Esercizio - forma differenziale su un'ellisse, chiusura e potenziale

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Si scrive $\omega = M\,dx + N\,dy$ con $M = -xy - ay$ e $N = ax - \frac{x^2}{2} + y^5$.

ii) Per quali $a$ è chiusa

Nel piano $\omega$ è chiusa se $M_y = N_x$: $$M_y = -x - a,\qquad N_x = a - x.$$ L'uguaglianza $-x - a = a - x$ dà $-a = a$, cioè $a = 0$. (Il termine in $x$ si semplifica da solo: la differenza $N_x - M_y = 2a$ non dipende da $x$.) La forma è chiusa se e solo se $a = 0$; e il dominio è $\mathbb{R}^2$, semplicemente connesso, quindi per $a = 0$ è anche esatta.

i) L'integrale sull'ellisse, per ogni $a$

La curva $\gamma$ è l'ellisse di semiassi $1$ (lungo $x$) e $2$ (lungo $y$), chiusa, percorsa in senso antiorario. Si può calcolare con il teorema di GreenSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano →: per una curva chiusa semplice antioraria che racchiude la regione $E$, $$\oint_\gamma M\,dx + N\,dy = \iint_E\left(N_x - M_y\right)dx\,dy.$$ Qui $N_x - M_y = (a - x) - (-x - a) = 2a$ è costante, quindi $$\oint_\gamma\omega = 2a\cdot\text{Area}(E) = 2a\cdot\pi\cdot1\cdot2 = 4\pi a.$$ (L'area dell'ellisse di semiassi $p$ e $q$ è $\pi pq$.) Il risultato è coerente con ii): per $a = 0$ la forma è esatta e la circuitazione è $0$.

Controllo con la definizione. Parametrizzando $x = \cos t$, $y = 2\sin t$, $t \in [0, 2\pi]$ ($dx = -\sin t\,dt$, $dy = 2\cos t\,dt$): la parte con $a$ è $-ay\,dx + ax\,dy = a\left(2\sin^2t + 2\cos^2t\right)dt = 2a\,dt$, il cui integrale è $4\pi a$; la parte senza $a$, $-xy\,dx + \left(-\frac{x^2}{2} + y^5\right)dy$, è il differenziale esatto di $-\frac{x^2y}{2} + \frac{y^6}{6}$ (verificabile derivando) e integra a zero sulla curva chiusa. Totale $4\pi a$ ✓.

iii) Potenziale e integrale tra due punti

Per $a = 0$: $\omega = -xy\,dx + \left(-\frac{x^2}{2} + y^5\right)dy$, cioè $U_x = -xy$ e $U_y = -\frac{x^2}{2} + y^5$.

1. Integrando in $x$: $U = -\frac{x^2y}{2} + g(y)$.
2. Derivando in $y$: $U_y = -\frac{x^2}{2} + g'(y)$, che deve valere $-\frac{x^2}{2} + y^5$, quindi $g'(y) = y^5$ e $g(y) = \frac{y^6}{6}$.

$$U(x, y) = -\frac{x^2y}{2} + \frac{y^6}{6}\quad(+\text{ costante}).$$ Per ogni curva regolare da $(0, 0)$ a $(1, 1)$ il lavoro dipende solo dagli estremi: $$\int_\gamma\omega = U(1, 1) - U(0, 0) = -\frac12 + \frac16 - 0 = -\frac13.$$

Errori comuni. Calcolare la circuitazione sull'ellisse come se la forma fosse esatta (risposta $0$) quando $a \ne 0$; sbagliare l'area dell'ellisse ($\pi\cdot1\cdot2$, non $\pi\cdot2^2$); dimenticare il segno di $\omega = -(xy + ay)\,dx + \ldots$ nel calcolo di $M_y$.