia olomorfa in un disco pieno. Se c'è una singolarità nel centro, si usano le serie di Laurent, che rappresentano funzioni olomorfe in una corona circolare con potenze sia positive sia negative.

Teorema. (Sviluppo in serie di Laurent) Sia $f(z)$ una funzione analitica nella corona circolare definita da $R_1 < |z - z_0| < R_2$, dove $0 \le R_1 < R_2 \le +\infty$. Allora $f(z)$ può essere sviluppata in una serie di potenze bilaterale della forma: $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z - z_0)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n (z - z_0)^n + \sum_{n=1}^{+\infty} c_{-n} (z - z_0)^{-n}$$ La serie converge totalmente (e quindi uniformemente) su ogni corona chiusa compatta $R_1' \le |z - z_0| \le R_2'$ con $R_1 < R_1' < R_2' < R_2$. I coefficienti $c_n$ sono unici e calcolabili tramite l'integrale: $$c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta$$ dove $\gamma$ è una qualsiasi curva regolareUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie → chiusa percorsa in senso antiorario attorno a $z_0$ interna alla corona.

La serie di Laurent si compone di due parti distinte:

1. La parte regolare (o analitica): $\sum_{n=0}^{+\infty} c_n (z - z_0)^n$, che contiene le potenze non negative e converge in un disco $|z - z_0| < R_2$.
2. La parte principale: $\sum_{n=1}^{+\infty} c_{-n} (z - z_0)^{-n}$, che contiene le potenze negative e converge all'esterno del cerchio $|z - z_0| > R_1$.

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Esempi di sviluppo in corone diverse

Consideriamo la funzione $f(z) = \frac{1}{(1-z)(2-z)}$, che ha singolarità in $z = 1$ e $z = 2$. Vogliamo svilupparla in potenze di $z$ (centro $z_0 = 0$) nelle tre regioni in cui i due punti dividono il piano: $|z|<1$, $1<|z|<2$, $|z|>2$. Si parte dalla scomposizione in fratti semplici: $$f(z) = \frac{1}{1-z} - \frac{1}{2-z}$$ (verifica: $\frac{(2-z)-(1-z)}{(1-z)(2-z)}=\frac{1}{(1-z)(2-z)}$). In ogni regione si usa la serie geometrica $\frac{1}{1-w}=\sum_{n\ge0}w^n$, valida per $|w|<1$, scegliendo $w$ in modo che $|w|<1$ davvero: potenze positive di $z$ quando $|z|$ è piccolo, potenze negative quando è grande.

Caso 1: disco $|z| < 1$

Qui $|z|<1$ e $|z|<2$: $$\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n,\qquad \frac{1}{2-z} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 - \frac{z}{2}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}$$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 1-\frac{1}{2^{n+1}} \right) z^n$$ È lo sviluppo di Taylor: la funzione è olomorfa nel disco. Controllo: il coefficiente di $z^0$ è $1-\frac12=\frac12=f(0)$.

Caso 2: corona $1 < |z| < 2$

Qui $|z|>1$, cioè $\left|\frac1z\right|<1$, e $|z|<2$. Il termine $\frac1{1-z}$ si riscrive con $\frac1z$ come ragione: $$\frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = -\sum_{n=0}^{+\infty} z^{-n-1} = -\sum_{k=1}^{+\infty} z^{-k}$$ mentre $\frac{1}{2-z}$ si sviluppa come nel caso 1 (perché $|z|<2$). Allora $$f(z) = -\sum_{k=1}^{+\infty} z^{-k} - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}$$ Ci sono potenze sia negative (parte principale, infinite) sia positive (parte regolare).

Caso 3: esterno $|z| > 2$

Ora $\left|\frac1z\right|<1$ e $\left|\frac2z\right|<1$, quindi entrambi i termini vanno scritti in potenze negative: $$\frac{1}{1-z} = -\sum_{n=1}^{+\infty} z^{-n},\qquad \frac{1}{2-z} = -\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1 - \frac{2}{z}} = -\sum_{n=0}^{+\infty} 2^n z^{-n-1} = -\sum_{n=1}^{+\infty} 2^{n-1} z^{-n}$$ $$f(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(2^{n-1}-1\right) z^{-n} = \frac{1}{z^2}+\frac{3}{z^3}+\dots$$ Il coefficiente di $z^{-1}$ è $2^0-1=0$ e quello di $z^{-2}$ è $1$, coerente con $f(z)\sim\frac1{z^2}$ per $z\to\infty$.

Lo sviluppo dipende quindi dalla corona scelta: lo stesso punto $z_0$ ha sviluppi di Laurent diversi in corone diverse.

Singolarità isolate e loro classificazione

Definizione. (Singolarità isolata) Un punto $z_0 \in \mathbb{C}$ si dice singolarità isolata per la funzione $f(z)$ se esiste un intorno bucato del tipo $0 < |z - z_0| < R$ in cui $f(z)$ è analitica, ma non è definita o non è analitica in $z_0$.

In tale intorno bucato, $f(z)$ ammette uno sviluppo in serie di Laurent. In base alla natura della parte principale della serie, le singolarità isolate si classificano in tre categorie:

1. Singolarità eliminabile: La parte principale dello sviluppo di Laurent è identicamente nulla ($c_{-n} = 0$ per ogni $n \ge 1$).
2. Polo di ordine $m$ ($m \ge 1$): La parte principale contiene un numero finito di termini non nulli, e il coefficiente non nullo di indice più basso è $c_{-m} \neq 0$ ($c_{-n} = 0$ per ogni $n > m$).
3. Singolarità essenziale: La parte principale contiene infiniti coefficienti $c_{-n} \neq 0$.

Teorema. (Caratterizzazione dei poli tramite limiti) $z_0$ è un polo di ordine $m$ per $f(z)$ se e solo se: $$\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = A \neq 0$$ con $A$ numero complesso finito. Se $m=1$, il polo si dice semplice.

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Esempi notevoli di classificazione delle singolarità

1. Funzione $f(z) = \frac{\sin z}{z}$ in $z_0 = 0$

La funzione non è definita in $z = 0$. Sviluppiamo $\sin z$ tramite la sua serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →: $$\sin z = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \dots$$ Dividendo per $z$: $$f(z) = \frac{1}{z} \left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \dots \right) = 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \dots$$ La serie ottenuta non contiene potenze negative (la parte principale è nulla). Dunque, $z_0 = 0$ è una singolarità eliminabile. Ponendo $f(0) = 1$, la funzione diventa analitica su tutto $\mathbb{C}$.

2. Funzione $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ in $z_0 = 0$ e $z_0 = 1$

• In $z_0 = 0$: $\lim_{z \to 0} z \cdot f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z-1} = -1 \neq 0$. Il limite è finito e non nullo con $m=1$, quindi $z_0 = 0$ è un polo semplice. Lo sviluppo di Laurent in $0<|z|<1$ lo conferma: $f(z)=-\frac1z\cdot\frac1{1-z}=-\frac1z-1-z-z^2-\dots$, con un solo termine di potenza negativa.
• In $z_0 = 1$: $\lim_{z \to 1} (z-1) f(z) = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z} = 1 \neq 0$. Anche qui polo semplice.

3. Funzione $f(z) = e^{\frac{1}{z}}$ in $z_0 = 0$

Ricordando lo sviluppo dell'esponenziale $e^w = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{w^n}{n!}$, sostituiamo $w = \frac{1}{z}$: $$e^{\frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n! z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \dots$$ La parte principale possiede infiniti termini con coefficienti non nulli ($c_{-n} = \frac{1}{n!} \neq 0$ per ogni $n \ge 1$). Pertanto, $z_0 = 0$ è una singolarità essenziale.

4. Funzione $f(z) = \frac{e^z}{z^3}$ in $z_0 = 0$

Dallo sviluppo $e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\dots$, dividendo per $z^3$: $$f(z)=\frac1{z^3}+\frac1{z^2}+\frac1{2z}+\frac16+\frac z{24}+\dots$$ La parte principale ha tre termini e $c_{-3}=1\neq0$: è un polo di ordine 3. Controllo con il limite: $\lim_{z\to0}z^3f(z)=\lim_{z\to0}e^z=1\neq0$. Il coefficiente $c_{-1}=\frac12$ avrà un ruolo speciale nel Teorema dei residuiIl teorema dei residui permette di calcolare integrali di funzioni complesse su curve chiuse sfruttando il coefficiente $a_{-1}$ della serie di Laurent attorno alle singolarità isolate. Il residuo in un polo semplice si calcola come $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$, mentre per poli di ordine $n$ si usa la formula di derivazione.Teorema dei residui →.

Sviluppo di Laurent attorno a un punto diverso da zero e parte singolare

Per sviluppare attorno a $z_0\neq0$ conviene la nuova variabile $w=z-z_0$, in modo da ricondursi alle serie geometriche in $w$ (come per lo sviluppo in $0$). Il metodo è: (1) scrivere la funzione con $w$; (2) scomporre in fratti semplici o isolare il fattore singolare; (3) sviluppare il resto con $\frac1{1-q}=\sum q^n$, $|q|<1$.

Esempio 1: $f(z)=\dfrac{1}{8z-z^2-15}$ attorno a $z_0=3$. Il denominatore è $-(z^2-8z+15)=-(z-3)(z-5)$, quindi con $w=z-3$ (e $z-5=w-2$): $$f=-\frac{1}{w\,(w-2)}=\frac{1}{w\,(2-w)}=\frac{1}{2w}\cdot\frac{1}{1-\frac w2}=\frac1{2w}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac w2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{w^{n-1}}{2^{n+1}},\qquad0<|w|<2.$$ Lo sviluppo vale nella corona $0<|z-3|<2$ (si ferma al polo successivo, $z=5$). I primi termini: $\frac{1}{2w}+\frac14+\frac w8+\frac{w^2}{16}+\dots$ La parte principale ha un solo termine, $\frac{1}{2(z-3)}$, quindi $z=3$ è un polo semplice con residuo $\frac12$. Il coefficiente di $(z-3)^2$ è $\frac1{16}$: si legge da $n-1=2$, $n=3$, $\frac{1}{2^{4}}$.

Esempio 2: parte singolare di $f(z)=\dfrac{1}{(z-1)^2(z-5)^3}$ in $z_0=1$. La parte singolare (o principale) è l'insieme dei termini con potenze negative di $z-1$. Con $w=z-1$, $z-5=w-4$ e $$f=\frac{1}{w^2}\,g(w),\qquad g(w)=(w-4)^{-3},$$ con $g$ olomorfa in $w=0$ (il polo di $g$ è in $w=4$). Si sviluppa $g$ in Taylor: $g(0)=(-4)^{-3}=-\frac1{64}$, $g'(w)=-3(w-4)^{-4}$, $g'(0)=-\frac{3}{256}$, quindi $g(w)=-\frac1{64}-\frac3{256}w+O(w^2)$ e $$f=-\frac{1}{64\,w^2}-\frac{3}{256\,w}+(\text{termini con }w^{n},\ n\ge0).$$ Parte singolare: $-\dfrac{1}{64(z-1)^2}-\dfrac{3}{256(z-1)}$ (polo doppio). Il residuo è il coefficiente di $\frac1{z-1}$, cioè $-\frac3{256}$; coincide con la formula del polo doppio, $\frac{d}{dz}(z-5)^{-3}\big|_{z=1}$. Con questo si calcola per esempio $\oint_{|z-2|=2}f\,dz$: dentro il cerchio (centro $2$, raggio $2$) c'è $z=1$ (distanza $1$) ma non $z=5$ (distanza $3$), quindi l'integrale è $2\pi i\left(-\frac{3}{256}\right)=-\frac{3\pi i}{128}$.

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Errori comuni

• Usare un solo sviluppo per tutte le regioni. Lo sviluppo di Laurent dipende dalla corona: bisogna controllare quale delle ragioni $|z|$, $\frac1{|z|}$, $\frac{|z|}{2}$, $\frac{2}{|z|}$ è minore di $1$ nella regione richiesta.
• Fermarsi alla parte regolare. Se la funzione non è olomorfa nel centro, le potenze negative non si possono trascurare: sono loro a distinguere polo ed eventuale singolarità essenziale.
• Sbagliare l'ordine del polo. Il limite $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)$ deve risultare finito e diverso da zero: se è $0$ l'ordine è minore di $m$, se è infinito è maggiore.
• Confondere "non definita" con "singolarità vera". $\frac{\sin z}{z}$ non è definita in $0$ ma la singolarità è eliminabile: ridefinendo $f(0)=1$ la funzione diventa olomorfa.