Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie

Prerequisiti: Matrice jacobiana e derivata delle funzioni compostePer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →.

Definizione di curva parametrica

Una curva parametrica in $\mathbb{R}^n$ (con $n=2$ o $n=3$) è una funzione vettoriale continua $\gamma: [a, b] \to \mathbb{R}^n$. Ogni componente della funzione dipende da un parametro reale $t$: $$\gamma(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t))$$ L'insieme dei punti descritti da $\gamma(t)$ al variare di $t \in [a, b]$ è detto sostegnol'immagine della funzione, ovvero la traccia geometrica del percorso nel piano o nello spazio.

Esempi di curve

• Retta: passante per $P_0$ con direzione $\vec{v}$: $\gamma(t) = P_0 + t\vec{v}$. Per esempio la retta per $Q_0 = (-1, 2, 2)$ e $Q_1 = (1, 3, -1)$ ha direzione $Q_1 - Q_0 = (2, 1, -3)$ e si scrive $\gamma(t) = (-1 + 2t,\ 2 + t,\ 2 - 3t)$; con $t \in [0, 1]$ si ottiene il segmento da $Q_0$ a $Q_1$. Per intersecarla con il piano $x + 2y + 4z = 7$ si sostituisce: $(-1 + 2t) + 2(2 + t) + 4(2 - 3t) = 11 - 8t = 7$, quindi $t = \frac12$ e il punto è $\left(0, \frac52, \frac12\right)$.
• Circonferenza (raggio $R$): $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, con $t \in [0, 2\pi]$.
• Cicloide: traiettoria di un punto sul bordo di una ruota di raggio $a$ che rotola senza strisciare: $$\gamma(\theta) = (a(\theta - \sin\theta), a(1 - \cos\theta)), \quad \theta \in [0, 2\pi]$$
• Elica cilindrica: $\gamma(t) = (\cos t, \sin t, t)$: gira attorno all'asse $z$ salendo di $2\pi$ a ogni giro.
• Grafico di funzione: $y = f(x)$ può essere parametrizzata come $\gamma(t) = (t, f(t))$.

Curve diverse possono avere lo stesso sostegno: $(\cos t, \sin t)$ e $(\cos 2t, \sin 2t)$ con $t \in [0, 2\pi]$ descrivono entrambe la circonferenza unitaria, ma la seconda la percorre due volte. Per questo una curva è la funzione, non solo il disegno.

Regolarità e vettore velocità

Il vettore velocità $\gamma'(t) = (x_1'(t), \dots, x_n'(t))$ (si deriva componente per componente) rappresenta la velocità istantanea; se non è nullo, è tangente alla curva nel punto $\gamma(t)$, e la retta tangente è $\gamma(t_0) + s\,\gamma'(t_0)$. La sua norma $\|\gamma'(t)\|$ è la velocità scalare.

Definizione. Una curva $\gamma$ è detta regolare se $\gamma \in C^1([a, b])$ e $\gamma'(t) \neq \vec{0}$ per ogni $t \in [a, b]$. È regolare a tratti se $[a, b]$ si divide in un numero finito di intervalli su ciascuno dei quali è regolare (negli estremi dei pezzi può avere spigoli o cuspidi).

Esempi: il bordo di un quadrato, percorso lato per lato, è regolare a tratti (negli angoli la velocità cambia direzione bruscamente). La cicloide è regolare a tratti: la sua velocità $\gamma'(\theta) = a(1 - \cos\theta, \sin\theta)$ si annulla per $\theta = 0, 2\pi, \dots$

Se $\gamma'(t_0) = \vec{0}$, il punto $\gamma(t_0)$ è detto punto singolare (ad esempio, la cuspide della cicloide per $\theta=0$). Vicino a $\theta = 0$, con gli sviluppi $\sin\theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6}$ e $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$, si ha $x \approx \frac{a\theta^3}{6}$ e $y \approx \frac{a\theta^2}{2}$, quindi $\frac yx \approx \frac{3}{\theta} \to \infty$: la curva arriva a terra con tangente verticale, formando una punta. Una curva è semplice se non si auto-interseca ($\gamma(t_1) = \gamma(t_2) \implies t_1=t_2$), ed è chiusa se $\gamma(a) = \gamma(b)$.

Lunghezza di una curva

La lunghezza $L$ di una curva regolare $\gamma(t)$ è definita come l'integrale della norma del vettore velocità: $$L = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt$$ Da dove viene. Si divide $[a, b]$ in tanti intervallini e si approssima la curva con la spezzata che unisce i punti $\gamma(t_i)$. Il segmento tra $\gamma(t_i)$ e $\gamma(t_{i+1})$ è lungo circa $\|\gamma'(t_i)\|\,\Delta t$ (spazio = velocità per tempo); sommando e raffinando si ottiene l'integrale.

Questa definizione è intrinseca: non dipende dalla parametrizzazione scelta. Se $t = \varphi(s)$ con $\varphi$ di classe $C^1$ e $\varphi' > 0$, la curva $\delta(s) = \gamma(\varphi(s))$ ha velocità $\delta'(s) = \gamma'(\varphi(s))\varphi'(s)$ e, con la sostituzione $t = \varphi(s)$, $\int \|\delta'(s)\|\,ds = \int \|\gamma'(\varphi(s))\|\varphi'(s)\,ds = \int \|\gamma'(t)\|\,dt$. Lo stesso vale percorrendo la curva al contrario.

Grafico di una funzione. Per $\gamma(t) = (t, f(t))$ si ha $\gamma'(t) = (1, f'(t))$ e $L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2}\,dt$.

Esempio: Lunghezza di una circonferenza di raggio $R$ $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t) \implies \gamma'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$. $\|\gamma'(t)\| = \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2} = \sqrt{R^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} = R$. $L = \int_0^{2\pi} R \, dt = 2\pi R$.

Esempio: un giro d'elica. $\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$, $\|\gamma'(t)\| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$, quindi $L = 2\pi\sqrt2$.

Esempio: un arco di cicloide ($\theta \in [0, 2\pi]$). $\gamma'(\theta) = a(1 - \cos\theta, \sin\theta)$ e $$\|\gamma'(\theta)\| = a\sqrt{(1 - \cos\theta)^2 + \sin^2\theta} = a\sqrt{2 - 2\cos\theta} = a\sqrt{4\sin^2\tfrac{\theta}{2}} = 2a\sin\tfrac{\theta}{2}$$ (si è usato $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac\theta2$; il valore assoluto si toglie perché $\sin\frac\theta2 \geq 0$ per $\theta \in [0, 2\pi]$). Quindi $$L = \int_0^{2\pi} 2a\sin\tfrac{\theta}{2}\,d\theta = 2a\left[-2\cos\tfrac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi} = 2a\,(2 + 2) = 8a$$

La velocità è nulla nelle cuspidi ($\theta = 0$ e $2\pi$) e massima ($2a$) in cima all'arco.

Integrale curvilineo di prima specie

L'integrale di una funzione scalare $f$, definita (e continua) sul sostegno di una curva regolare a tratti $\gamma$, rispetto alla lunghezza d'arco è: $$\int_\gamma f \, ds = \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| \, dt$$ Questo valore rappresenta, ad esempio, la massa di un filo di densità lineare $f$ che segue il percorso $\gamma$: a ogni tratto di lunghezza $ds = \|\gamma'(t)\|\,dt$ si associa la massa $f\,ds$. Con $f = 1$ si ritrova la lunghezza. Come la lunghezza, non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza; diviso per $L$ dà il valor medio di $f$ lungo la curva.

Esempio: Massa di un filo Sia $\gamma(t) = (t, t)$ per $t \in [0, 1]$ e densità $f(x, y) = x+y$. $\gamma'(t) = (1, 1)$, $\|\gamma'(t)\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. $M = \int_0^1 (t+t) \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_0^1 2t \, dt = \sqrt{2} [t^2]_0^1 = \sqrt{2}$.

Esempio: $\int_\gamma (x^2 + y^2 + z)\,ds$ su un giro d'elica. Su $\gamma(t) = (\cos t, \sin t, t)$ la funzione vale $1 + t$ e $\|\gamma'\| = \sqrt2$: $$\int_0^{2\pi}(1 + t)\sqrt2\,dt = \sqrt2\left(2\pi + 2\pi^2\right)$$

Se la curva è regolare a tratti (per esempio il bordo di un triangolo) si parametrizza ogni pezzo e si sommano gli integrali.

Ascissa curvilinea e baricentro di una curva

L'ascissa curvilinea è la lunghezza percorsa a partire dal punto iniziale: $s(t)=\int_a^t\|\gamma'(\tau)\|\,d\tau$. Poiché $s'(t)=\|\gamma'(t)\|>0$ per una curva regolare, $s$ è invertibile e la curva si può riparametrizzare con $s$: in quella parametrizzazione la velocità scalare vale sempre $1$ (per la circonferenza, $s=Rt$ e $\gamma(s)=\left(R\cos\frac sR,R\sin\frac sR\right)$). L'elemento $ds=\|\gamma'(t)\|\,dt$ dell'integrale di prima specie è proprio il differenziale di $s$.

Il baricentro (o centroide) di una curva omogenea ha coordinate $\bar x=\frac1L\int_\gamma x\,ds$, $\bar y=\frac1L\int_\gamma y\,ds$ (media delle coordinate rispetto alla lunghezza). Se la curva è simmetrica rispetto a una retta, il baricentro sta su quella retta: non serve calcolare l'integrale in quella direzione. Esempio. Semicirconferenza $\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$, $t\in[0,\pi]$: $L=\pi R$, $\bar x=0$ per simmetria, $\bar y=\frac1{\pi R}\int_0^\pi R\sin t\cdot R\,dt=\frac{2R^2}{\pi R}=\frac{2R}{\pi}$. Esempio. L'arco di cicloide $(a(\theta-\sin\theta),a(1-\cos\theta))$ è simmetrico rispetto alla retta $x=\pi a$, quindi $\bar x=\pi a$. Il baricentro compare nel teorema di Guldino per l'area delle superfici di rotazione (Superfici, flusso e teoremi della divergenza e di StokesUna superficie parametrica è r(u,v) con (u,v) in un dominio D; il vettore normale è N = r_u × r_v e l'elemento di area è dσ = |N| du dv. Area = ∬|N| du dv; per un grafico z = g(x,y): ∬√(1 + g_x² + g_y²) dx dy. Integrale superficiale: ∬ f dσ. Superficie di rotazione di una curva (x(t), z(t)) attorno all'asse z: A = 2π ∫ x(t)|γ'(t)| dt (Guldino). Flusso di F attraverso S orientata: ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u × r_v) du dv. Teorema della divergenza: flusso uscente da una superficie chiusa = ∭ div F dV. Teorema di Stokes: flusso di rot F attraverso S = circuitazione di F sul bordo, con orientazioni compatibili.Superfici, flusso e teoremi della divergenza e di Stokes →).

Curve in coordinate polari

Una curva data in forma polare $\rho=\rho(\theta)$, $\theta\in[\alpha,\beta]$, ha la parametrizzazione (con $\theta$ come parametro) $$\gamma(\theta)=\bigl(\rho(\theta)\cos\theta,\ \rho(\theta)\sin\theta\bigr).$$ Derivando, $\gamma'=\bigl(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta,\ \rho'\sin\theta+\rho\cos\theta\bigr)$ e, sommando i quadrati (i termini misti si cancellano), $$\|\gamma'(\theta)\|^2=\rho'^2+\rho^2,\qquad L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}\,d\theta.$$ Per la circonferenza $\rho=R$ (costante, $\rho'=0$) si ritrova $L=\int_0^{2\pi}R\,d\theta=2\pi R$.

Esempio: cardioide $\rho=1+\cos\theta$, $\theta\in[0,2\pi]$. Qui $\rho'=-\sin\theta$ e $\rho^2+\rho'^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta=2+2\cos\theta=4\cos^2\frac\theta2$ (formula di bisezione). Quindi $\|\gamma'\|=2\left|\cos\frac\theta2\right|$, e il coseno è positivo per $\theta\in[0,\pi)$ e negativo per $\theta\in(\pi,2\pi]$ (il valore assoluto va tolto con cura): $L=\int_0^{\pi}2\cos\frac\theta2\,d\theta+\int_\pi^{2\pi}\left(-2\cos\frac\theta2\right)d\theta=4+4=8$. Un caso con $\rho'\ne0$ che dà un integrale elementare è la spirale $\rho=e^{-\theta}$ ($\rho^2+\rho'^2=2e^{-2\theta}$): Esercizio - curva in coordinate polari, lunghezza e integrale di una forma (tema d'esame giugno 2013).

Area di una regione in polari. Il settore $\{0\le r\le\rho(\theta),\ \alpha\le\theta\le\beta\}$ ha area $\iint r\,dr\,d\theta=\int_\alpha^\beta\frac{\rho(\theta)^2}{2}\,d\theta$ (vedi Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →). Esempio: un petalo della rosa $\rho=\sin2\theta$, $\theta\in\left[0,\frac\pi2\right]$ (la regione delimitata dalla curva): $$A=\frac12\int_0^{\pi/2}\sin^22\theta\,d\theta=\frac12\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos4\theta}{2}\,d\theta=\frac14\cdot\frac\pi2=\frac\pi8.$$

Errori comuni

• Curve polari: usare $L=\int\rho\,d\theta$. Manca il contributo della variazione di $\rho$: la formula giusta ha sotto radice $\rho^2+\rho'^2$.
• Dimenticare la norma: L'integrale non è $\int f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt$ (vettoriale), ma $\int f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| dt$ (scalare).
• Parametri: Sostituire $x$ e $y$ nella funzione $f$ senza aver prima parametrizzato la curva.
• Togliere male la radice: $\sqrt{2 - 2\cos\theta} = 2|\sin\frac\theta2|$, con il valore assoluto; sull'intervallo bisogna controllare il segno.
• Confondere curva e sostegno: una parametrizzazione che percorre il sostegno due volte dà lunghezza doppia.