Esercizio - residui con una singolarità essenziale

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1. Classificazione delle singolarità

La funzione ha due punti dove non è definita: $z = 0$ (a causa di $\frac1z$) e $z = 1$ (zero del denominatore).

• $z = 1$. Il numeratore $\cosh(1/z)$ è olomorfo vicino a $1$ e vale $\cosh1 \ne 0$; il denominatore $z - 1$ ha uno zero semplice: polo semplice.
• $z = 0$. Si usa lo sviluppo del coseno iperbolico, $\cosh w = \sum_{k\ge0}\frac{w^{2k}}{(2k)!}$ (convergente su tutto $\mathbb{C}$), con $w = \frac1z$: $$\cosh\frac1z = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!\,z^{2k}} = 1 + \frac{1}{2z^2} + \frac{1}{24z^4} + \dots$$ Contiene infinite potenze negative di $z$: la parte principale non ha un numero finito di termini, quindi $z = 0$ è una singolarità essenziale (né eliminabile né polo), come per $e^{1/z}$.

Le due singolarità sono isolate (il punto $1$ sta a distanza $1$ dall'origine).

2. L'integrale

Entrambe le singolarità sono dentro la circonferenza $|z| = 2$ (perché $|0| = 0 < 2$ e $|1| = 1 < 2$). Per il teorema dei residui $$\int_{C_2(0)}f(z)\,dz = 2\pi i\left[\operatorname{Res}(f, 0) + \operatorname{Res}(f, 1)\right].$$

Residuo in $z = 1$ (polo semplice). $\operatorname{Res}(f, 1) = \lim_{z\to1}(z - 1)f(z) = \cosh1$.

Residuo in $z = 0$ (singolarità essenziale). La formula con il limite non vale: bisogna trovare il coefficiente di $\frac1z$ nello sviluppo di Laurent in un intorno bucato di $0$, per esempio $0 < |z| < 1$. Lì il fattore $\frac{1}{z - 1}$ è olomorfo e si sviluppa con la serie geometrica: $$\frac{1}{z - 1} = -\frac{1}{1 - z} = -\sum_{n=0}^\infty z^n\qquad(|z| < 1).$$ Quindi $$f(z) = -\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{z^{-2k}}{(2k)!}\right)\left(\sum_{n=0}^\infty z^n\right).$$ Il prodotto delle due serie ha termini $z^{n - 2k}$; il coefficiente di $z^{-1}$ si ottiene dalle coppie $(k, n)$ con $n - 2k = -1$, cioè $n = 2k - 1$, e perché $n \ge 0$ serve $k \ge 1$: $$\operatorname{Res}(f, 0) = -\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k)!} = -\left(\cosh1 - 1\right) = 1 - \cosh1,$$ perché $\sum_{k\ge0}\frac{1}{(2k)!} = \cosh1$ e si toglie il termine $k = 0$ (che vale $1$).

Somma dei residui. $$\operatorname{Res}(f, 0) + \operatorname{Res}(f, 1) = (1 - \cosh1) + \cosh1 = 1.$$

$$\boxed{\int_{C_2(0)}f(z)\,dz = 2\pi i.}$$

Un controllo senza calcoli. Per $|z|$ grande $\cosh\frac1z\to\cosh0 = 1$, quindi $f(z) = \frac{1}{z}\cdot\frac{\cosh(1/z)}{1 - 1/z}\sim\frac1z$ e $\oint_{|z|=R}f\,dz\to2\pi i$ per $R$ grande (l'integrale di $\frac1z$ su una circonferenza). L'integrale su $|z| = R$ non dipende da $R$ finché si resta fuori dalle due singolarità ($R > 1$), quindi vale $2\pi i$ già per $R = 2$ ✓. Questo spiega perché i due residui si compensano e la somma è $1$.

Errori comuni. Applicare al polo $z = 0$ la formula del residuo dei poli semplici (qui non è un polo); calcolare il residuo in $0$ con $\frac{1}{z-1}$ sviluppato per $|z| > 1$ (lo sviluppo giusto per il residuo in $0$ è quello valido vicino a $0$, cioè $|z| < 1$); dimenticare uno dei due punti singolari interni.