Esercizio - continuità e differenziabilità con un parametro

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Preparazione: portare la funzione in forma polare

Vicino all'origine $x$ è piccolo, quindi $\log(1 - x) \approx -x$. Per scriverlo con precisione si pone $$\varphi(x) = \frac{-\log(1 - x)}{x}\quad(x \ne 0),\qquad\varphi(0) = 1,$$ che è continua anche in $0$ (è il limite notevole $\frac{\log(1+s)}{s} \to 1$ con $s = -x$) e quindi limitata in un intorno di $0$. Si ha, per $x \ne 0$, $$f(x, y) = \frac{3\,x\,y^2\,\varphi(x)}{(x^2 + y^2)^a}.$$ Con le coordinate polari $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ (e $r = \sqrt{x^2+y^2}$, quindi $(x^2 + y^2)^a = r^{2a}$): $$f = \frac{3\,r\cos\theta\cdot r^2\sin^2\theta\cdot\varphi(x)}{r^{2a}} = 3\,\varphi(x)\,\cos\theta\sin^2\theta\;r^{3 - 2a}.$$ Il fattore $\cos\theta\sin^2\theta$ è limitato ($|\cdot| \le 1$) ma non è nullo in generale: per $\theta = \frac\pi4$ vale $\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac12 = \frac{1}{2\sqrt2}$. Tutto si riduce a studiare la potenza $r^{3-2a}$ (per $r \to 0$).

(a) Continuità

• Se $3 - 2a > 0$, cioè $a < \frac32$: $r^{3-2a} \to 0$ e il resto è limitato, quindi $|f| \le 3\cdot\sup|\varphi|\cdot r^{3-2a} \to 0 = f(0, 0)$: $f$ è continua.
• Se $a = \frac32$: $f = 3\varphi(x)\cos\theta\sin^2\theta$ non dipende da $r$. Lungo la retta $\theta = \frac\pi4$ vale (al limite $r \to 0$) $3\cdot1\cdot\frac{1}{2\sqrt2} = \frac{3}{2\sqrt2} \ne 0 = f(0,0)$: il limite, se esiste, non è $0$. Non continua.
• Se $a > \frac32$: $r^{3 - 2a} \to +\infty$ e lungo $\theta = \frac\pi4$ la funzione diverge: non continua.

Risposta (a): $f$ è continua in $(0, 0)$ se e solo se $a < \frac32$.

(b) Il gradiente

Le derivate parziali si calcolano con la definizione (limite del rapporto incrementale), perché $f(0,0)$ è dato a parte.

• Sull'asse $x$ ($y = 0$): $f(h, 0) = \frac{-3\cdot0\cdot\log(1-h)}{h^{2a}} = 0$ per ogni $h \ne 0$, quindi $f_x(0, 0) = \lim_{h\to0}\frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = 0$.
• Sull'asse $y$ ($x = 0$): $f(0, k) = \frac{-3k^2\log1}{k^{2a}} = 0$ (perché $\log 1 = 0$), quindi $f_y(0, 0) = 0$.

$$\nabla f(0, 0) = (0, 0)\qquad\text{per ogni }a\in\mathbb{R}.$$ Le derivate parziali esistono anche quando $f$ non è continua: la derivabilità lungo gli assi non basta a garantire la continuità (si veda Derivate parziali e derivate direzionaliLa derivata parziale ∂f/∂xi(x0) è la derivata della funzione di una variabile che si ottiene fissando tutte le altre variabili: in pratica si deriva in xi trattando le altre come costanti. Il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. La derivata direzionale lungo un versore v è il limite di [f(x0 + hv) − f(x0)]/h. In più variabili avere tutte le derivate (anche direzionali) non garantisce la continuità.Derivate parziali e derivate direzionali →).

(c) Differenziabilità

Se esiste il gradiente, $f$ è differenziabile in $(0,0)$ se e solo se $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x, y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{f(x, y)}{r} = 0.$$ Dalla forma polare: $$\frac{f}{r} = 3\,\varphi(x)\cos\theta\sin^2\theta\;r^{2 - 2a}.$$

• Se $2 - 2a > 0$, cioè $a < 1$: il limite è $0$: differenziabile.
• Se $a = 1$: $\frac fr = 3\varphi(x)\cos\theta\sin^2\theta$, che lungo $\theta = \frac\pi4$ tende a $\frac{3}{2\sqrt2} \ne 0$: il limite non è $0$, non differenziabile.
• Se $a > 1$: $\left|\frac fr\right|$ diverge lungo $\theta = \frac\pi4$: non differenziabile. (Per $1 < a < \frac32$ la funzione è continua ma non differenziabile; per $a \ge \frac32$ non è nemmeno continua.)

Risposta (c): $f$ è differenziabile in $(0, 0)$ se e solo se $a < 1$.

Riepilogo.

Errori comuni. Concludere "differenziabile" perché le derivate parziali esistono; dimenticare che $\log(1-x)$ si comporta come $-x$ (non come una costante): senza questa osservazione l'esponente cambierebbe; usare una sola direzione per provare che il limite esiste (bisogna maggiorare in modo uniforme in $\theta$).