Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti

Prerequisiti: Topologia di RnIn Rn la distanza tra due punti è la norma euclidea della differenza, ‖X − Y‖ = √(Σ(xi − yi)²). Con le palle aperte B(X0, r) si classificano i punti rispetto a un insieme D (interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati) e si definiscono insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti (= chiusi e limitati) e connessi per archi.Topologia di Rn →, Massimi e minimi liberi in più variabiliSe f è differenziabile e ha un estremo relativo in un punto interno x0, allora ∇f(x0) = 0 (Fermat): gli estremi interni vanno cercati tra i punti critici. Se f è C², in un punto critico: hessiana definita positiva → minimo, definita negativa → massimo, indefinita → sella, semidefinita → il test non decide e si studia il segno di f(x) − f(x0). In due variabili: det H > 0 e fxx > 0 minimo, det H > 0 e fxx < 0 massimo, det H < 0 sella.Massimi e minimi liberi in più variabili →, Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo →.

In una variabile, una funzione continua su $[a, b]$ ha massimo e minimo, e li si trova tra i punti stazionari interni e gli estremi $a$, $b$. In più variabili il ruolo di $[a, b]$ lo prendono gli insiemi compatti (chiusi e limitati, vedi Topologia di RnIn Rn la distanza tra due punti è la norma euclidea della differenza, ‖X − Y‖ = √(Σ(xi − yi)²). Con le palle aperte B(X0, r) si classificano i punti rispetto a un insieme D (interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati) e si definiscono insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti (= chiusi e limitati) e connessi per archi.Topologia di Rn →) e il ruolo dei due estremi lo prende l'intera frontiera, che è fatta di infiniti punti.

Teorema di Weierstrass. Sia $D \subset \mathbb{R}^n$ un insieme compatto e $f: D \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora esistono $P_{min}, P_{max} \in D$ tali che $f(P_{min}) \leq f(P) \leq f(P_{max})$ per ogni $P \in D$.

Le ipotesi servono tutte: su un insieme non chiuso o non limitato, oppure con $f$ discontinua, massimo e minimo possono mancare. Per esempio $f(x, y) = x$ sul disco aperto $x^2 + y^2 < 1$ si avvicina a $1$ senza raggiungerlo (i punti con $x = 1$ starebbero sul bordo, escluso).

Il teorema non dice dove stanno i punti. Si ragiona così: un punto di massimo o di minimo assoluto è interno oppure sta sulla frontiera. Se è interno ed $f$ è differenziabile lì, per Fermat è un punto critico. Altrimenti sta sulla frontiera. Quindi basta confrontare i valori in questi candidati.

Metodologia di ricerca

Per determinare il massimo e il minimo assoluto su un compatto $D$, si seguono tre passaggi fondamentali:

1. Ricerca dei punti critici interni: Si risolve il sistema $\nabla f(x, y) = 0$ all'interno del dominio (dove $f$ è differenziabilefunzione il cui grafico può essere approssimato localmente da un piano). Si scartano i punti che non appartengono a $D$.
2. Studio della frontiera: Si analizza il comportamento di $f$ sui bordi di $D$. Se la frontiera è composta da vari tratti (es. segmenti, archi di curva), si parametrizza ogni tratto e si riduce il problema allo studio di una funzione di una variabile. Non dimenticare di controllare eventuali punti angolosi dove i tratti di frontiera si incontrano.
3. Confronto dei valori: Si calcola il valore della funzione in tutti i punti critici trovati al passo 1, nei punti critici vincolati sulla frontiera (passo 2) e nei vertici. Il valore massimo tra questi è il massimo assoluto, quello minimo è il minimo assoluto.

Esempi svolti

Esempio su un triangolo

Sia $f(x, y) = x^2 + y^2 - x$ sul triangolo di vertici $A(0,0), B(2,0), C(0,2)$.

1. Interno: $\nabla f = (2x-1, 2y) = (0,0) \implies P_1(1/2, 0)$. Poiché $y=0$ è sul bordo, nell'interno non ci sono punti critici.

2. Frontiera:

   • Tratto $AB$ ($y=0, x \in [0,2]$): $g_1(x) = f(x, 0) = x^2 - x$. Punti critici: $g'_1 = 2x-1 = 0 \implies x=1/2$. Valore: $f(1/2, 0) = -1/4$.
   • Tratto $AC$ ($x=0, y \in [0,2]$): $g_2(y) = f(0, y) = y^2$. Minimo in $y=0$ ($f=0$), massimo in $y=2$ ($f=4$).
   • Tratto $BC$ ($y=2-x, x \in [0,2]$): $g_3(x) = x^2 + (2-x)^2 - x = 2x^2 - 5x + 4$. $g'_3 = 4x-5=0 \implies x=5/4$, che sta in $[0, 2]$. Valore: $f(5/4, 3/4) = 2\cdot\frac{25}{16} - \frac{25}{4} + 4 = \frac{25 - 50 + 32}{8} = 7/8$.

   Su ogni tratto il problema è diventato quello di una variabile su un intervallo chiuso: i candidati sono i punti stazionari interni al tratto e i suoi estremi, cioè i vertici del triangolo.

3. Confronto: I candidati sono $(0,0) \to 0$, $(2,0) \to 2$, $(0,2) \to 4$, $(1/2,0) \to -1/4$, $(5/4, 3/4) \to 7/8$.
   • Massimo assoluto: $4$ in $(0,2)$.
   • Minimo assoluto: $-1/4$ in $(1/2, 0)$.

Esempio su un disco

Sia $f(x, y) = xy$ sul disco chiuso $x^2 + y^2 \leq 1$.

1. Interno: $\nabla f = (y, x) = (0, 0)$ solo in $(0, 0)$, che è interno; $f(0,0) = 0$.
2. Frontiera: la circonferenza si parametrizza con $(\cos t, \sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$: $$g(t) = \cos t \sin t = \frac12 \sin 2t$$ Il massimo di $\sin 2t$ è $1$ (per $t = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$), il minimo $-1$ (per $t = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$). La circonferenza non ha vertici.
3. Confronto: massimo assoluto $\frac12$ nei punti $\left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$ e $\left(-\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2}\right)$; minimo assoluto $-\frac12$ in $\left(-\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$ e $\left(\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2}\right)$. Il punto critico interno $(0,0)$ è una sella e non conta.

Sulla circonferenza si possono usare anche i moltiplicatori di LagrangeGli estremi di f sul vincolo g = c si cercano per sostituzione, per parametrizzazione o con i moltiplicatori di Lagrange: se f, g sono C¹, P0 è un estremo vincolato e ∇g(P0) ≠ 0, esiste λ con ∇f(P0) = λ∇g(P0) (curva di livello di f tangente al vincolo). Si risolve il sistema ∇f = λ∇g, g = c, si aggiungono i punti del vincolo con ∇g = 0 e si confrontano i valori; se il vincolo è compatto, Weierstrass garantisce massimo e minimo.Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange →, utili quando il bordo è difficile da parametrizzare.

Domini non limitati

Se il dominio non è limitato, il teorema di Weierstrass non è applicabile. In tal caso, è necessario studiare il comportamento della funzione all'infinito, calcolando i limiti: $$\lim_{\|P\| \to \infty} f(P)$$ Se il limite è $+\infty$, la funzione non ha massimo assoluto; se tende a $-\infty$, non ha minimo assoluto.

Se invece $f$ è continua su un insieme chiuso illimitato e tende a $+\infty$, il minimo esiste: fissato un punto $P_0$, fuori da una palla abbastanza grande vale $f > f(P_0)$, quindi il minimo va cercato nell'intersezione dell'insieme con la palla, che è compatta e a cui si applica Weierstrass. Esempio: $f(x,y) = x^2 + y^2 - x$ su tutto $\mathbb{R}^2$ tende a $+\infty$, non ha massimo e ha minimo nell'unico punto critico $\left(\frac12, 0\right)$, valore $-\frac14$.

Esempio: tutto $\mathbb{R}^2$ con un polinomio di quarto grado. Per $f(x,y)=x^4+y^4-xy$ si dimostra che $f\ge\frac{r^4-r^2}{2}\to+\infty$ (con $x^4+y^4\ge\frac{r^4}2$ e $|xy|\le\frac{r^2}2$), si trovano i punti stazionari $(0,0)$ (sella) e $\pm\left(\frac12,\frac12\right)$ (minimi, valore $-\frac18$) e si conclude: nessun massimo, minimo assoluto $-\frac18$. Tutti i passaggi in Esercizio - estremi globali di un polinomio di quarto grado su R2 (tema d'esame febbraio 2013).

Esempio: una striscia. Sia $f(x,y)=(y^2-2)^2-\frac{x^2}{2}+xy$ sull'insieme chiuso e illimitato $S=\{-\frac32\le y\le2\}$. Si completa il quadrato nella variabile illimitata $x$: $-\frac{x^2}{2}+xy=-\frac12(x-y)^2+\frac{y^2}{2}$, quindi $$f(x,y)=-\frac12(x-y)^2+g(y),\qquad g(y)=\frac{y^2}{2}+(y^2-2)^2=y^4-\frac72y^2+4.$$

• Minimo: non esiste, perché per $y$ fissato $f\to-\infty$ se $|x|\to\infty$.
• Massimo: esiste. Per ogni $y$ il massimo in $x$ è $g(y)$, raggiunto in $x=y$; resta da massimizzare $g$ su $[-\frac32,2]$ (un intervallo compatto di una variabile). $g'(y)=4y^3-7y=y(4y^2-7)$ si annulla in $y=0,\pm\frac{\sqrt7}{2}$, con $g(0)=4$, $g\left(\pm\frac{\sqrt7}2\right)=\frac{15}{16}$; negli estremi $g\left(-\frac32\right)=\frac{19}{16}$ e $g(2)=6$. Il massimo è $6$, raggiunto in $(2,2)$ (che sta sul bordo $y=2$ della striscia). Qui il ragionamento non è "coercività + Weierstrass", ma la riduzione a una variabile: si massimizza prima nella direzione illimitata.

Punti critici non isolati. Se $\nabla f=0$ lungo un'intera curva (per $f=x^3y$ lungo l'asse $y$), l'hessiana è nulla e non decide: si guarda direttamente il segno di $f-f(P)$ vicino al punto, e i punti critici interni si confrontano comunque con i valori sulla frontiera (Esercizio - estremi assoluti su un'ellisse con punti critici non isolati (tema d'esame gennaio 2013)).

Errori comuni

• Dimenticare i vertici: I punti in cui la frontiera cambia espressione analitica (spigoli/vertici) devono sempre essere inclusi nel confronto.
• Confondere estremi locali con assoluti: Un punto di massimo relativo non è necessariamente il massimo assoluto.
• Cercare il gradiente nullo sulla frontiera: $\nabla f = 0$ è una condizione necessaria solo nei punti interni. Sulla frontiera un massimo può avere gradiente non nullo (nell'esempio del triangolo, in $(0,2)$ vale $\nabla f = (-1, 4)$): lì si studia la restrizione al bordo o si usano i moltiplicatori di Lagrange.
• Tenere punti critici fuori dal dominio: un punto con $\nabla f = 0$ che non sta in $D$ non è un candidato.