Esercizi - equazioni del secondo ordine dai temi d'esame

Due equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti dai temi d'esame di Analisi Matematica 2 (Ingegneria dell'Informazione): una con radice doppia del polinomio caratteristico e termine noto polinomiale, una con radici complesse, termine noto $(x+1)e^x$ e problema di Cauchy. Teoria: Metodo di variazione delle costantiPer y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t), note due soluzioni indipendenti y1, y2 dell'omogenea, una soluzione particolare è yp = c1(t)y1 + c2(t)y2 con c1'y1 + c2'y2 = 0 e c1'y1' + c2'y2' = f. Con Cramer: c1' = −y2 f/W, c2' = y1 f/W, dove W = y1y2' − y2y1' è il wronskiano. Funziona per ogni termine noto continuo (anche 1/sin t, e^(3t)/t), dove il metodo di somiglianza non si applica.Metodo di variazione delle costanti →, Sistemi di equazioni differenziali lineariSistema lineare Y' = A(t)Y + B(t): con A, B continue su I il problema di Cauchy ha una sola soluzione, definita su tutto I. Le soluzioni dell'omogeneo formano uno spazio di dimensione n (colonne di una matrice fondamentale, wronskiano ≠ 0). A coefficienti costanti: Y = e^(λt)V con λ autovalore e V autovettore di A; con λ = α ± iβ si prendono parte reale e immaginaria. Y(t) = e^(tA)Y0, con e^(tA) = P e^(tD) P⁻¹ se A = PDP⁻¹. Un'equazione di ordine n equivale a un sistema con la matrice compagna.Sistemi di equazioni differenziali lineari →; la ricetta per termini noti speciali è in Esercizi - equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Esercizio 1 (tema d'esame gennaio 2013): radice doppia e termine noto polinomiale

Testo. Si trovi l'integrale generale dell'equazione differenziale $y'' - 4y' + 4y = 8t^2$.

1. Omogenea. Il polinomio caratteristico è $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2$: radice doppia $\lambda = 2$. Le soluzioni dell'omogenea sono $$y_h(t) = (c_1 + c_2t)\,e^{2t}.$$
2. Soluzione particolare. Il termine noto è un polinomio di grado $2$, e $\lambda = 0$ non è radice del polinomio caratteristico (il termine noto $8t^2 = 8t^2e^{0\cdot t}$ corrisponde all'esponente $0$): si cerca $y_p$ polinomio di grado $2$, $y_p = at^2 + bt + c$, con $y_p' = 2at + b$ e $y_p'' = 2a$. Sostituendo: $$2a - 4(2at + b) + 4(at^2 + bt + c) = 4a\,t^2 + (-8a + 4b)\,t + (2a - 4b + 4c).$$
3. Si uguagliano i coefficienti con $8t^2$:
   • $t^2$: $4a = 8$, quindi $a = 2$;
   • $t$: $-8a + 4b = 0$, quindi $b = 2a = 4$;
   • termine noto: $2a - 4b + 4c = 0$, cioè $4 - 16 + 4c = 0$, quindi $c = 3$. $y_p = 2t^2 + 4t + 3$.
4. Integrale generale: $$y(t) = (c_1 + c_2t)\,e^{2t} + 2t^2 + 4t + 3.$$
5. Verifica. $y_p' = 4t + 4$, $y_p'' = 4$: $4 - 4(4t + 4) + 4(2t^2 + 4t + 3) = 4 - 16t - 16 + 8t^2 + 16t + 12 = 8t^2$ ✓.

Esercizio 2 (tema d'esame giugno 2013): radici complesse e problema di Cauchy

Testo. Si consideri l'equazione differenziale $y'' - y' + y = (x + 1)e^x$. i) Determinare la soluzione generale dell'equazione omogenea associata; ii) determinare la soluzione del problema di Cauchy associato all'equazione non omogenea, con dati iniziali $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

i) Omogenea. Polinomio caratteristico $\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$, con $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$: radici complesse $\lambda = \frac{1 \pm i\sqrt3}{2} = \frac12 \pm i\frac{\sqrt3}{2}$. La parte reale è $\alpha = \frac12$ e la parte immaginaria è $\beta = \frac{\sqrt3}{2}$, quindi $$y_h(x) = e^{x/2}\left(c_1\cos\frac{\sqrt3\,x}{2} + c_2\sin\frac{\sqrt3\,x}{2}\right).$$

ii) Soluzione particolare. Il termine noto è $(x + 1)e^x$: un polinomio di grado $1$ per $e^{\mu x}$ con $\mu = 1$. Il numero $\mu = 1$ non è radice del polinomio caratteristico ($1 - 1 + 1 = 1 \ne 0$), quindi si cerca $y_p = (ax + b)e^x$ (stesso grado del polinomio, nessun fattore $x$ in più). Derivando: $$y_p' = (ax + b + a)e^x,\qquad y_p'' = (ax + b + 2a)e^x.$$ Sostituendo (e semplificando $e^x$): $(ax + b + 2a) - (ax + b + a) + (ax + b) = ax + b + a$. Si impone $$ax + b + a = x + 1\quad\Longrightarrow\quad a = 1,\quad b + a = 1\Rightarrow b = 0.$$ Quindi $y_p = xe^x$. L'integrale generale dell'equazione completa è $$y(x) = e^{x/2}\left(c_1\cos\frac{\sqrt3\,x}{2} + c_2\sin\frac{\sqrt3\,x}{2}\right) + xe^x.$$ Dati iniziali.

• $y(0) = c_1 + 0 = 0$, quindi $c_1 = 0$ (con $\cos0 = 1$, $\sin0 = 0$, $y_p(0) = 0$).
• $y'(x) = \frac12e^{x/2}(\ldots) + e^{x/2}(\ldots)' + (x + 1)e^x$. Con $c_1 = 0$ la parte omogenea è $c_2e^{x/2}\sin\frac{\sqrt3x}{2}$, con derivata in $0$ uguale a $c_2\cdot\frac{\sqrt3}{2}$ (il termine con $\sin0$ si annulla). Quindi $y'(0) = c_2\frac{\sqrt3}{2} + 1 = 1$, cioè $c_2 = 0$.

La soluzione del problema di Cauchy è $$\boxed{y(x) = xe^x.}$$ Verifica. $y' = (x + 1)e^x$, $y'' = (x + 2)e^x$: $y'' - y' + y = \left[(x + 2) - (x + 1) + x\right]e^x = (x + 1)e^x$ ✓; $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ ✓. Per l'unicità del problema di Cauchy (Esistenza e unicità per il problema di CauchyProblema di Cauchy: y' = f(t, y), y(t0) = y0. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica: y' = √|y|, y(0) = 0). Cauchy-Lipschitz: f continua e lipschitziana in y (basta f e ∂f/∂y continue) ⇒ soluzione unica in un intorno di t0. La soluzione può esplodere in tempo finito (y' = y², y' = 1 + y²); se f è lipschitziana in y su tutta la striscia [a, b] × R la soluzione esiste su tutto [a, b]. Un'equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine.Esistenza e unicità per il problema di Cauchy →) è l'unica soluzione: capita che i dati iniziali coincidano con quelli della soluzione particolare, e allora la parte omogenea è nulla.

Errori comuni. Cercare $y_p = (ax + b)xe^x$ (il fattore $x$ in più serve solo se l'esponente del termine noto è radice del caratteristico, qui non lo è); dimenticare che la derivata di $e^{x/2}\cos(\ldots)$ ha due termini; usare i dati iniziali sulla sola parte omogenea senza includere $y_p$, $y_p'$ (qui $y_p(0) = 0$ ma $y_p'(0) = 1$, e va contato).