Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann

Prerequisiti: Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →, Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →.

Identificando il piano complesso $\mathbb{C}$ con il piano cartesiano $\mathbb{R}^2$, una funzione complessa può essere interpretata geometricamente come una mappa che trasforma punti di un piano bidimensionale in punti di un altro piano.

Se $z = x + iy \in \mathbb{C}$ (con $x, y \in \mathbb{R}$) è la variabile indipendente, una funzione $f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ associa a ogni $z$ un valore complesso $w = f(z)$. Scomponendo $f(z)$ nelle sue componenti reale e immaginaria, possiamo scrivere: $$f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y)$$ dove:

• $u(x,y) = \text{Re}(f(z))$ è la parte realeLa componente a valori reali della funzione complessa di $f$.
• $v(x,y) = \text{Im}(f(z))$ è la parte immaginaria di $f$.

Entrambe le funzioni $u, v: \Omega \to \mathbb{R}$ sono funzioni reali di due variabili reali.

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Limiti e continuità

La struttura metrica dello spazio complesso $\mathbb{C}$ è determinata dal modulo $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$, che coincide esattamente con la distanza euclidea in $\mathbb{R}^2$. Di conseguenza, la definizione di limite per funzioni complesse ricalca la definizione standard in ambienti metrici.

Definizione. Sia $f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ e sia $z_0 \in \mathbb{C}$ un punto di accumulazione per $\Omega$. Si dice che il limite per $z$ che tende a $z_0$ di $f(z)$ è pari a $L \in \mathbb{C}$, e si scrive: $$\lim_{z \to z_0} f(z) = L$$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che, per ogni $z \in \Omega$ con $0 < |z - z_0| < \delta$, si ha: $$|f(z) - L| < \epsilon$$

Poiché lo studio di questo limite equivale allo studio simultaneo delle componenti reale e immaginaria, vale il seguente risultato di equivalenza con i limiti bidimensionali analizzati in Limiti e continuità per funzioni di più variabiliIl limite di una funzione di più variabili esiste se il valore si avvicina a $L$ indipendentemente dal percorso scelto; si verifica con stime in coordinate polari o si nega usando restrizioni a curve diverse. La continuità richiede che il limite coincida con il valore della funzione nel punto.Limiti e continuità per funzioni di più variabili →:

Teorema. Siano $z = x + iy$, $z_0 = x_0 + i y_0$, $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ e $L = L_1 + i L_2$. Si ha che $\lim_{z \to z_0} f(z) = L$ se e solo se valgono contemporaneamente i due limiti reali: $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = L_1 \quad \text{e} \quad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = L_2$$

Una funzione $f$ si dice continua in $z_0 \in \Omega$ se $\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$. Ciò si verifica se e solo se sia $u(x,y)$ che $v(x,y)$ sono continue nel punto $(x_0, y_0)$.

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Derivata complessa e olomorfia

Sebbene la definizione formale di derivata per una funzione complessa sia analoga a quella per funzioni di una variabile reale, le implicazioni geometriche e analitiche sono enormemente più restrittive.

Definizione. Sia $f: \Omega \to \mathbb{C}$ definita su un insieme aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$. La funzione $f$ si dice derivabile in senso complesso (o $\mathbb{C}$-derivabile) in un punto $z_0 \in \Omega$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale: $$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$ Se tale limite esiste, il numero complesso $f'(z_0)$ prende il nome di derivata complessa di $f$ in $z_0$.

Se una funzione $f$ è derivabile in senso complesso in ogni punto di un aperto $\Omega$, si dice che $f$ è olomorfaUna funzione derivabile in senso complesso in ogni punto di un insieme aperto (o analitica) su $\Omega$.

La restrizione bidimensionale

In analisi reale, il limite del rapporto incrementale può essere calcolato solo lungo due direzioni (da destra o da sinistra). Nel piano complesso, l'incremento $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$ può tendere a zero lungo un'infinità di traiettorie bidimensionali diverse. Affinché la derivata esista, il limite del rapporto incrementale deve essere unico e indipendente dalla direzione o dalla curva lungo la quale $\Delta z$ si avvicina a zero.

Questa forte richiesta differenzia radicalmente la derivabilità complessa dalla differenziabilità reale trattata in Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente →.

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Le condizioni di Cauchy-Riemann

Le equazioni di Cauchy-Riemann esprimono il legame fondamentale che deve sussistere tra le derivate parziali delle componenti reali $u(x,y)$ e $v(x,y)$ affinché la funzione complessa $f(z)$ sia derivabile.

Dimostrazione della necessità

Supponiamo che $f$ sia derivabile in $z_0 = x_0 + i y_0$. Allora il limite del rapporto incrementale esiste ed è pari a $f'(z_0)$. Calcoliamo questo limite muovendoci lungo due direzioni particolari.

• Direzione 1: Approccio lungo l'asse reale (orizzontale) Poniamo $\Delta y = 0$, ossia $\Delta z = \Delta x \in \mathbb{R}$. Il limite diventa: $$f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x_0+\Delta x, y_0) + i v(x_0+\Delta x, y_0) - (u(x_0,y_0) + i v(x_0,y_0))}{\Delta x}$$ Scomponendo e riconoscendo il rapporto incrementale delle derivate parziali rispetto a $x$: $$f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x_0+\Delta x, y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} + i \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x_0+\Delta x, y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x}$$ $$f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$$

• Direzione 2: Approccio lungo l'asse immaginario (verticale) Poniamo $\Delta x = 0$, ossia $\Delta z = i\Delta y$ con $\Delta y \in \mathbb{R}$. Il limite diventa: $$f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{u(x_0, y_0+\Delta y) + i v(x_0, y_0+\Delta y) - (u(x_0,y_0) + i v(x_0,y_0))}{i\Delta y}$$ Ricordando che $\frac{1}{i} = -i$, separiamo i termini: $$f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \left[ \frac{1}{i}\frac{u(x_0, y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} + \frac{v(x_0, y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y} \right]$$ $$f'(z_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)$$

Uguagliando le due espressioni ottenute per $f'(z_0)$ (poiché il limite deve essere unico), si ricavano le relazioni: $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{e} \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$$

Sintetizziamo questo risultato fondamentale nel seguente teorema:

Teorema (Condizioni di Cauchy-Riemann). Sia $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ definita su un aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$.

1. Condizione Necessaria: Se $f$ è derivabile in senso complesso in $z_0 = x_0 + i y_0$, allora in tale punto esistono le derivate parziali di $u$ e $v$ e soddisfano il sistema di Cauchy-Riemann: $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$
2. Condizione Sufficiente: Se $u(x,y)$ e $v(x,y)$ ammettono derivate parziali continue in un intorno di $(x_0, y_0)$ (il che garantisce la loro differenziabilità in senso reale) e tali derivate soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in $(x_0, y_0)$, allora $f$ è derivabile in senso complesso in $z_0$.

Significato geometrico e legame con la Jacobiana

Se consideriamo $f$ come trasformazione reale da $\mathbb{R}^2$ in $\mathbb{R}^2$, la sua matrice jacobianaPer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte → nel punto $(x,y)$ è definita come: $$J(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}$$ Se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, sostituendo $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ e $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$, la matrice assume la forma: $$J(x,y) = \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}$$ dove $A = \frac{\partial u}{\partial x}$ e $B = \frac{\partial v}{\partial x}$. Questa particolare struttura algebrica rappresenta una matrice di roto-dilatamento nel piano, la quale rispecchia l'azione geometrica della moltiplicazione per il numero complesso $f'(z_0) = A + iB$.

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Esempi svolti

Esempio 1: Analisi di $f(z) = z^2$

Vogliamo studiare la derivabilità complessa della funzione $f(z) = z^2$.

1. Scomposizione in parti reale e immaginaria: $$f(x+iy) = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$$ Identifichiamo $u(x,y) = x^2 - y^2$ e $v(x,y) = 2xy$.

2. Calcolo delle derivate parziali: $$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x$$

3. Verifica delle condizioni di Cauchy-Riemann:

   • $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}$ (Soddisfatta)
   • $\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}$ (Soddisfatta)

Le equazioni sono verificate identicamente in ogni punto $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. Poiché le derivate parziali sono polinomi (e quindi continue ovunque), la funzione è olomorfa su tutto $\mathbb{C}$.

La derivata complessa è data da: $$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = 2x + i(2y) = 2(x+iy) = 2z$$ che coincide con il risultato classico del calcolo reale.

Esempio 2: Analisi di $f(z) = \frac{1}{z}$ per $z \neq 0$

Scomponiamo la funzione moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato $\bar{z} = x-iy$: $$f(z) = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} = \frac{x}{x^2+y^2} + i \left( -\frac{y}{x^2+y^2} \right)$$ Otteniamo: $$u(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}, \quad v(x,y) = -\frac{y}{x^2+y^2}$$

Calcoliamo le derivate parziali per $(x,y) \neq (0,0)$: $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1(x^2+y^2) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-x(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{-y(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1(x^2+y^2) - y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$

Verifichiamo le condizioni:

• $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{\partial v}{\partial y}$
• $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Le relazioni sono soddisfatte per ogni $z \neq 0$. Essendo le derivate parziali funzioni razionali con denominatore non nullo, esse sono continue nel loro dominio. La funzione è dunque olomorfa in $\mathbb{C} \setminus \{0\}$.

Calcolo della derivata complessa: $$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{y^2-x^2 + i2xy}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{x^2-y^2 - i2xy}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{(x-iy)^2}{((x-iy)(x+iy))^2} = -\frac{1}{z^2}$$

Esempio 3: Studio di non-derivabilità di $f(z) = \bar{z}$

Analizziamo la funzione coniugato complesso $f(z) = x - iy$.

1. Componenti: $u(x,y) = x$ e $v(x,y) = -y$.

2. Derivate parziali: $$\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1$$

3. Verifica: Notiamo che $\frac{\partial u}{\partial x} = 1 \neq -1 = \frac{\partial v}{\partial y}$. Le condizioni di Cauchy-Riemann non sono mai soddisfatte in nessun punto del piano. La funzione non è derivabile in senso complesso in alcun punto di $\mathbb{C}$.

Mostriamo analiticamente il fallimento del limite del rapporto incrementale in un generico $z_0$: $$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{z_0 + \Delta z} - \overline{z_0}}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$$ Scrivendo l'incremento in coordinate polari $\Delta z = r e^{i\theta}$ (dove $r \to 0^+$ indica la distanza dall'origine e $\theta$ la direzione di avvicinamento), si ha $\overline{\Delta z} = r e^{-i\theta}$. Il limite diventa: $$\lim_{r \to 0^+} \frac{r e^{-i\theta}}{r e^{i\theta}} = e^{-2i\theta}$$ Il valore limite dipende strettamente dall'angolo $\theta$ scelto per avvicinarsi a zero (ad esempio, lungo l'asse reale $\theta=0 \implies 1$, mentre lungo l'asse immaginario $\theta=\pi/2 \implies -1$). Di conseguenza, il limite globale non esiste.

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Funzioni armoniche e equazione di Laplace

Un'importante conseguenza delle condizioni di Cauchy-Riemann è la profonda connessione tra le funzioni olomorfe e la teoria del potenziale bidimensionale.

Definizione. Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ un aperto. Una funzione reale $h: \Omega \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ si dice armonicaUna funzione a valori reali la cui somma delle derivate parziali seconde pure è nulla se soddisfa l'equazione di Laplace: $$\Delta h = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0$$

Teorema. Sia $f = u + iv$ una funzione olomorfa su un aperto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$. Se $u$ e $v$ sono di classe $C^2$, allora sia $u$ che $v$ sono funzioni armoniche in $\Omega$.

Dimostrazione. Dato che $f$ è olomorfa, valgono le equazioni di Cauchy-Riemann. Deriviamo la prima equazione rispetto a $x$ e la seconda rispetto a $y$: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$$ $$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} \right) = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}$$ Poiché $v$ è di classe $C^2$, per il teorema di Schwarz sull'inversione dell'ordine di derivazione parziale (vedi Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabiliLe derivate seconde ∂²f/∂xj∂xi formano la matrice hessiana Hf; per il teorema di Schwarz (derivate miste continue) è simmetrica. Taylor al secondo ordine: f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ hᵀHf(x0)h + o(‖h‖²). Una matrice simmetrica è definita positiva/negativa, semidefinita o indefinita a seconda del segno della forma quadratica hᵀAh; si riconosce con gli autovalori o con i minori principali (in 2×2: determinante e primo elemento).Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili →) si ha che $\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}$. Sommando i due contributi otteniamo: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} = 0$$ Dunque, $u$ soddisfa l'equazione di Laplace. Un procedimento del tutto analogo (derivando rispetto a $y$ la prima equazione e rispetto a $x$ la seconda) prova che anche $v$ soddisfa l'equazione di Laplace: $$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$$

Quando due funzioni armoniche $u$ e $v$ soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, si dice che $v$ è l'armonica coniugata di $u$.

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Errori comuni

• Confondere differenziabilità reale e derivabilità complessa Molte funzioni hanno componenti $u$ e $v$ infinitamente differenziabili in senso reale (ad esempio $f(z) = \bar{z}$, le cui componenti sono funzioni lineari $u=x$ e $v=-y$), ma non sono derivabili in senso complesso perché non soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann. La derivabilità in senso complesso impone un vincolo geometrico rigido di conformità (conservazione degli angoli).
• Omettere la verifica della continuità delle derivate parziali nella condizione sufficiente Soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann in un singolo punto $z_0$ non è di per sé sufficiente a garantire la derivabilità in quel punto se le derivate parziali non sono continue in un suo intorno. La differenziabilità nel senso di Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente → per le funzioni componenti reali è un requisito essenziale.
• Calcolare limiti complessi verificando solo le direzioni reali e immaginarie Nel calcolo di un limite complesso per $\Delta z \to 0$, verificare che il limite sia concorde lungo le sole rette orizzontale e verticale non garantisce l'esistenza del limite stesso. Il comportamento lungo parabole o altre curve generiche potrebbe variare, esattamente come accade per le funzioni di più variabili in Limiti e continuità per funzioni di più variabiliIl limite di una funzione di più variabili esiste se il valore si avvicina a $L$ indipendentemente dal percorso scelto; si verifica con stime in coordinate polari o si nega usando restrizioni a curve diverse. La continuità richiede che il limite coincida con il valore della funzione nel punto.Limiti e continuità per funzioni di più variabili →.